- 1. Метод Бернуллі для лінійних ДР 1 порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... метод розписаний раніше, тут його ефективність буде показано при обчисленнях, тому ваше завдання швидко запам'ятати метод Бернуллі, щоб в подальшому могти вільно повторити до подібних ДР першого порядку. Приклад 1. Знайти розв'язок диференціального рівняння y'-2y/x=2x3. Розв'язування: З вигляду бачимо, ...
- Створено 23 липня 2022
- 2. Класифікація диф. р-нь першого порядку та приклади
- (Диференціальні рівняння)
- ... Ось і вся методика обчислення найпростіших ДР. Рівняння з відокремлюваними змінними Приклад 4. Знайти загальний розв'язок ДР y'=x*(y-1) Розв'язування: Маємо ДР з відокремлюваними змінними, оскільки права сторона має вигляд f(x)*g(y) Замінюємо y'=dy/dx, розділяємо змінні та інтегруємо де C=ln(c) ...
- Створено 14 липня 2022
- 3. Приклади обчислення інтегралів + інтеграли в Мaple
- (Інтегрування)
- ... ускладнити обчислення, так і значно спростити їх. Тут в штучний спосіб перетворили дріб та заміною змінних звели до інтеграла дробової функції, який рівний логарифму В мат. пакеті закладений свій алгоритм, тому результат відрізняється (див. нижче) Приклад 3. int(x*exp(-x), x); Майже усі інтеграли, ...
- Створено 10 січня 2022
- 4. Як інтегрувати раціональні функції?
- (Інтегрування)
- Алгоритм обчислення інтегралу раціонального дробуВиділити цілу частину (якщо дріб неправильний) Розкласти правильний дріб на найпростіші дроби Проінтегрувати цілу частину та найпростіші дроби Який вигляд мають дроби при розкладі Ви можете перечитати з попереднього уроку. Залежно від вигляду ...
- Створено 04 січня 2022
- 5. Інтеграл та перетворення Фур'є. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... Діні, Ліпшиця і ряд других, це все Ви зможете знайти в додатковій літературі до серії уроків на ряди. Ми хочемо навчити Вас обчислювати перетворення Фур'є, тому далі піде тільки практика. Алгоритм обчислення інтегралів та перетворень Фур'є Приклад 1.Зобразити за допомогою інтеграла Фур'є наступні ...
- Створено 09 грудня 2021
- 6. Комплексна форма ряду Фур’є на (-π;π). Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... ь переходів між інтегралами. Отож, для заданої функції ряд Фур'є має вигляд: Нульовий коефіцієнт входить в суму ряду S(x) при k=0. Приклад 4. Розвинути в комплексний ряд Фур'є функцію f(x)=x2 в інтервалі [-π;π]. Розв'язування: Для обчислення коефіцієнтів Фур'є під інтегралом вводи ...
- Створено 08 грудня 2021
- 7. Як розкласти функцію в ряд Фур'є на (-π;π]?
- (Функції багатьох змінних)
- ... інтегралів, які в свою чергу спрощують обчислення коефіцієнтів Фур'є. Визначимо обчислення a0 за загальною формулою (2): Усі наступні коефіцієнти (функція f(x)=|x| парна на (-Pi;Pi]) за формулою для парних функцій (розглянуто на попередньому уроці, тут підкреслено у формулах). При інтегруванні ...
- Створено 07 грудня 2021
- 8. Приклади рядів Фурє на [-l;l]. Побудова графіків
- (Функції багатьох змінних)
- Продовжуємо аналізувати готові приклади на розклад функції в ряд Фур'є. Сьогодні крім обчислень будемо будувати суми рядів. Нагадаємо, що розклад в ряд Фур'є функції f(x) на проміжку [-l;l] має вигляд (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють інтегруванням: (2) Теорема (ознака) Діріхле: ...
- Створено 07 грудня 2021
- 9. Коефіцієнти Фур'є для парних і непарних функцій. Приклади розкладу в ряд
- (Функції багатьох змінних)
- Функція f(x) на проміжку [-l;l] має розклад в ряд Фур'є (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють за формулами: (2) Властивості коефіцієнтів Фур'є 1. Якщо функція f(x), яку розкладаємо в ряд непарна відносно початку координат то коефіцієнти ak=0 рівні нулю, а bk знаходять за формулою. ...
- Створено 07 грудня 2021
- 10. Ортогональна система функцій. Приклади на доведення ортогональності
- (Функції багатьох змінних)
- ... Приклад 1. Довести, що система функцій ортогональна на [0;π]. Обчислення: Перевіряємо першу умову ортогональності функцій Обчислимо інтеграл добутку функцій де n і k - натуральні числа (n≠k). Норма =π/2 відмінна від нуля, тому робимо висновок, що система функцій ортогональна на [0;π]. В ...
