Сьогодні навчимо Вас доводити ортогональність системи функцій, але спершу трохи теорії, щоб вивчити схему доведення.
Теорема 1: Нескінченна система функцій φ1(x), φ2(x),…,φn(x),…(1) називається ортогональною на відрізку [a;b], якщо при будь-яких n≠k виконується рівність 
при цьому норма функцій не дорівнює нулю
Запам'ятайте ці 2 інтеграли, адже їх постійно будете обчислювати на практиці для доведення ортогональності функцій.
Перший інтеграл повинен бути рівний нулю і він показує, що функції (вектори в просторі функцій) ортогональні, якщо скалярний добуток рівний нулю.
Норма функцій не має перетворюватися в нуль при будь-яких значеннях змінної з проміжку [a;b].
Ортогональна система функцій (1) називається повною, якщо для будь-якої функції f(x) з інтегруючим квадратом, тобто таким, що інтеграл
обмежений, та виконується рівність
Середньоквадратичне відхилення суми 
від функції f(x) прямує до нуля при n→∞.
Якщо виконується ця рівність, то ряд Фур'є збігається до функції f(x) в середньому.
Зі збіжності в середньому не слідує збіжність в кожній точці відрізка [a;b].
Як довести ортогональність функцій з вагою ρ(x)≥0 буде показано пізніше.
Доведення ортогональності функцій
Приклад 1. Довести, що система функцій {sin(nx), n=1..∞} ортогональна на [0;π].
Обчислення: Перевіряємо першу умову ортогональності функцій
Обчислимо інтеграл добутку функцій
де n і k - натуральні числа (n≠k).
Норма =π/2 відмінна від нуля, тому робимо висновок, що система функцій {sin(nx)} ортогональна на [0;π].
В цьому і полягає весь алгоритм доведення ортогональності функцій на практиці.
Для правильного обчислення інтегралів Ви повинні добре знати формули пониження степенів добутків синусів і косинусів, в іншому випадку інтеграли самостійно обчислити не зможете.
Приклад 2. Перевірити чи система функцій 
ортогональна на [-π;π].
Обчислення: Уважно перегляньте, який інтеграл слід брати для перевірки ортогональності ф-й, а який для знаходження норми.
Інтегруванням знаходимо норму функцій
Тут всюди n і k - натуральні числа (n≠k).
Обидві умови теореми 1 виконується, таким чином довели, що задана система функцій ортогональна на [-π;π].
Приклад 3. Довести, що система косинусів {cos(πnx/l)} ортогональна на проміжку на [-l;l].
Доведення:Знаходимо скалярний добуток функцій інтегруванням
Він рівний нулю.
Перевіримо умову нормування
Норма =l≠0, тому в підсумку - система функцій ортогональна на [-l;l].
Приклад 4. Довести, що система функцій {sin(Pi*nx/l)} ортогональна на [-l;l].
Доведення: За знайомим алгоритмом складаємо інтеграл та доводимо, що він рівний нулю
Обчислюємо квадрат норми функцій
Оскільки інтеграл =l≠0, то умова нормування виконується.
В такий спосіб показали, що обидві умови теореми ортогональності виконуються.
Якщо вмієте інтегрувати складені функції, то такі інтеграли швидко навчитеся знаходити самостійно. Для цього потрібно багато практики, а переглянути як це робити Ви в будь-який час можете онлайн.
Далі навчимо перевіряти та доводити ортогональність функцій з вагою ρ(x) та складати розклад функцій в ряд Фур'є.
