Знайти локальний екстремум функції f(x,y)

Необхідна умова екстремуму. Диференційовна функція f(P) може досягати екстремуму лише в стаціонарній точці P0, тобто такій, що df(P0)=0.

Звідси слідує, що точки екстремуму функції f(P) задовольняють системі рівнянь
f'_x[i](x₁,…,x_n)=0 (i=1,..,n).

Достатня умова екстремуму. Функція f(P) в точці P0 має:
а) максимум, якщо df(P0)=0, d²f(P0)<0, при
б) мінімум, якщо df(P0)=0, d²f(P0)<0, при
Дослідження знаку другого диференціала d²f(P0) може бути проведено шляхом зведення відповідної квадратичної форми до канонічного виду.
Зокрема, для випадку функції f(x,y) двох незалежних змінних x і y в стаціонарній точці (x0;y0) (df(x0;y0)=0) за умови, що D=AC-B²≠0, маємо:

а) мінімум, якщо D>0, A>0 (C>0);
б) максимум, якщо D>0, A<0;
в) відсутність екстремуму, якщо D<0 (точка перегину функції двох змінних);
г) невизначеність (чи є екстремум чи ні) D=0, потрібне додаткове дослідження.

Функція f(P), яка диференційовна в обмеженій і замкненій області, досягає своїх найбільшого і найменшого значення в цій області або в стаціонарній точці, або в граничній точці області.
Точки в яких перші похідні функції рівні нулю називають стаціонарними точками

Як дослідити на екстремум функцію двох змінних?

Приклад 1.Знайти екстремум функції
z=x²+y²+xy-2x-y.
Розв'язування: Запам'ятайте алгоритм визначення точок екстремумум:
1) Знаходимо часткові похідні першого порядку функції:

2) Прирівняємо їх до нуля, щоб визначити стаціонарні точки:

M(1;0) - точка підозріла на екстремум.
3) Знайдемо похідні другого порядку в точці M(1;0):

4) За критерієм Сильвестра визначимо знак квадратичної форми:

Квадратична форма додатно визначена, тому в точці M(1;0) функція має локальний мінімум.

ІІ спосіб:

Оскільки D=3>0 і A=2>0, то в точці M(1;0) функція має локальний мінімум, а саме
z_min=1^2+0^2+1•0-2•1-0=-1.
Для візуалізації графіка просторової функції в околі точки мінімуму скористаємося математичним пакетом Мейпл, користуватися яким навчаємо на сторінках сайту. Для побудови 3D графіку підключаємо модуль командою
with(plots):
далі будуємо сам графік за допомогою функції plot3d():

Приклад 2. Дослідити на екстремум
z=x^2-y^2+2xy-4x-8y+1
Розв'язування: Знайдемо часткові похідні першого порядку z(x,y):

Прирівняємо до нуля отримані вирази:

Отримали стаціонарну точку F(3;-1) підозрілу на екстремум.
Знайдемо часткові похідні другого порядку в F(3;-1):

Встановлюємо знак другої квадратичної форми за критерієм Сильвестра

Квадратична форма невизначена, тому в точці F(3;-1) функція не має екстремуму (точка перегину).

ІІ спосіб:
Виписуємо значення другої похідної в стаціонарній точці та обчислюємо D:

Оскільки D=-8<0, то в точці (3;-1) функція не має екстремуму.
Графік функції в мейпл побудуємо за допомогою команди
plot3d(x^2-y^2+2*x*y-4*x-8*y+1, x = 1 .. 5, y = -3 .. 1);
Для більшої візуалізації побудуємо анімацію 3D графіку

Як таке робити навчимо Вас на окремому уроці.

Приклад 3. Знайти точку локального екстремуму та характер функції в ній
z=2xy-3x²-2y²+10.
Розв'язування: Повторимо методику знаходження локальних екстремумів, розписану в попередніх 2 завданнях.
1) Знайдемо часткові похідні першого порядку заданої функції:
z'_x=2y-6x,
z'_y=2x-4y.
2) Прирівняємо до нуля перші похідні:

Знайдемо часткові похідні другого порядку в точці M(0;0):

За критерієм Сильвестра визначимо знак квадратичної форми :

Квадратична форма від'ємно визначена, тому в точці (0;0) функція має локальний максимум.

ІІ спосіб:
Визначаємо за значенням других похідних в точці чому рівне D:

D=20>0 та A=-6<0, тому в точці M(0;0) функція має локальний максимум, і досягає значення
z_max=2•0•0-3•0^2-2•0^2+10=10.

Побудуємо 3D графік функції двох змінних
plot3d(-3*x^2+2*x*y-2*y^2+10, x = -2 .. 2, y = -2 .. 2);

Приклад 4. Знайти екстремум функції
z=x³+y³-9xy+27.
Розв'язування: Обчислюємо часткові похідні функції:

Прирівняємо їх до нуля та визначаємо критичні точки

Знайдемо часткові похідні другого порядку в точках M(0;0), N(3;3):

Оскільки D1<0, то в точці M(0;0) функція не має екстремуму.

D2>0, A2>0, тому в точці (3;3) функція досягає локального мінімуму, а її значення рівне
z_min=3^2+3^3-9•3•3+2=0.

Приклад 5. Знайти локальний екстремум функції
z =exp(x/2)*(x+y²)
Розв'язування: Знайдемо часткові похідні першого порядку:

З умови рівності нулю часткових похідних знайдемо критичні точки

Обчислимо часткові похідні другого порядку в точці M(-2;0) :

Друга квадратична форма додатна D=1/e²>0 і A=1/(2e)>0, то в точці M(-2;0) функція має локальний мінімум, а саме
z_min=exp(-2/2)*(-2+0)=-2/e.

Для перевірки наскільки добре засвоїли теорію пробуйте знайти самостійно локальні екстремуми наступних функцій.

На сайті безліч готових прикладів зі студентської практики, щоб швидко знаходити потрібне користуйтеся розумним пошуком, який є під кожним уроком.
Для популяризації ресурсу просьба поширювати посилання на кращі уроки серед друзів та в соціальних мережах!