Як розкласти функцію в ряд Фур'є на (-π;π]?

Продовжуємо розбирати готові приклади на розклад в ряд Фур'є функцій, заданих на інтервалі (-Pi;Pi).
Формула ряду Фур'є
(1)
a₀, a_k, b_k - коефіцієнти Фур'є знаходять інтегруванням:
(2)

Методика розкладу функції в ряд Фур'є

Розберемо готові завдання, які підібрано зі збірник задач за ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика.

Приклад 21 (385). Розвинути функцію в ряд Фур'є f(x)=|x| на інтервалі (-Pi;Pi) та знайти суму числового ряду

Розв'язування: Першим кроком встановлюємо чи функція парна або непарна на розглянутому інтервалі. Якщо парна то всі b_k=0, якщо непарна то а_k=0. Це слідує з властивостей інтегралів, які в свою чергу спрощують обчислення коефіцієнтів Фур'є.
Визначимо обчислення a₀ за загальною формулою (2):

Усі наступні коефіцієнти (функція f(x)=|x| парна на (-Pi;Pi]) за формулою для парних функцій (розглянуто на попередньому уроці, тут підкреслено у формулах).
При інтегруванні отримаємо:

Далі за формулою (1) складають розвинення в ряд Фур'є фукції f(x):
(3)
Тут в штучний спосіб позбулися доданку виду (-1)^k-1 заміною індекcа в ряді k=2n-1.
При парних k цей множник перетворюється в 0, при непарних рівний 2, що спрощує сам запис ряду.
На цьому більшість завдань з практики закінчується.
Іноді в умові просять побудувати графік суми ряду чи знайти чому рівний частковий ряд.

Якщо потрібно знайти додатковий ряд то поступають наступним чином.
2) Нехай нам потрібно виразити суму

Її можна отримати з ряду (3), якщо всі косинуси будуть рівні одиниці, тобто виконується
cos(2n-1)x=1.
Ця умова задовільняється в точці x=0, при цьому (3) з врахуванням, що f(x)=|x| в x=0 рівна f(0)=0, міститиме потрібний нам ряд

звідси виражаємо шукану суму ряду

І так розв'язують усі подібні завдання.

Приклад 22 (388) Розкласти в тригонометричний ряд Фур'є функцію
на (-π;π].
Побудувати графік суми ряду.
Розв'язування: Бачимо, що функція ні парна ні непарна, тому обчислюємо коефіцієнти розкладу Фур'є за формулою (2):

Уважно перегляньте, як брати інтеграли від подібних функцій. Заміни змінних і переходи у Вас завжди будуть або такі ж, або подібні.
Далі за формулою (1) записуємо розвинення в ряд Фур'є функції:

Щоб побудувати графік суми ряду потрібно функцію з умови з періоду (-π;π] продовжити та зробити періодичною на всій осі

Окрім цього, в точках розриву нанести точки, які за теоремою Діріхле є середнім значенням функції зліва та справа від розриву.
Для розуміння цього достатньо.
Однак Ви повинні знати, що сума ряду S(x) насправді є неперервною, тому на краях де на графіку є розриви слід з'єднати точки.
В результаті отримаємо потрібний нам графік.
Для наочності побудуємо графік суми ряду S(x) в мат. пакеті Мейпл
f := 3*Pi/4+(sum(((-1)^(k+1)+1)/(Pi*k^2)*cos(k*x)+(-1)^k/k*sin(k*x), k = 1 .. 50)):
plot(f, x = -3*Pi .. Pi, y = -.5*Pi .. 1.1*Pi, color = red);

Тут добре видно осциляцію на краях, зумовлену наближенням функції рядами Фур'є, та наперервність в токчах кратних π.

Приклад 23 (394)Знайти розклад в ряд Фур'є f(x)=x² на (0;π] по синусах.
Побудувати графік суми ряду.
Розв'язування:Це поки що новий для Вас тип прикладів, де функцію задано на частині інтервалу. Тоді як f(x) потрібно продовжити на весь інтервал, так щоб вона була парною або непарною.
Якщо потрібно розвинути функцію по синусах то її слід довизначити і зробити непарною на частині інтервалу, якщо ж потрібно розвинути по косинусах, то слід довизначити f(x) так, щоб вона була парною відносно початку координат.
Продовжимо f(x)=x^2 непарно на (-π;0] , для цього подамо її у вигляді f(x)=x•|x|.
Далі можна розкласти в ряд Фур'є по синусах.
В розкладі по синусах коефіцієнти a₀=0 і a_k=0, оскільки функція f(x) непарна на (-π;π].
b_k знаходимо інтегруванням

Складаємо ряд Фур'є за синусами

Періодично зміщений графік f(x) дає нам суму ряду S(x)

Графік ряду Фур'є S(x) побудуємо для 50 перших членів ряду
f := sum((2*Pi*(-1)^(k+1)/k-(4*(1-(-1)^k))/(Pi*k^3))*sin(k*x), k = 1 .. 50):
plot(f, x = -2*Pi .. 2*Pi, y = -1.1*Pi^2 .. 1.1*Pi^2, color = red);

Використовуйте наведені обчислення для онлайн навчання і як підказку, адже знайдені інтеграли справедливі для всіх лінійних чи квадратичних функцій. Так що багато з того, що тут є можна повторно використовувати, головне бажання вчитися та розв'язувати самостійно.