Довжину дуги отримують інтегруванням диференціалу дуги від першої точки до кінцевої. Складність обчислень полягає в тому, що крива, як правило, задана двома або й трьома рівняннями зміни координат по осях, а інтегрування потрібно звести до однієї. Для цього потрібно знайти диференціал дуги.
Формули диференціалу дуги для просторових та плоских кривих, заданих явно та параметрично добре розписані . Їх тут повторювати не будемо, а лише виділимо кольором у формулах.
Коли відомий диференціал дуги, інтеграл обчислюють всіма відомими способами: безпосереднє інтегрування, заміна змінних, інтегрування частинами.
Частину методів далі застосуємо для розв'язання завдань.
Приклад 1 Знайти довжину дуги просторової кривої:
x=3t, y=3t2, z=2t3, від точки O(0,0,0) до точки A(3,3,2).
Розв'язання: Знайдемо похідні по змінній t від заданих функцій x=x(t), y=y(t) і z=z(t):
x'=3, y'=6t, z'=6t2.
Похідні нам потрібні для знаходження диференціалу дуги ds заданої кривої:
Ця формула справедлива для всіх просторових кривих, заданих параметрично.
Наступним кроком визначимо межі інтегрування.
Щоб їх знайти маємо рівняння просторової кривої
і дві точки О, А.
Складаємо рівняння на визначення меж зміни параметра t:
При розв'язанні встановили, що параметр повинен належати інтервалу 0≤t≤1.
Обчислимо довжину дуги заданої кривої, при 0≤t≤1:
Інтеграл знайти не важко, оскільки під коренем легко виділити квадрат, а далі вже маємо справу з квадратичною функцією, яку легко інтегрувати.
Далі розглянемо складніші завдання в яких обчислення похідних та диференціалу дуги ускладнюється.
Приклад 2 Знайти довжину дуги просторової кривої (a>0):
(x-y)2=a(x+y), x2-y2=9/8•z2, від точки O(0,0,0) до точки A(x0,y0,z0).
Розв'язання: В подібних прикладах доцільно зробити заміну змінних:
Тоді задане рівняння (x-y)2=a(x+y) набуде вигляду:
звідси
Подібні перетворення виконуємо для другого рівняння кривої
x2-y2=9/8•z2, або (x-y)(x+y)=9/8•z2:
звідси
(1).
Маємо 
, отримаємо:
(2).
Знайдемо похідні за змінною z від функцій u=u(z) і v=v(z):
після спрощень отримаємо такі кінцеві значення
Запишемо як змінюється z від точки O(0,0,0) до точки A(x0, y0, z0):
0≤z≤z0.
Наступним кроком знайдемо диференціал дуги ds за формулою: 
Під коренем виділили повний квадрат, тому диференціал спростився.
Через інтеграл обчислюємо довжину дуги кривої:
Знайти інтеграл в цьому випадку теж не складає великих труднощів.
Приклад 3 Знайти довжину дуги просторової кривої (a>0):
від точки O(0,0,0) до точки A(x0, y0, z0).
Розв'язання: Перетворимо задані функції так, щоб вони виражались через змінну y: 
звідси отримаємо
Щоб знайти обернену функцію до двох сторін застосували синус.
Далі знайдене значення оберненої функції x(y) підставляємо в друге рівняння просторової кривої
тобто
Остаточно отримаємо
Значення функцій в точці A(x0, y0, z0):
Знайдемо похідні за змінною y функцій x=x(y), z=z(y):
За властивістю логарифма перетворимо логарифм частки на різницю логарифмів
Такий прийом допоможе при обчисленні похідної складеної функції
Запишемо межі інтегрування y коли точка проходить значення від O(0,0,0) до A(x0, y0, z0):
0≤y≤y0.
Диференціал дуги ds кривої обчислимо за формулою:
Довжину дуги просторової кривої знайдемо за формулою:
В інтегралі зробили заміну змінних та інтегрували частинами.
Приклад 4 Обчислити довжину дуги просторової кривої (a>0, c>0):
x2+y2=cz, y/x=tg(z/c), від точки O(0,0,0) до точки A(x0, y0, z0).
Розв'язання: Перейдемо до полярної системи координат за допомогою формул переходу:
Перетворюємо перше рівняння кривої
далі друге
З формул бачимо наскільки простішими стали рівняння кривої.
Запишемо всі три просторові координати через параметр φ:
тут змінна пробігає значення 0≤φ≤z0/c, оскільки φ=z/c.
Запишемо похідні по змінній φ для функцій x=x(φ), y=y(φ) та z=z(φ):
Обчислимо диференціал дуги ds кривої за формулою:
Не забувайте в подібних завданнях виділяти повний квадрат під коренем.
Без цього Ви не зможете знайти інтеграл дуги кривої.
Через інтеграл знайдемо довжину дуги просторової кривої:
З наведених прикладів можна зробити висновок, що складність обчислення криволінійних інтегралів є лише у виборі системі координат, знаходженні похідних та диференціалів дуг.
Знайти інтеграл в більшості випадків досить легко, складні завдання, як правило, викладачі Вам не дадуть обчислювати.
