Приклади рядів Фурє на [-l;l]. Побудова графіків

Продовжуємо аналізувати готові приклади на розклад функції в ряд Фур'є. Сьогодні крім обчислень будемо будувати суми рядів.
Нагадаємо, що розклад в ряд Фур'є функції f(x) на проміжку [-l;l] має вигляд
(1)
де a₀,a_k,b_k - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють інтегруванням:
(2)

Теорема (ознака) Діріхле: якщо функція f(x) кусково-монотонна на проміжку [-l;l] і має в ньому не більше, ніж скінченну кількість точок розриву (першого роду), то її ряд Фур'є збігається до суми f(x₀) у кожній точці неперервності й до суми

у кожній точці розриву.
Це означає, що для розривних функцій в кожній точці розриву нам потрібно до графіка функції добавити точку, яка розміщена рівновіддалено від сусідніх.

Приклад 10. Розвинути в ряд Фур'є функцію:

Накреслити графік суми ряду.
Розв'язування: Визначимо коефіцієнти Фур'є:

Оскільки задана функція f(x) має парне продовження, то b_k=0.
Записуємо для заданої функції ряд Фур'є:

Будуємо графік суми ряду S(x)

З ростом кількості членів розкладу ряд буде краще наближати задану ф-ю.
Для прикладу, покажемо як будувати в Мейплі ряди Фур'є.
restart; with(plots):
f := 2/3-6*/Pi^2(sum(sin((1/3)*Pi*k)^2*cos(2*Pi*k*x*(1/3))/k^2, k = 1 .. 4));
f1 := 2/3-6*/Pi^2(sum(sin((1/3)*Pi*k)^2*cos(2*Pi*k*x*(1/3))/k^2, k = 1 .. 10));
q1:=plot(f,x=-3..3):
q2:=plot(f1,x=-3..3,color=blue):
display(q1,q2);
в результаті отримаємо

З графіку легко бачити, що достатньо взяти кілька перших членів розкладу Фур'є, щоб ряд з необхідною точністю збігався до заданої функції.

Приклад 11. Розвинути в ряд Фур'є функцію:
F(x)=|x| на (-2;2).
Розв'язування: Визначимо коефіцієнти Фур'є:

так як функція f(x)=|x| на (-2;2) є парною, то b_k=0.
Отож, для заданої функції ряд Фур'є має вигляд:

Побудуємо графік суми ряду S(x)

Приклад 12.Розкласти функцію в ряд Фур'є на заданому проміжку
на інтервалі (0;2l).

Розв'язування: Інтегруванням обчислюємо коефіцієнти Фур'є:

За формулою (1) складаємо розклад в ряд Фур'є заданої функції:

На цьому завдання розв'язано. Уважно розбирайте інтеграли, якщо на практиці у Вас будуть пропорційні функції то і значення інтегралів будуть пропорційними.

Приклад 13Знайти розклад Фур'є функції f(x)=x на x∈(1;3) та накреслити графік суми ряду.
Розв'язування: Обчислюємо коефіцієнти Фур'є l=(3-1)/2=1:

Запам'ятовуйте заміни змінних під інтегралом, вони повторюються для багатьох завдань.
Отож, для заданої функції ряд Фур'є має вигляд:

Графік суми ряду S(x) з врахуванням теореми Діріхле має вигляд

Графік ряду Фур'є S(x) теоретично може бути розривний.
На практиці всі радіосигнали і коливання моделюють функціями Фур'є, а вони в свою чергу є комбінацією синусів та косинусів, тому отримують неперервні криві.
Побудуємо графік суми 50 членів ряду S(x) в Мейплі:
f := 2+2*(sum((-1)^(k+1)/(k)*sin(Pi*k*x), k = 1 .. 50))/Pi:
plot(f, x = -5 .. 5, y = 0 .. 4, color = red);

Приклад 14 Розкласти функцію f(x)=x^2 в ряд Фур'є на -1≤x≤1 та накреслити графік суми ряду.
Розв'язування:Так як функція f(x)=x^2 є парною на -1≤x≤1, то застосовуємо формулу Фур'є для парних функцій (з попереднього уроку)

Підставляємо коефіцієнти Фур'є в формулу розкладу ряду (1):

Будуємо графік суми ряду S(x)

Для порівняння покажемо, наскільки просто побудувати графік в Мейплі
f :=1/3+4/Pi^2*(sum((-1)^k/k^2*cos(Pi*k*x), k = 1 .. 10));
plot(f, x = -2 .. 4, y = 0 .. 1, color = red);

На цьому черговий урок на ряди Фур'є добігає кінця.
Далі розберемо, як продовжити функції так щоб вони були непарними або парними, та розвинути їх відповідно за синусами або косинусами.