Сьогодні розберемо готові приклади на границі послідовностей та функцій, повторимо методики знаходження границь, які вивчали на попередніх уроках.
Спершу покажемо, як знаходити границі в Maple.
Для цього зарезервовано дві функції:
Limit() – для виведення на екран формули границі;
limit() – обчислює чому рівна границя.
Додаткові умови left, right застосовують там, де потрібно знайти односторонні границі зліва або справа.
Далі йдуть приклади, щоб охопити більше матеріалу всюди в умовах замість формул наведений код Maple для знаходження відповідних границь.
Приклади на границі послідовностей
Приклад 1. limit((3*n-1)/(2*n+5),n=infinity);
Ділимо чисельник та знаменник на "n" та в граничному переході оцінюємо вирази, що отримали
Приклад 2. limit(sqrt(n^2+3)-sqrt(n^2-3), n = infinity);
Маємо границю різниці коренів, що еквівалентно невизначеності виду "нескінченність мінус нескінченність".
Щоб її розкрити множимо та ділимо на спряжений множник.
Далі оцінюємо чисельник та знаменник дробу
Приклад 3. limit((n^2+3*n+4)/n/(2-5*n), n = infinity);
Найвищим показником показника в чисельнику та знаменнику є 2, тому і там і там ділимо на "n2".
Отримаємо сталі та безмежно малі величини, які в граничному переході рівні 0.
Приклад 4. limit((3*n-1)/(2*n+3)-(2+3*n^2)/(2*n^2-7), n = infinity);
Вирази в дробах мають різні старші показники, але в чисельнику і знаменнику вони рівні.
Тому немає змісту тратити час та зводити до спільного знаменника.
Доцільно чисельник та знаменник в першому дробі розділити на "n", в другому - на "n2".
Приклади на границі функцій
Приклад 5. limit(1/(x-2)-12/(x^3-8),x=2);
Тут маємо границю функції в точці, і зрозуміло, що точка вносить особливість.
Щоб її позбутися розписуємо різницю кубів через формулу та зводимо дроби до спільного знаменника.
Далі в чисельнику та знаменнику виділяємо множники, що вносять невизначеність та спрощуємо їх.
Все решта і покаже до чого прямує границя функції в точці:
Приклад 6. limit((sqrt(8+x)-3)/(x-1), x=1);
Тут розкрити невизначеність типу "нескінченність розділити на нескінченність" допоможе множення на спряжений вираз до чисельника.
В такий спосіб вдається виділити та скоротити вирази, що вносять особливість, решта, що залишиться покаже чому рівна границя в точці:
Приклад 7. limit((x^2+x-2)/(x^3-x^2-x+1),x=1,right);
Тут маємо односторонню границю функції справа від точки.
В Мейплі односторонні границі обчислюють вказавши додаткову опцію "right" або "left", що однозначно показує з якої сторони наближаємося до точки.
Вручну теж важливо за цим слідкувати, оскільки це часто впливає на знак границі.
Уважно розберіть формулу як таку границю знаходити.
Приклад 8. limit((x-2)/(sqrt(5+x^2)-3), x = 2);
Тут в знаменнику маємо корінь квадратний, що в парі з чисельником дає особливість типу {∞/∞}.
Щоб позбутися кореня домножуємо на спряжений вираз, ну і, звичайно, чисельник також на нього множимо, щоб не змінити значення границі.
Далі виділяємо та скорочуємо вирази (x-2), після чого підставляємо значення в точці.
В Maple17 отримаємо ті ж самі результати, як і при ручному обчисленні границь послідовностей та функцій
Не забувайте ставити знак множення "*", це одна з частих помилок при наборі формул.
Другою поширеною помилкою є пропуск круглих дужок "(", ")".
Є ряд границь, які обчислюють через розвинення в ряд, оскільки "в лоб" нічого застосувати не вдається.
От тут сила мат. пакетів розкривається на повну.
Для прикладу, наступна границя
За допомогою команди series() розвинули в ряд безмежно малі функції, далі старші члени ряду повідкидали.
В ручну на такі дії витратили куди більше часу.
Ви можете завантажити Мейпл файл з границями, що тут обчислювали та самостійно вчитися набирати та знаходити границі, що Вам задають..
При потребі навчимо інсталювати Maple 14-ї та 17-ї серії, тому якщо хочете вивчати та користуватися – звертайтеся!
