Приклади на комплексну форму ряду Фур’є на (-l;l)

Формула комплексної форми ряду Фур'є на проміжку (-l;l)
(2)
де (3) комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2
Продовжимо розбирати готові відповіді на розклад в комплексний ряд Фур'є деяких простих функцій.

Приклад 6. Розвинути в комплексний ряд Фур'є функцію:

на [-1;1].
Розв'язування: Через інтеграл знаходимо коефіцієнти Фур'є (l=1).

При n=0 інтегруємо окремо:

Розвинення в ряд Фур'є функції:

Ось і вся схема розвинення в ряд функцій. На практичних Вам не будуть задавати екзотичних функцій, оскільки без мат. пакетів Ви навряд чи візьмете подібні інтеграли.

Далі розберемо кілька завдань зі "Збірник задач за ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика"

Приклад 410)Знайти розвинення в комплексний ряд Фур'є функції f(x)=1-exp(-x) на [-1;1].
Розв'язування: Визначимо коефіцієнти Фур'є (l=1).

При n=0 отримаємо

Комплексна форма ряду Фур'є набуде вигляду:

.

Приклад 413)Розкласти в комплексний ряд Фур'є f(x)=e^x на [-2;2].
Розв'язування: Інтегруванням знаходимо коефіцієнти Фур'є (l=2).

Після спрощень виписуємо ряд Фур'є для f(x)=e^x:

Коефіцієнт С0

враховано в сумі ряду S(x) при n=0.

Приклад 414) Записати комплексний ряд Фур'є для f(x)=x на [-π;π]
Розв'язування: Інтегруємо частинами, щоб знайти коефіцієнти комплексного ряду Фур'є:

Обчислюємо значення при 0-му номері:

Записуємо розклад функції в ряд Фур'є:

Приклад 415)Знайти комплексний ряд Фур'є для кусково сталої функції

на [-1;1].
Розв'язування: Визначимо коефіцієнти Фур'є (l=1).

При n=0 довизначаємо перший доданок ряду Фур'є

Записуємо комплексну форму ряду Фур'є:

Думаю Ви зрозуміли, що без інтегрування тут нічого робити. Наведені приклади вчать Вас алгоритму розкладу в ряди Фур'є, все решта зводиться до інтегрування та перевірки значень ряду при n=0.