Пошук

1. Метод Бернуллі для лінійних ДР 1 порядку: (Диференціальні рівняння); Продовжуємо тему ДР першого порядку і сьогодні розглянемо готові приклади на лінійні диференціальні рівняння 1 порядку розв'язні методом Бернуллі. Суть методу полягає в поданні розв'язку у вигляді добутку двох функцій та розділенні ДР за рахунок цього на два прості ДР з відокремлюваними змінними. Детально ...; Створено 23 липня 2022
2. Метод Бернуллі. Рівняння Бернуллі: (Диференціальні рівняння); ... функцій, які визначаємо інтегруванням двох відповідних ДР з відокремленими змінними. Деталі методу Бернуллі наведені в формулах нижче Уважно перегляньте, як можна сталу внести під логарифм. Такий прийом часто застосовують при обчисленнях, щоб спростити подальші перетворення функцій. Також, слід ...; Створено 23 липня 2022
3. Класифікація диф. р-нь першого порядку та приклади: (Диференціальні рівняння); ... інтегруванні обох її частин отримаємо y=4x2/2+C=2x2+C - загальний розв'язок ДР. де C - довільна стала. Приклад 2. Знайти розв'язок ДР y'=8x Розв'язування: З вигляду р-ня робимо висновок що це найпростіше ДР першого порядку. Похідну y' замінюємо приростом функції до приросту аргументу y'=dy/dx, ...; Створено 14 липня 2022
4. Нерівності з логарифмами. 11 клас: (Математика); З попереднього уроку нам залишилося проаналізувати відповіді до логарифмічних нерівностей, що містять квадратичні та дробові функції. Складність обчислення дещо зростає, але основне на що слід звертати уваги ми Вам розкажемо, коментуючи готові відповіді. Правила як розв'язувати логарифмічні нерівності ...; Створено 22 лютого 2022
5. Логарифмічні нерівності. 11 клас: (Математика); ... , що логарифм основи рівний одиниці. 11, 12. 13, 14. 15, 16. Якщо нерівність нестрога (≤,≥), то всі Ви маєте добре знати, що і при позбутті логарифма нерівність буде нестрога. А от ОДЗ логарифма завжди породжує строгу нерівність, тому що функція під логарифмом повинна приймати значення біль ...; Створено 22 лютого 2022
6. Показникові рівняння. ЗНО підготовка: (Математика); ... школі розв'язують шляхом їх зведення до спільної основи. Методи зведення до спільної основи базуються на властивостях показникової функції. Слід пам'ятати, що будь-яке число в 0-му степені рівне одиниці. Іноді буває важко передбачити, який з виразів слід зводити до основи іншого. Це особливо ...; Створено 15 лютого 2022
7. Приклади обчислення границь. Границі в Maple: (Границі); Сьогодні розберемо готові приклади на границі послідовностей та функцій, повторимо методики знаходження границь, які вивчали на попередніх уроках. Спершу покажемо, як знаходити границі в Maple. Для цього зарезервовано дві функції: Limit() – для виведення на екран формули границі; limit() – обчислює ...; Створено 20 січня 2022
8. Приклади обчислення інтегралів + інтеграли в Мaple: (Інтегрування); ... будь-якому випадку вони вірні, тільки підхід до обчислень може бути інший. Приклад 2. int(1/cos(x), x); Щодо універсальних способів інтегрування тригонометричних функцій, то методик і алгоритмів тут безліч. А все тому, що є безліч формул запису тої самої тригонометричної ф-ї через інші. Це може як ...; Створено 10 січня 2022
9. Як інтегрувати раціональні функції?: (Інтегрування); ... Приклад 1. В дробових функціях такого виду в чисельнику додають та віднімають сталу (3), яка міститься в знаменнику. В такий спосіб можна розділити чисельник на знаменник націло та отримати найпростіший дріб, інтеграл якого рівний логарифму натуральному від модуль функції Далі так детально розписувати ...; Створено 04 січня 2022
10. Приклади на другу важливу границю: (Границі); ... граничним переходом. Всі деталі переходів містять формули, та й сам алгоритм зведення під правило другої важливої границі не важкий в застосуванні. Приклад 7. Уважно перегляньте цей приклад. Під коренем Вам можуть задати будь-яку безмежно малу величину (синуси, тангенси, обернені функції, які ...; Створено 24 грудня 2021
