Друга важлива границя дозволяє розкривати невизначеності виду {∞/∞},{1∞}, {0∞}.
Випишемо формулу другої важливої границі та її наслідків
(1)
Як можна бачити, сама границя дозволяє розкрити невизначеності на нескінченності, її наслідки в нулі, коли зміннаи приймає безмежно малі значення.
Експонента e≈2,7182818284590452 Ви досить часто будете отримувати в математиці: зустрічається в границях, інтегралах, тригонометрії.
Розглянемо приклади та пояснимо алгоритм зведення невизначеностей під правило другої важливої границі.
Умову "Знайти границю" чи "Обчислити границю" в поясненнях опускаємо. Всі ми знаємо, що мета уроку навчитися бачити за формулою, які перетворення слід застосувати, щоб підвести описані вище невизначеності під формулу важливої границі.
Приклад 1. При підстановці отримаємо невизначеність типу одиниця в степені безмежність. Щоб її розкрити в чисельнику додаємо та віднімаємо одиницю, щоб отримати вираз як у знаменнику дробу, після чого ділимо. В результаті отримаємо в дужках одиниця мінус безмежно мала величина.
Щоб звести під правило 2 важливої границі в показнику потрібно виразити обрнену величину до другого доданку.
Для цього одночасно "ікс" множимо та ділимо на -1/(1+x).
Тоді перша частина дасть формулу 2 важливої границі, тому рівна експоненті, а границю степеня, що залишився обчислюємо
Не лякайтесь, що в формулі перед доданком стоїть знак "+", а в формулах "-".
Вся суть методу в тому, щоб отримати степінь обернений до доданку (зі знаком плюс чи мінус не важливо).
Приклад 2. Повторимо ті ж дії, щоб розкрити невизначеність виду {1∞}.
Наприкінці перетворень, щоб не залишати кореня квадратного в знаменнику перенесли його в чисельник.
Приклад 3. Аназуючи доданок та степінь бачимо, що вони не є обернено пропорційні.
Тому спершу добиваємося, щоб вираз в дужках піднесений до степеня відповідав 2 важливій границі = експонеті, а границю степненя, що при цьому залишився розписуємо
Приклад 4. Перше, на що слід звернути це те, що змінна не прямує ні до нуля, ні до нескінченності, а до одиниці.
Маємо невизначеність виду одиниця в степені нуль {1∞}.
Щоб її розкрити виділимо в дужках в штучний спосіб безмежно малу величину
Тоді в степені виразимо обернену величину.
Отримаємо все, щоб застосувати наслідок другої чудової границі під номером 1) (вгорі).
Будьте готові до таких завдань та поступайте аналогічно.
Приклад 5. Перетворюємо чисельник, щоб отримати вираз рівний знаменнику.
Наступним кроком алгоритму є виділення в степені обернено пропорційного виразу до доданку в дужках.
Для цього "ікс", що є в степені, множимо та ділимор на доданок в дужках біля одиниці.
Подальші обчислення приводять до того, що в степені дістаємо дріб, знаменник якого безмежно малий.
В таких випадках будьте уважні, тому що в граничному переході отримаємо "+" або "-" нескінченність.
Все залежить від знаку чисельника!
Тому слідкуйте, який знак він приймає.
Приклад 6. Маємо частку квадратних тричленів, які в граничному переході дають особливість виду {1∞}.
Методика розкриття неодноразово тут наводилася - виділяємо в чисельнику квадратний тричлен, що є в знаменнику дробу.
Далі ділимо, щоб отримати вираз виду 1+ безмежно мала величина.
Обернену до неї записуємо множником в степінь, і в ньому ділимо на неї, щоб степінь залишився тим самим.
Отримуємо експоненту в степені =5, який визначаємо простим граничним переходом.
Всі деталі переходів містять формули, та й сам алгоритм зведення під правило другої важливої границі не важкий в застосуванні.
Приклад 7. Уважно перегляньте цей приклад. Під коренем Вам можуть задати будь-яку безмежно малу величину (синуси, тангенси, обернені функції, які прямують до нуля).
Вся робота зводиться до того, щоб виділити або доданок, або степінь обернений до доданку.
Тут звели до формули першого наслідку з другої чудової границі.
Крім того, в показнику отримали готову формулу першої важливої границі, а вона як Ви знаєте, рівна одиниці.
Ось такі бувають завдання одразу на дві важливі границі.
Приклад 7. Завдання подібне до попереднього, тільки тут потрібно не отримати експоненту.
А зауважити, що маємо не одиницю + безмежно малу величину, а 7.
Тому оцінюємо окремо вираз дужках, окремо степінь та знаходимо їх граничні значення:
Думаю наступного разу Ви будете знати, як знайти границю, якщо вираз містить не одиницю.
Приклад 8. Зводимо під формулу другої важливої границі, попередньо націло поділивши дріб.
Приклад 9. Є і такий метод спрощення дробу – додати та відняти одиничку, а тоді одиницю зі знаком "-" звести з дробовою функцією до спільного знаменника. В результаті прийдемо до того, що в степені потрібно виразити обернений вираз, а все що залишиться оцінити.
Для оцінки степенів пам'ятайте, що на безмежності найбільше впливає змінна в вищому степені,
в нулі – навпаки, чим менший степінь змінної, тим більше значення приймає вираз.
Побільше розв'язуйте самостійно, саме в цьому ключ до успіху в математиці!
