На попередніх уроках розглянули усі важливі ознаки збіжності як додатних, так і знакозмінних рядів. Тут буде практика, і лише практика з доведення збіжності ряду або його розбіжності.
Необхідна умова збіжності ряду: Якщо границя загального члена ряду не прямує до нуля при номері прямуючому до безмежності то ряд є розбіжним.
Якщо ця умова виконується, то ще не факт, що ряд збігається, потрібно застосовувати одну з розглянутих далі ознак збіжності числових рядів.
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: Перш ніж переходити до певної ознаки збіжності ряду слід переконатися (візуально), що загальний член ряду прямує до нуля.
Знайдемо границю an:
Оскільки загальний член ряду прямує до 1/100^2≠0, то необхідна умова збіжності ряду не виконується. Тому ряд розбіжний.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: Запам'ятайте: якщо ряд має вигляд дробу де в чисельнику чи знаменнику є степеневі функції або факторіали, то потрібно застосовувати ознаку Даламбера:
Границя дорівнює 1/3<1, отже ряд збігається.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: Застосуємо граничну ознаку порівняння.
З теорії відомо, що будь-який ряд який спадає швидше за гармонійний bn=1/n є збіжний.
В нашому випадку порівняємо зі збіжним узагальненим гармонійним рядом вигляду
cn=1/n^2, де показник степеня a=2>1.
Обчислимо відношення n-х членів при номері, що прямує до безмежності
Оскільки границя існує (=1/2) і скінченна, то обидва ряди є збіжними, що і треба було встановити.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: За правилом Даламбера знаходимо границю
Границя нескінченна, тому ряд розбігається.
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд та знайти його суму
Розв'язування: Загальний член ряд можна спростити, розділивши почленно чисельник на знаменник
В такий спосіб ряд замінили сумою двох збіжних геометричних рядів
Можна доводити збіжність окремо взятого ряду, проте і так видно характер їх спадання.
За формулою суми геометричного ряду обчислюємо суму заданого
Остаточно, ряд збіжний і його сума дорівнює 7/3.
Приклад 6. Дослідити збіжність ряду
Розв'язування: Якщо бачите, що ряд має вигляд дробу піднесеного в певному степені, що залежить від n, то можете сміло використовувати радикальну ознаку Коші:
Якщо границя менша одиниці, то ряд збіжний.
В нас границя 9/16 менша одиниці, тому ряд збігається.
Приклад 7. Загальний член ряду задано формулою
Довести розбіжність ряду.
Розв'язування: Застосуємо радикальну ознаку Коші
Границя =15/12>1, тому робимо висновок про розбіжність ряду.
Приклад 8. Дослідити збіжність ряду
Розв'язування: Дослідимо ряд з допомогою інтегральної ознаки Коші.
На практиці її застосовують вкрай рідко, але Ви повинні знати її та вміти користуватися.
Для цього випишемо відповідний інтеграл до ряду та, методом заміни змінних, знайдемо його значення
Уважно співставте змінні в інтегралі та межі з тим, що маємо в ряді.
n - заміняємо "іксом", межі — початок та кінець лічильника ряду.
Інтеграл (=1/ln2) скінченний, отже ряд також збігається.
Приклад 9. Дослідити на збіжність
Розв'язування: В чисельнику маємо факторіал функцію в знаменнику степеневу, тому найпростіше тут застосувати ознаку Даламбера
Границя відношення наступного члена ряду до попереднього нескінченна, тому за ознакою Даламбера ряд розбігається.
Приклад 10. Довести, що ряд розбігається
Розв'язування: Спершу перетворимо загальний член ряду.
Оскільки під логарифмом маємо 1+ нескінченно малу величину, то логарифм такого виразу рівний еквівалентній нескінченно малій величині
Далі ряд заміняємо еквівалентним
Отримали узагальнений гармонійний ряд з показником p=5/6<1, який є розбіжний. Тому заданий ряд, з якого отримали узагальнений гармонійний ряд, також розбігається.
Приклад 11. Довести збіжність ряду
Розв'язування: При n→∞ арктангенс нескінченно малої величини має характер самої величини, тому доцільно застосувати ознаку порівняння
При обчисленні границі
отримаємо ряд Діріхле з показником p=8/7>1.
Він швидше спадає ніж гармонічний ряд, тому є збіжним.
Приклад 12. Чи збіжний ряд
Розв'язування: Тут застосуємо метод порівняння.
При n→∞ синус від нескінченно малої величини замінюємо малою величиною sin(1/n)≈1/n.
Отримали ряд Діріхле з показником p=11/10>1, він швидше спадає за гармонічний ряд.
Оскільки члени отриманого ряду швидше спадають за члени гармонічного (є розбіжним), то заданий ряд збігається.
Приклад 13. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: В таких завданнях часто допускають помилку, виписуючи наступний член ряду для ознаки Даламбера.
Суть полягає в тому, що знаменник подають у вигляді
1•3•5•…(2(n+1)-1)=1•3•5•…(2n+1)
гублячи при цьому попередній множник.
Зверніть на це увагу і візьміть за правило подавати наступний член через попередній
1•3•5•…(2n-1)(2(n+1)-1)=
= 1•3•5•…(2n-1)(2n+1).
Тоді при знаходженні границі наступного члена ряду до попереднього
отримаєте коректне значення.
Приклад 14. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: В знаменнику загального члена ряду маємо степеневу функцію 4^n, тому це нас спонукає до застосування формули Даламбера
Границя менша одиниці, тому за правилом Даламбера ряд збігається.
Приклад 15. Дослідити на збіжність ряд
Розв'язування: Для дослідження збіжності скористаємося ознакою Даламбера:
Оскільки границя нескінченна, то ряд розбігається.
Приклад 16. Довести збіжність ряду
Розв'язування: Тут можна повозитися з ознакою Даламбера, але швидше можна отримати результат, якщо використати радикальну ознаку Коші.
Беремо границю кореня n-го порядку від загального члена та розписуємо
Границя менша одиниці, тому ряд збігається.
Більше готових прикладів та детальних пояснень до ознак збіжності ряду Ви знайдете на сусідніх сторінках сайту. Ми постійно допомагаємо студентам, тому відповідей до завдань на ряди попереду ще багато.
"Практикуйте самостійно!" - це найкраща порада, яка в швидкому часі принесе Вам хороші результати.