11. Дотична площина та нормаль до поверхні + Приклади: (Функції багатьох змінних); ... кількох різних завдань. Приклад 1. Скласти рівняння дотичної та нормалі до поверхні z=7-(x-2)2-(y-3)2 у точці M(1;2). Розв'язання: Бачимо, що третьої кординати не задано, тому спершу обчислюємо її з рівня поверхні z0=7-(1-2)2-(2-3)2=5. Знайдемо часткові похідні функції, що задає поверхню z'x=-2(x-2) ...; Створено 24 грудня 2021
12. Умовний екстремум функції: (Функції багатьох змінних); Геометрична інтерпритація умовного екстремуму Нехай поверхня S - графік функції z=f(x, y). M1- точка безумовного екстремуму. Нехай ℓ-крива, що описує рівняння зв'язку φ(x, y)=0. L- відображення l на поверхню S. M0- точка умовного екстремуму. Задача полягає в знаходженні екстремуму z=f(x, ...; Створено 23 грудня 2021
13. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних в замкненій області: (Функції багатьох змінних); Як знайти найбільше та найменше значення z=f(x, y) в замкненій області? Для знаходження мінімуму максимуму диференційовної функції в замкненій та обмеженій області D, потрібно: 1) знайти критичні точки, що належать області D, і обчислити значення функції у цих точках; 2) знайти найбільше та найменше ...; Створено 21 грудня 2021
14. Знайти локальний екстремум функції f(x,y): (Функції багатьох змінних); Необхідна умова екстремуму. Диференційовна функція f(P) може досягати екстремуму лише в стаціонарній точці P0, тобто такій, що df(P0)=0. Звідси слідує, що точки екстремуму функції f(P) задовольняють системі рівнянь f'x[i](x1,…,xn)=0 (i=1,..,n). Достатня умова екстремуму. Функція f(P) в точці P0 має ...; Створено 20 грудня 2021
15. Формули розкладу в ряд Тейлора та Маклорена: (Функції багатьох змінних); Якщо функція f(x, y) має в деякому околі точки (a, b) неперервні всі частинні похідні до n+1 порядку включно, то в цьому околі справедлива формула Тейлора: де залишок ряду рівний Якщо функція f(x, y) нескінченно диференційовна і границя залишку прямує до нуля при великих номерах то ця функція ...; Створено 16 грудня 2021
16. Знайти напрям та величину градієнта скалярного поля в точці: (Функції багатьох змінних); Нехай задана функція u=f(x;y;z) диференційовна в кожній точці області визначення D. Побудуємо вектор, проекції якого на осі координат є значення часткових похідних функції u в заданій точці M(x;y;z)Ж Цей вектор називається градієнтом функції u(x;y;z). (1) Він спрямований в сторону найбільшого ...; Створено 16 грудня 2021
17. Як знайти похідну скалярного поля у точці M у напрямі вектора?: (Функції багатьох змінних); Часткові похідні функції u=f(x;y;z) за змінними x, y, z виражають «швидкість змінення» функції за напрямом координатних осей. Нехай M(x;y;z) яка-небудь інша точка цієї осі, M0M - довжина відрізку. Нехай M необмежено наближається до M0. Границя називається похідною від функції f(M) за напрямом (або ...; Створено 15 грудня 2021
18. Наближені обчислення за допомогою диференціалу: (Функції багатьох змінних); Нехай задано диференційовну в точці (x, y, z) функцію трьох координат z=f(x, y, z). Випишемо її повний приріст: Δz=f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)-f(x, y, z) Звідси f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)=f(x, y, z)+Δz. (1) Запишемо приріст функції Δz через диференціали: Якщо в прирості Δz відкинуті малі величини та підставити ...; Створено 15 грудня 2021
19. Похідна неявно заданої функції + Приклади: (Функції багатьох змінних); Нехай неперервна функція y від х задається неявним рівнянням F(x;y)=0, де F(x;y), F'x(x;y), F'y(x;y) - неперервні функції в деякій області D, що містить точку (x;y), координати якої задовольняють дане рівняння; крім цього, в цій точці F'y(x;y)≠0. Тоді похідна y від x: (1) Для відшукання часткових похід ...; Створено 14 грудня 2021
20. Похідні складених функцій багатьох змінних: (Функції багатьох змінних); Нехай маємо функцію u=f(x;y;z), що визначена в (відкритій) області D, причому кожна зі змінних x, y, z і собі є функціями від змінної t в деякому проміжку: x=φ(t), y=ψ(t), z=χ(t). Нехай, крім того, при зміненні t точки (x;y;z) не виходять за межі області D. Підставимо значення x, y, z у функцію u=f(x;y;z), ...; Створено 14 грудня 2021
