Нехай маємо функцію u=f(x;y;z), що визначена в (відкритій) області D, причому кожна зі змінних x, y, z і собі є функціями від змінної t в деякому проміжку:
x=φ(t), y=ψ(t), z=χ(t).
Нехай, крім того, при зміненні t точки (x;y;z) не виходять за межі області D.
Підставимо значення x, y, z у функцію u=f(x;y;z), отримаємо складену функцію: u=f(φ(t),ψ(t),χ(t)).
Нехай u має по x, y, z неперервні часткові похідні u'x, u'y, u'z
і похідні за змінною t
x't, y't, z't
існують.
Тоді справедливі формули похідної складеної функції:
(1)
Тепер розглянемо випадок, коли x, y, z залежать не від однієї змінної t, а від декількох змінних, наприклад
x=φ(t;v), y=ψ(t;v), z=χ(t;v).
Тоді маємо формули частинних похідних складених функцій:
(2)
Також для вивчення теми Вам буде потрібна таблиця похідних, тому її тут приведемо, а Ви її краще видрукуйте та майте перед очима.
Приклад 1.1 Знайти dz/dt, якщо
z=ex+y2, де x=ln(t), y=sin(t).
Обчислення: Застосовуємо формулу (1) для складеної функції z:
Приклад 1.2 Знайти dz/dt, якщо
де x=tan(t),y=-ctg(t).
Обчислення: З таблиці похідних беремо формули похідних арктангенса (22), тангенса (16) і котангенса (11), та розписуємо добуток похідних за формулою для складених функцій (1)
Приклад 1.3 Визначити dz/dt, якщо
z=exp(2x-3y), де x=tg(t), y=t2-1.
Обчислення: Не забуваємо, що тут експонента має складний аргумент, тому формула (11) не підійде, а якщо її і використовувати, то додатково потрібно домножити на похідну від (2x-3y) за змінною.
Перегляньте як знаходили похідну 
Приклад 1.4 Обчислити dz/dt, якщо z=arcsin(x-y), де x=3t,y=4t3.
Обчислення:Похідну від арксинуса обчислюємо за формулою (20)+домножуємо на похідні від аргументів, оскільки функція складена. Далі все це множимо на похідні від змінних за (1) формулою
Приклад 1.5Знайти dz/dt, якщо z=arctg(x/y), де x=e2t+1, y=e2t-1.
Обчислення: Не забуваємо, що під арктангенсом складений аргумент, тому застосовуємо формули (22), (24).
А оскільки аргументи є також функціями параметра t, то похідні експонент знаходимо за (11) ф-лою, а вже dz/dt розписуємо згідно (1):
Все решта, це зведення до спільного знаменника та підставлення x(t), y(t), щоб похідна була залежна тільки від параметра dz/dt=z't(t).
Диференціал складених функцій
Приклад 2.1 Знайти диференціал dz для функції z=f(u,v), якщо u=cos(x∙y), v=x5-7y.
Обчислення: Тут аргументи функції u, v є функціями двох аргументів, тому застосовуємо формулу (2) для знаходження диференціалу функції
Оскільки z задана неявно, то це дещо спрощує як обчислення, так і читання формули диференціалу.
Частинні похідні від складених функцій Ви повинні вміти брати, якщо ні, то можете переглянути уроки на похідні.
Приклад 2.2 Знайти dz для функції z=f(x, y, t), якщо x=u+v, y=u2+v2, t=u∙v.
Обчислення: Тут маємо функцію трьох змінних, аргументи якої є функціями ще 2 змінних, тому формула диференціалу міститиме на 2 доданки більше за попередній приклад. Записуємо формулу диференціалу та підставляємо відповідні похідні
Далі групуємо часткові диференціали.
Приклад 2.3 Обчислити dz, якщо z(x, y) має вигляд
Обчислення: Функція задана в явному виді та містить дві змінні, тому її диференціал знаходимо за формулою
При обчисленні слід врахувати правило добутку. Наостанок згрупували доданки та винесли експоненту як множник, щоб отримати компактний вираз диференціалу.
Далі розв'яжемо приклади на похідні неявно заданих функцій багатьох змінних.