- Створено 06 грудня 2021
- 11. Формула Гаусса-Остроградського. Перетворення поверхневого до потрійного інтегралу
- (Інтегрування)
- Формула Гаусса-Остроградського застосовують для перетворення об'ємного (потрійного) інтеграла до інтегралу по замкнутій поверхні (подвійний) перетворення об'ємного (потрійного) інтеграла до інтеграла по замкнутій поверхні (подвійний), і навпаки: Інше застосування для обчислення потоку векторного поля ...
- Створено 26 грудня 2018
- 12. Поверхневий інтеграл другого роду. Напрямні косинуси
- (Інтегрування)
- Розберемо відповіді до завдань на обчислення поверхневих інтегралів другого роду по поверхні сфери та еліпсоїда. Загалом методика годиться для будь-яких поверхонь, але через великі формули тут розберемо два приклади. Ви навчитеся переходити від інтегралів другого роду до першого роду через напрямні косинуси, ...
- Створено 25 грудня 2018
- 13. Поверхневі інтеграли першого роду. Готові відповіді
- (Інтегрування)
- Наведемо готові відповіді до завдань на знаходження поверхневих інтегралів першого роду. Усі приклади доповнені рисунками поверхонь по яких інтегруємо, пояснено для чого потрібна перша квадратична форма та коли вона потрібно. Алгоритм обчислення поверхневих інтегралів добре розписаний на різних параметризованих ...
- Створено 25 грудня 2018
- 14. Площа плоских фігур через криволінійний інтеграл ІІ роду
- (Інтегрування)
- Криволінійні інтеграли застосовують для обчислення довжини дуг кривих, площі замкнених областей, об'ємів тіл. Далі проаналізуємо відповіді до прикладів з інтегрування в яких з допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду будемо обчислювати площу еліпса, астроїди, лемніскати. Завдання 1 За допомогою ...
- Створено 23 грудня 2018
- 15. Обчислення інтегралу ІІ роду між двома точками в просторі
- (Інтегрування)
- Схема обчислення криволінійного інтегралу другого роду вздовж плоскої кривої раніше добре розписано на основі формули Ньютона-Лейбніца. Для просторових кривих алгоритм аналогічний, складність полягає в присутності третьої координати. Таким чином маємо три диференціали, тому щоб два з них зробити рівними ...
- Створено 23 грудня 2018
- 16. Інтеграл другого роду вздовж просторової кривої
- (Інтегрування)
- Розберемо розв'язки прикладів на обчислення криволінійних інтегралів другого роду вздовж просторових кривих. Алгоритм обчислень Вам швидше запам'ятається з аналізу готових відповідей, основні переходи добре закоментовані та пояснені. Завдання 1 Обчислити криволінійний інтеграл 2-го роду вздовж просторової ...
- Створено 23 грудня 2018
- 17. Інтегрування повних диференціалів. Криволінійний інтеграл
- (Інтегрування)
- ... перетворюється в нуль, що спрощує обчислення. Детальніше алгоритм перевірки підінтегрального виразу на повний диференціал та обчислення криволінійних інтегралів наведені в наступних 6 прикладах. Завдання 1 Переконавшись, що підінтегральний вираз є повним диференціалом, обчислити криволінійний інтеграл ...
- Створено 22 грудня 2018
- 18. Інтеграл другого роду вздовж кривої
- (Інтегрування)
- Завдання 1 Обчислити криволінійний інтеграл 2-го роду int[(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy, C] вздовж кривих, що пробігають у напрямку зростання параметра: де C - парабола y=x2 (-1≤x≤1). Розв'язання: Маємо параболу y=x2 з вершиною в точці (0,0) і гілками вгору. Графік параболи та напрямок обходу дуги наведено ...
- Створено 22 грудня 2018
- 19. Довжина дуги просторової кривої
- (Інтегрування)
- ... розглянемо складніші завдання в яких обчислення похідних та диференціалу дуги ускладнюється. Приклад 2 Знайти довжину дуги просторової кривої (a>0): (x-y)2=a(x+y), x2-y2=9/8•z2, від точки O(0,0,0) до точки A(x0,y0,z0). Розв'язання: В подібних прикладах доцільно зробити заміну змінних: ...
- Створено 22 грудня 2018
- 20. Інтеграл першого роду по дузі кола, гіперболи, астроїди, ланцюгової лінії
- (Інтегрування)
- Обчислення інтегралу першого роду вздовж криволінійних дуг не важко виконати, якщо правильно знайдений диференціал дуги. Формули для обчислення диференціалу дуги кривої, коли вона задана параметрично, в декартових чи полярних координатах, явно чи неявно розглядалися раніше. Далі розберемо відповіді ...
