Продовжуємо аналізувати відповіді до курсової роботи з математичного аналізу на тему «Функції багатьох змінних». В попередній статті розглянуто перші 11 прикладів, тут решта 8 на диференціювання, розклад функції, дослідження на максимум, інтегрування.
Завдання 12 Записати диференціал d2u функції, заданої неявно F(x-u, u-3y)=0.
Розв'язання: Послідовно диференціюючи функцію, отримаємо перший диференціал
(1)
та другий
(2)
На цьому обчислення не закінчуються, всюди де можна слід вписати реальне значення du.
Тому із залежності (1) знайдемо du:
(3)
Використовуючи формулу (3), обчислимо різниці dx-du і du-3dy:
(4)
Далі підставимо співвідношення (4) в рівняння (2) та знайдемо диференціал другого порядку d2u:
Методика не складна і Вам під силу її вивчити.
Завдання 13 Розвинути за формулою Тейлора функцію u(x;y) в околі точки A(1;0) до доданків третього порядку включно u=x*sin(y)-2xy.
Розв'язання: Для розкладу функції в ряд Тейлора нам потрібно мати значення функції в точці та її похідні до треього порядку.
Найпростіше з усього підстановою знайти значення функції в точці A(1;0)
u(1;0)=1*sin(0)-2*1*0=0.
Далі обчислюємо часткові похідні функції u(x;y)=x*sin(y)-2xy до третього порядку включно та знаходимо їх значення в A(1;0).
Часткові похідні першого порядку рівні:
Часткові похідні другого порядку:
Часткові похідні третього порядку:
Розклад функції u(x;y) в ряд Тейлора у точці A(x0,y0) до третього доданку задається формулою: 
Враховуючи знайдені значення часткових похідних, складаємо розклад функції в ряд Тейлора у точці A(1;0)
Факторіали можна розписати, проте і такий запис є правильним.
Завдання 14 Обчислити з точністю до 0,01
Розв'язання: Тут потрібно розкласти логарифм та синус в околі відповідних точок
Далі для наближеного обчислення цього прикладу скористаємось формулою приростів функцій:
(*)
Тут маємо наступні позначення:
Подібно, як в попередньому приладі знаходимо нульове наближення
та приріст функції через похідні
Підставляємо знайдені значення у формулу
а далі отримане delta(f) у (*).
В результаті отримаємо наближене значення виразу
Точне обчислення дає 0,095357.
Завдання 15 Дослідити на екстремум функцію u=x2+2y2+3z2+xy-2yz+3x-4z.
Розв'язання: Схему дослідження функції багатьох змінних на екстремум Ви повинні добре знати.
Спершу знаходимо похідні першого порядку заданої функції:
Далі прирівняємо до нуля отримані вирази і знаходимо точку підозрілу на екстремум:
Щоб дослідити яку саме точку маємо - максимуму, мінімуму, перегину слід дослідити другу похідну
Для цього знаходимо похідні другого порядку в точці (-2;1;1):
За критерієм Сильвестра визначимо знак квадратичної форми:
Знаходимо визначники 1- 3 порядку
Квадратична форма додатно визначена, тому в точці (-2;1;1) функція має локальний мінімум, а саме
umin=(-2)2+2*12+3*12-2*1-2*1*1-3*2-4*1=-5.
Завдання 16 Знайти найбільше та найменше значення функції u=6x+4y-5 на множині
Розв'язання: Побудуємо задану множину .
Функція u неперервна в замкненій обмеженій множині E. Тому за теоремою Вейєрштраса, вона на цій множині досягає своїх точних верхньої і нижньої межі.
Очевидно, sup(u) (inf(u)) дорівнює найбільшому umax (найменшому umin) із значень функції u в точках можливого екстремуму на множині {1<x2+y2<4} або в точках умовного екстремуму, якщо x2+y2=4 чи x2+y2=1.
Оскільки система u'x=0, u'y=0 не має розв'язків, що належить множині {1<x2+y2<4}, а також задана функція u=6x+4y-5 лінійна, то sup(u) й inf(u) досягаються на колі x2+y2=4.
Складемо функції Лагранжа:
Запишемо та розв'яжемо системи рівнянь
З останнього рівняння знаходимо параметр, а з двох попередніх координати точок підозрілих на екстремум
Очевидно, що функція досягає максимума в точці 
і мінімума в 
Підставляємо координати в u=6x+4y-5 та визначаємо
- найбільше значення функції та
- найменше її значення.