21. Диференціали вищих порядків функцій двох змінних + приклади: (Функції багатьох змінних); Повторимо формули, як обчислювати диференціали першого та другого порядку для функції двох та трьох змінних, що були наведені на попередньому уроці та перейдемо до обчислення диференціалів вищих порядків. Якщо задана диференційовна функція трьох змінних u=f(x;y;z) то повний диференціал обчислюють за ...; Створено 14 грудня 2021
22. Повний диференціал функції двох, трьох змінних: (Функції багатьох змінних); На уроці навчимося обчислювати диференціали функцій двох та трьох змінних. Спершу наведемо формули та правила обчислення диференціалів, а далі готові приклади знаходження диференціалів I та II порядку. Нехай задана функція u=f(x;y;z), яка диференційовна в кожній точці області визначення. Тоді для неї ...; Створено 14 грудня 2021
23. Похідні вищих порядків ф-ї двох змінних: (Функції багатьох змінних); ... Змінюємо функцію і маємо готовий калькулятор часткових похідних Приклад 2. Знайти часткові похідні третього порядку ∂3f/∂x3,∂3f/∂y3 f=exp(y+x2) Обчислення:Експоненту легко як інтегрувати так і диференціювати. Не забуваємо, що маємо складену функцію та знаходимо часткові похідні 1-3 порядку ...; Створено 13 грудня 2021
24. Часткова похідні І та ІІ порядку функції двох змінних: (Функції багатьох змінних); Часткова похідна першого порядку функції багатьох змінних u(x;y;z,…) обчислюється за правилами, як і звичайна похідна для функції однієї змінної. При обчисленні похідних інші змінні не залежать від тієї по якій диференціюємо, і так для кожної змінної. Частковими похідними другого порядку функції ...; Створено 13 грудня 2021
25. Перетворення формули функції двох змінних: (Функції багатьох змінних); Сьогодні розглянемо завдання де потрібно зробити перехід від одних змінних до інших для функції двох змінних. Аглоритми, що тут розглянуті є універсальними і Ви їх повторно навчитеся застосовувати до інших подібних прикладів, що Вам задають. Приклад 1. Знайти f(1,y/x), якщо f(x,y)=2xy/(x2+y2) Розв'язування: ...; Створено 13 грудня 2021
26. Поверхні рівня функції+Приклади: (Функції багатьох змінних); Поверхнею рівня називають такі поверхні, в кожній точці яких функція u=f(x,y,z) трьох координат (змінних) має однакове значення f(x,y,z)=C=const. На практиці визначення поверхні рівня зводиться до прирівняння функції трьох змінних до сталої, далі, якщо є можливо, вираженні однієї з координат через ...; Створено 12 грудня 2021
27. Побудова графіків ліній рівня: (Функції багатьох змінних); На попередньому ввідному уроці було дане означення лінії рівня, поверхні рівня, та області визначення для функції багатьох змінних (ФБЗ). Продублюємо, що таке лінії рівня та перейдемо до практичних де навчимося будувати графіки лінії рівня, зокрема в математичному пакеті Мейпл. Означення: Якщо функція ...; Створено 11 грудня 2021
28. Область визначення ф-ї багатьох змінних. Приклади: (Функції багатьох змінних); Якщо кожній парі (x;y) значень двох, незалежних один від одного, змінних величин x і y, із деякої області їх змінення D, відповідає єдине значення величини z, то говорять, що z є функція двох незалежних змінних x і y, що визначена в області D. Позначення: z=f(x, y). Сукупність пар (x;y) значень x ...; Створено 10 грудня 2021
29. Приклади косинус та синус перетворення Фур'є: (Функції багатьох змінних); Нехай f(x) – абсолютно інтегровна на множині дйсних чисел R , тоді інтеграл називають перетворенням Фур'є функції f(x). Інтеграл називають оберненим перетворенням Фур'є функції f(x). Функцію f(x) називається оригіналом, а F(t) її Фур'є- образом або зображенням. Функцію називають прямим косинус-перетворенням ...; Створено 09 грудня 2021
30. Інтеграл та перетворення Фур'є. Приклади: (Функції багатьох змінних); На уроці розберемо готові приклади на інтеграл та перетворення Фур'є, навчимося обчислювати відповідні для цього інтеграли. Але спершу трохи теорії, щоб було загальне понятття, що вчимо та для чого. Вираз (1) називається інтегралом Фур'є, де (2) Якщо функція f(x) парна, то інтеграл Фур'є має розвинення ...; Створено 09 грудня 2021