- Створено 22 грудня 2018
- 21. Криволінійний інтеграл I роду для кривих в полярних координатах
- (Інтегрування)
- ... обчислення криволінійного інтеграла запараметризуємо криву, щоб вона мала простий вигляд в полярній системі координат (СК). Параметричне рівняння заданого кола отримаємо заміною змінних: звідси Далі обчислюємо диференціал дуги за формулою: Знаходимо вигляд підінтегральної функції в полярній ...
- Створено 19 грудня 2018
- 22. Обчислення криволінійного інтегралу I роду для плоских кривих
- (Інтегрування)
- До Вашої уваги добірка готових відповідей на обчислення криволінійних інтегралів вздовж прямолінійних та криволінійних контурів на площині. Методика розрахунку криволінійних інтегралів наведена раніше і детально розписана. Тут лише розберемо приклади з практичних для студентів 1,2 курсу та зупинимося ...
- Створено 19 грудня 2018
- 23. Обчислення потрійних інтегралів. Знаходження об'єму тіла
- (Інтегрування)
- ... На практиці це спрощує взяття інтегралів та спрощує розрахунок. Запам'ятайте, що від вибору системи координат процес обчислення інтегралів має велике значення. Кулі сфери, циліндри зручно інтегрувати в тих системах координат в яких їх канонічні рівняння мають найпростіший вигляд. ЗАВДАННЯ 5.7 Знайти ...
- Створено 19 грудня 2018
- 24. Потрійний інтеграл. Об'єм тіла
- (Інтегрування)
- ... Ox. Межі інтегрування в заданій системі Oxz: 0≤x≤4, , 0≤z≤2-y. Тут і далі будемо брати тільки чверть тіла, оскільки усі тіла обертання симетричні. Результат при цьому потрібно не забути помножити на 4. Об'єм тіла записуємо через потрійний інтеграл, а далі виконуємо обчислення В окремих випадках ...
- Створено 19 грудня 2018
- 25. Як обчислити площу плоскої фігури, що обмежена лініями?
- (Інтегрування)
- ... інтеграли шукати площу, вміння правильно розставляти межі; добрих знань з обчислення інтегралів, оскільки до цього все зводиться. Приклад 1. Знайти площу фігури, що обмежена лініями. Зробити малюнок. y=cos(x), y=0, x=-π/2, x=π/6. Обчислення: Запишемо межі інтегрування: π/2≤x≤π/6. Побудуємо косинусоїду ...
- Створено 11 грудня 2018
- 26. Зміна меж при зміні порядку інтегрування
- (Інтегрування)
- ... при обчисленнях Бачимо, що при зміні порядку інтегрування область інтегрування необхідно розділити на дві підобласті D=D1+D2 D1: 0≤x≤1, 0≤y≤x; D2: 1≤x≤2, 0≤y≤2-x. Це зумовлено тим, що нижня межа по ігрику в нас постійна, а верхня змінюється при проходженні "іксів" від 0 до 2. При цьому подвійний ...
- Створено 11 грудня 2018
- 27. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах
- (Інтегрування)
- Детально проаналізуємо готові відповіді на обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат. Уважно перечитайте як методику переходу від декартових до полярних координат, так і від чого змінюється складність знаходження подвійних інтегралів. ЗАВДАННЯ 2.6 Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи ...
- Створено 10 грудня 2018
- 28. Подвійний інтеграл в полярних координатах
- (Інтегрування)
- Алгоритм обчислення подвійних інтегралів при переході до полярних координат детально наведений як в цій статті, так і раніше в більш теоретичних публікаціях. Для переходу до полярних координат потрібно знайти якобіан, який кілька раз тут повторимо, далі самі рівняння кривих, що обмежують область інтегрування ...
- Створено 10 грудня 2018
- 29. Площа фігури через кратні інтеграли
- (Інтегрування)
- Продовжуємо аналізувати готові приклади на знаходження площі фігур, обмежених прямими, параболами, колами і т.д., через кратні інтеграли. Складність прикладів полягає в правильному обчисленні точок перетину кривих, вірній розстановці меж інтегрування, розумінні методики обчислення кратних інтегралів. ...
- Створено 09 грудня 2018
- 30. Побудувати та знайти площу області. Кратні інтеграли
- (Інтегрування)
- Наведемо детальний аналіз методики знаходження площі фігури, обмеженої кривими за допомогою кратних інтегралів. Методика знаходження площі Вам краще запам'ятається в ході розгляду готових прикладів. Площі, що тут будемо обчислювати обмежені прямими, колами, параболами, гіперболами та іншими кривими. ...