Завдання 17 Змінити порядок інтегрування 
Розв'язання: Побудуємо область інтегрування D, яка обмежена кривими 
, , де y=x2-4x - парабола з вершиною в точці (2;-4) і гілками вгору;
y=6-x2 - парабола з вершиною в (0;6) і гілками вниз.
Графік парабол з заштрихованою областю інтегрування наведено на рисунку
Виразимо отримані функції через змінну y:
y=x2-4x звідси маємо кореневу залежність 
при аргументах 
З рівняння другої параболи y=6-x2 маємо 
на проміжку
Знайдемо ординату перетину двох функцій:
x2-4x=6-x2, звідси x=-1, тому y=5.
При зміні порядку інтегрування нашу область розбили на дві підобласті: D=D1+D2.
Розставимо межі в кожній області:
Отож міняємо порядок інтегрування функції двох змінних
Зміна порядку інтегрування для багатьох із Вас непросте завдання, тому повторно перегляньте схему переходу.
Завдання 18 Перейти до полярних координат у інтегралі
Розв'язання: Побудуємо область інтегрування E:
- круг з центром в точці (0;0) і радіусом корінь з двох 
.
- півплощина, яка знаходиться над прямою y=x.
Схематично область інтегрування має вигляд
Перейдемо до полярної системи координат:
тоді якобіан переходу рівний:
Запишемо рівняння кола в полярній системі координат:
звідси радіус рівний кореню з двох .
Пряма є y=x бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей, тому наша область є частиною круга, яка знаходиться в межах кутів
Запишемо межі інтегрування в полярній системі координат:
Переходимо до полярних координат під інтегралом:
Як Ви могли переконатися, приклад не надто важкий, далі буде важчий.
Завдання 19 Зробивши відповідну заміну, перейти до інтеграла зі сталими межами. 
Розв'язання: Побудуємо область інтегрування E:
- кільце, що обмежене концентричними колами зі спільним центром в точці (0;0) і радіусами корінь з двох та п'яти
- півплощина, яка знаходиться над прямою y=x/2.
Графік обасті інтегрування має вигляд
Перейдемо до полярної системи координат за формулами:
Якобіан переходу:
Запишемо множину точок кільця в «новій» системі координат:
.
Пряма y=x/2 має кутовий коефіцієнт
тому область є частиною кільця, яка знаходиться в межах
Запишемо межі інтегрування в «новій» системі координат: :
Записуємо підінтегральний вираз з новими межами інтегрування
Отримали подвійний інтеграл зі сталими межами.
Завдання 20 Знайти центр ваги однорідної пластинки, обмеженої кривими
y=x2-2x, y=4x2+4x, y=-1.
Розв'язання: Координати центра ваги пластинки, що лежить в декартовій площині Oxy знайдемо за формулами:
де 
- маса пластинки;
- густину однорідної пластинки приймаємо рівною одиниці.
Важкість прикладу поягає в обчисленні 3 інтегралів, які відповідають за визначення маси пластинки та координат центру мас.
Побудуємо область пластинки, що обмежена кривими:
y=x2-2x - парабола з вершиною (1;-1) і гілками вгору;
y=4x2+4x - парабола з вершиною (-0,5;-1) і гілками вгору.
Виразимо отримані функції через змінну y:
y=x2-2x звідси 
при 
y=4x2+4 звідси 
при 
Прирівняємо рівняння парабол та визначимо ординату перетину:
x2-2x=4x2+4 звідси x=0, тому y=0.
Розставимо межі в заданій області:
Обчислимо масу пластинки:
Даний інтеграл можна було знаходити через два доданки, але рішили піти таким шляхом, об навчити Вас змінювати межі в інтегралах.
Обчислимо координати центра ваги (x0,y0) однорідної пластинки за формулою:
Під час інтегрування обчислили перехід (*) наступним чином:
На цьому курсова робота з математичного аналізу завершена, всі завдання що Вас чекають детально проаналізовані, то ж беріть її за зразок та використовуйте в навчанні.
Використана література:
- Заболоцький М. В., Сторож О. Г., Тарасюк С. І. Математичний аналіз: Підручник. – К.: Знання, 2008. – 421 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том І: – М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1969. – 608 стр. с илл.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том ІІІ: – М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 8-е изд., 2003. – 728 с.
- Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие для студентов физических и механико-математических специальностей ВУЗов.–9-е изд.–М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1977. – 528 с.
- Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Справочное пособие по математическому анализу. Ряды, функции векторного аргумента, кратные и криволинейные интегралы. – 2-е изд., перераб. и доп. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. – 567 с.
Удачі Вам на практичних та екзаменах!