31. Сума ряду Фур'є в точці. Теорема Діріхле: (Функції багатьох змінних); Повторимо ознаку Діріхле з попередніх уроків і далі перейдемо до розкладу в тригонометричний ряд Фур'є функцій. Теорема (ознака) Діріхле: якщо функція f(x) періоду 2π кусково-монотонна на проміжку [-π;π] і має в ньому не більше, ніж скінченну кількість точок розриву (першого роду), то її ряд Фур'є ...; Створено 09 грудня 2021
32. Розклад в ряд Фур'є інтегруванням. Рівність Парсеваля: (Функції багатьох змінних); Функція f(x) на проміжку (-π;π) можна розкласти в ряд Фур'є за формулою (1) де a0, ak, bk - коефіцієнти Фур'є: (2) Якщо функція f(x) парна на проміжку (-π;π), то всі коефіцієнти при синусах рівні нулю, а при косинусах рівні: (3) Якщо функція f(x) непарна на проміжку (-π;π), то маємо розклад ...; Створено 09 грудня 2021
33. Приклади на комплексну форму ряду Фур’є на (-l;l): (Функції багатьох змінних); Формула комплексної форми ряду Фур'є на проміжку (-l;l) (2) де (3) комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2 Продовжимо розбирати готові відповіді на розклад в комплексний ряд Фур'є деяких простих функцій. Приклад 6. Розвинути в комплексний ряд Фур'є функцію: на [-1;1]. Розв'язування: Через ...; Створено 08 грудня 2021
34. Комплексна форма ряду Фур’є на (-π;π). Приклади: (Функції багатьох змінних); Комплексна форма ряду Фур'є на проміжку (-π;π) має вигляд (1) - комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2,... Комплексна форма ряду Фур'є на проміжку (-l;l) має вигляд (2) де - комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2 Формула Ейлера: звідси випливає Тригонометричні функції у комплексній ...; Створено 08 грудня 2021
35. Ряди Фур'є для періодичних функцій. Графік суми: (Функції багатьох змінних); Сьогодні розберемо приклади на розклад в ряд Фур'є функцій, які є періодичними на проміжку[-Pi;Pi]. Це можуть бути функції як вигляду sin(kx), cos(mx), так і їх комбінація. Пригадаєм тригонометричну форму ряду Фур'є (1) a0, ak, bk - коефіцієнти Фур'є знаходять інтегруванням: (2) Перейдемо до ...; Створено 07 грудня 2021
36. Як розкласти функцію в ряд Фур'є на (-π;π]?: (Функції багатьох змінних); Продовжуємо розбирати готові приклади на розклад в ряд Фур'є функцій, заданих на інтервалі (-Pi;Pi). Формула ряду Фур'є (1) a0, ak, bk - коефіцієнти Фур'є знаходять інтегруванням: (2) Методика розкладу функції в ряд Фур'є Розберемо готові завдання, які підібрано зі збірник задач за ред. В. ...; Створено 07 грудня 2021
37. Тригонометричний ряд Фурє на [-Pi;Pi]. Побудова графіка суми ряду: (Функції багатьох змінних); Запам'ятайте формулу для розкладу в тригонометричний ряд Фур'є функції на проміжку[-Pi;Pi] (1) a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є: (2) З формул бачимо, що період функції рівний 2π. Теорема 1. Якщо функція f(x) парна на проміжку (-Pi;Pi), то коефіцієти Фур'є знаходять за формулою (3) Теорема 2. Якщо ...; Створено 07 грудня 2021
38. Розклад в ряди Фур'є за косинусами та синусами: (Функції багатьох змінних); Сьогодні розберемо готові приклади в яких функція задана на одній частині інтервалу, а потрібно продовжити на іншу частину так, щоб функція була парною або непарною. В такому випадку маємо справу з довизначенням функції, а самі розвинення в ряд Фур'є йдуть або за синусами або за косинусами. Ось чому ...; Створено 07 грудня 2021
39. Приклади рядів Фурє на [-l;l]. Побудова графіків: (Функції багатьох змінних); Продовжуємо аналізувати готові приклади на розклад функції в ряд Фур'є. Сьогодні крім обчислень будемо будувати суми рядів. Нагадаємо, що розклад в ряд Фур'є функції f(x) на проміжку [-l;l] має вигляд (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють інтегруванням: (2) Теорема (ознака) Діріхле: ...; Створено 07 грудня 2021
40. Коефіцієнти Фур'є для парних і непарних функцій. Приклади розкладу в ряд: (Функції багатьох змінних); Функція f(x) на проміжку [-l;l] має розклад в ряд Фур'є (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють за формулами: (2) Властивості коефіцієнтів Фур'є 1. Якщо функція f(x), яку розкладаємо в ряд непарна відносно початку координат то коефіцієнти ak=0 рівні нулю, а bk знаходять за формулою. ...; Створено 07 грудня 2021