- Створено 09 грудня 2018
- 31. Геометрична ймовірність. Задачі з відповідями
- (Випадкові події)
- ... Задачі на геометричну ймовірність з відповідями Задача 1 В круг вписано квадрат. У круг навмання кидають точку. Знайти ймовірність того, що вона виявиться всередині квадрата. Обчислення: Для кращого уявлення виконаємо графічний малюнок до задачі Нехай сторона квадрата A дорівнює a, тоді ...
- Створено 25 квітня 2018
- 32. Ранжований варіаційний ряд, полігон та гістограма частот, емпірична функція розподілу
- ( Випадкові величини)
- ... числових характеристик статистичного розподілу Рівняня регресії У на Х та Х на У. Алгоритм та побудова Мода та медіана. Приклади обчислення Асиметрія і ексцес. Обчислення, графіки ...
- Створено 02 лютого 2017
- 33. Функції багатьох змінних. Курсова робота 1
- (Функції)
- ... заданої неявно F(x-u, u-3y)=0. Розв'язання: Послідовно диференціюючи функцію, отримаємо перший диференціал (1) та другий (2) На цьому обчислення не закінчуються, всюди де можна слід вписати реальне значення du. Тому із залежності (1) знайдемо du: (3) Використовуючи формулу (3), обчислимо ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 34. Обчислення потоку векторного поля
- (Інтегрування)
- На попередньому уроці проаналізовані простіші приклади з обчислення потоку векторного поля. Тут завдання ускладнюються поверхнею інтегрування, яка обмежена як одним, так і двома перерізами. Як наслідок, більше розрахунків меж інтегрування, складніші подвійні інтеграли і самі обчислення. Усі важливі ...
- Створено 01 вересня 2016
- 35. Робота сили через криволінійний інтеграл ІІ роду
- (Інтегрування)
- ... інтеграл ІІ роду знаходимо роботу сили F при переміщенні вздовж кола: Боротися з коренями під час інтегрування непросто, про що свідчить наведені обчислення. Набагато простіше обчислювати інтеграл при переході до полярної системи координат. Далі наведемо методику інтегрування: ІІ – спосіб: ...
- Створено 30 серпня 2016
- 36. Обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду
- (Інтегрування)
- Продовжуємо серію практичних уроків на знаходження криволінійних інтегралів І та ІІ роду. З цієї статті Ви навчитеся знаходити криволінійний інтеграл 2 роду. У попередній статті дані основні формули, тому тут на них зупинятися не будемо і одразу переходимо до аналізу готових відповідей. Після прочитання ...
- Створено 21 серпня 2016
- 37. Формула Остроградського-Гаусса. Потік векторного поля
- (Інтегрування)
- Формула Остроградського-Гаусса має широке застосування в математиці, фізиці, хімії. Далі будуть наведені відповіді до прикладів на інтегрування, що передбачають знаходження потоку векторного поля через дивергенцію. В більшості завдань обчислення подвійних інтегралів передбачає заміну змінних, а точніше ...
- Створено 20 серпня 2016
- 38. Поверхневі інтеграли ІІ роду
- (Інтегрування)
- ... якобіан переходу. Всі перетворення дають змогу без обчислення важких інтегралів знайти компактну відповідь. ЗАВДАННЯ 6.9 Обчислити поверхневий інтеграл int((y-z)*dy*dz,ds) по поверхні сігма, де сігма – зовнішня сторона конічної поверхні x^2+y^2=z^2 (). Розв'язання: Побудуємо конус, який обмежений ...
- Створено 20 серпня 2016
- 39. Обчислити поверхневий інтеграл І роду
- (Інтегрування)
- Знаходження поверхневих інтегралів зводиться до застосування криволінійного інтегралу І роду, який в свою чергу приводить до обчислення повторного інтегралу. Як це реалізувати на практиці Ви зрозумієте після перегляду наступних відповідей, які підготовлені за матеріалами для студентів ЛНУ ім. І. Франка. ...
- Створено 20 серпня 2016
- 40. Криволінійний інтеграл I роду. Приклади
- (Інтегрування)
- ... Тоді криволінійний інтеграл першого роду вздовж кривої обчислюється за формулою На цьому всі формули, що Вам потрібні для обчислень, однак без готових відповідей важко уявити їх застосування, тому перейдемо до практичної частини. Обчислення криволінійних інтегралів I роду Приклади підібрано з ...
- Створено 20 серпня 2016
- 41. Обчислення подвійних та потрійних інтегралів
- (Інтегрування)
- ... візуально проаналізувати області, а ще більша проблема, що багато з них не володіють технікою зміни порядку інтегрування. В окремих задачах такий підхідхід дозволяє звести обчислення від інтегрування по 2 -3 областях до однієї. В результаті швидо вдається знайти площу криволінійної трапеції (фігури на ...
- Створено 08 травня 2016
- 42. Кратні інтеграли. Індивідуальна робота
- (Інтегрування)
- ... утворилися в результаті перетину кількох поверхонь. На практиці вивчають зміну меж інтегрування, що часто дозволяє або спростити або ускладнити обчислення. Наведені відповіді індивідуальної роботи з вищої математики дозволять Вам легше розуміти теоретичний матеріал та допоможуть при самостійному визначенні ...
- Створено 05 травня 2016
- 43. Невластиві інтеграли 1-го та 2-го роду
- (Інтегрування)
- ... писати НЕ будемо, а при обчислення невластивих інтегралів розуміємо, що шукаємо значення границі в особливих точках (або в плюс мінус безмежності )!!! Приклад 2.149 (2336) Обчислити інтеграл Розбиваємо інтеграл на 2 та знаходимо невластиві інтеграли І роду Приклад 2.150 (2337 ) Знайти ...
- Створено 14 квітня 2016
- 44. Площа поверхні обертання кривої навколо осі
- (Інтегрування)
- ... б) Об'єм тіла утворений обертанням кривої навколо осей Ox, Oy .Площу поверхні обертанняНомер в прикладах відповідає номеру зі збірника Б. П. Демидовича. Для вивчення основних моментів формули інтегрування для обчислення площі поверхні обертання будуть повторюватися з прикладу ...
- Створено 11 квітня 2016
- 45. Об'єм тіла обертання навколо осі Ox, Oy
- (Інтегрування)
- ... x=0 навколо вісі Оx. Зробити малюнок. Обчислення: Запишемо графіки функцій, що обмежують задану область: y1(x)=x^3, y2(x)=8. Знайдемо межі інтегрування, тобто точки абсцис перетину заданих функцій y1(x)=y2(x): x^3=8 , x^3=2^3, x=2. Запишемо межі інтегрування: 0≤x≤2. x^3≤8 на [0;2], тому y2(x)≥y1(x). ...
- Створено 07 квітня 2016
- 46. Як знайти довжину дуги в прямокутних координатах?
- (Інтегрування)
- Довжина дуги відрізку l гладкої кривої y=y(x) на проміжку xє[a;b] дорівнює визначеному інтегралу - формула для обчислення довжини дуги кривої в прямокутних координатах. З формули бачимо, що для обчислення довжини дуги кривої необхідно обчислити квадрат похідної від функції та підставити в інтеграл ...
- Створено 06 квітня 2016
- 47. Площа фігури обмеженої кривими в прямокутних координатах
- (Інтегрування)
- ... цикл задач в першу чергу підійде студентам мех-мату Львівського національного університету імені Івана Франка для проходження практикуму з математичного аналізу. Студенти інших ВУЗів можуть набиратися практики на таких інтегралах, та вивчати методику обчислення. Наведені пояснення навчать Вас обчислювати ...
- Створено 01 квітня 2016
- 48. Інтегруючий множник. Рівняння в повних диференціалах. Задача Коші
- (Диференціальні рівняння)
- ... рядку Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування рівною нулю знаходимо інтегруючий множник Розглянемо часткові випадки. 1) Нехай "омега" рівна аргументу . Тоді деякі часткові похідні рівні нулю , а інтегруючий множник знаходять за формулою . 2) Якщо "омега" рівна "ігрику", формула обчислення ...
- Створено 04 вересня 2015
- 49. ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк. Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. № 223 (15-21)
- (ГДЗ з математики)
- ... час інтегрування 19) Розв'язання: Перетворюємо кореневу функцію та інтегруємо 20) Розв'язання: Множник при змінній при інтегруванні добавиться у знаменник Будьте уважними при обчисленнях подібних інтегралів. 21) Розв'язання: Інтегрувати експоненту достатньо просто. ...
- Створено 09 липня 2015
- 50. ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк. Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. № 224 (1-6)
- (ГДЗ з математики)
- ... 224. Обчисліть інтеграл: 1) Розв'язання: В цьому прикладі зібрані завдання, які відшліфовують набуті вже знання та знайомлять з новими методами обчислення складніших інтегралів. Для обчислення додамо та віднімемо одиницю, після чого за допомогою формул тригонометрії зведемо до табличного інтегралу ...
- Створено 09 липня 2015