41. Розклад функції в ряд Фур'є на проміжку [-l;l]: (Функції багатьох змінних); Функція f(x) на проміжку [-l;l] розкладається в ряд Фур'є за формулою (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які знаходять інтегруванням: (2) Алгоритм розкладу функцій в ряди Фур'є Розглянемо поширені на практиці завдання на розвинення в ряд Фур'є. Розпочнемо зі сталих і лінійних функцій, а завершимо ...; Створено 07 грудня 2021
42. Доведення ортогональності функцій з вагою ρ(x): (Функції багатьох змінних); На попередньому уроці ми частково розглянули доведення ортогональності функцій, вивчили наступну теорему. Теорема 1: Нескінченна система функцій φ1(x), φ2(x),..,φn(x),.. називається ортогональною на відрізку [a;b], якщо при будь-яких n≠k виконується рівність (1) при цьому норма функцій не дорівнює ...; Створено 06 грудня 2021
43. Ортогональна система функцій. Приклади на доведення ортогональності: (Функції багатьох змінних); Сьогодні навчимо Вас доводити ортогональність системи функцій, але спершу трохи теорії, щоб вивчити схему доведення. Теорема 1: Нескінченна система функцій φ1(x), φ2(x),…,φn(x),…(1) називається ортогональною на відрізку [a;b], якщо при будь-яких n≠k виконується рівність при цьому норма функцій не ...; Створено 06 грудня 2021
44. Інтегральна ознака Коші+Приклади: (Ряди); Інтегральна ознака Коші-Макларена: нехай загальний член ряду f(n) є монотонною, додатною спадною функцією від номера на проміжку [1,+∞). Тоді ряд f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+… збігається, якщо збіжний невластивий інтеграл <∞ і розбігається, якщо інтеграл прямує до безмежності →∞. На практиці ...; Створено 24 липня 2021
45. Радикальна ознака Коші +Приклади: (Ряди); ... або розбіжність числового ряду. А тепер перейдемо то аналізу готових відповідей з розрахункових та екзаменаційних робіт. Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд Розв'язування: Маємо додатний ряд, причому він має вигляд функції від n в степені функції від n. Це важливо, тому що тільки в такому випадку ...; Створено 23 липня 2021
46. Дослідити на збіжність ряд. Приклади: (Ряди); ... чи знаменнику є степеневі функції або факторіали, то потрібно застосовувати ознаку Даламбера: Границя дорівнює 1/3<1, отже ряд збігається. Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд Розв'язування: Застосуємо граничну ознаку порівняння. З теорії відомо, що будь-який ряд який спадає швидше ...; Створено 22 липня 2021
47. Область збіжності степеневого ряду: (Ряди); ... ряду. Приклад 2. Визначити радіус збіжності та область збіжності функціонального ряду Розв'язування: Повторюємо алгоритм обчислень За формулою Даламбера, щоб ряд був збіжним, необхідно щоб знайдена границя по модулю не перевищувала 1. Звідси розписуємо нерівність з модулем 3|x+2|<1, ...; Створено 22 липня 2021
48. Формули похідної добутку та частки функцій + приклади: ( Диференціювання); На попередньому уроці ми з Вами пройшлися по всіх головних формулах таблиці похідних, та розв'язали цікаві варіанти похідної складеної функції. Для школярів 10, 11 класів практичних завдань було більш ніж достатньо, щоб самостійно розібратися з темою та почати обчислювати важчі похідні. На сьогоднішньому ...; Створено 27 квітня 2021
49. Обчислення похідних. +50 готових прикладів: ( Диференціювання); Щоб добре навчитися знаходити похідну Ви повинні не стільки знати на пам'ять, скільки вміти застосовувати на практиці таблицю похідних. В першу чергу Вам необхідно запам'ятати правила виділені червоними рамками - правило суми, похідна добутку та частки функцій, як брати похідну складеної функції. ...; Створено 27 квітня 2021
50. Похідна складеної функції: ( Диференціювання); На попередніх уроках детально розібрали, як знаходити похідну коли вона має вигляд суми, добутку чи частки двох функцій, що відповідає правилам (3,5,6) таблиці похідних. Сьогодні навчимося знаходити похідні від функцій аргументом яких є функції від "ікс". Наприклад, щоб знайти похідну функції y=(x3+x2+3x+7)5 ...; Створено 25 квітня 2021

Зовнішнє незалежне оцінювання

Готові домашні завдання

Контакти