- 1. Умовний екстремум функції
- (Функції багатьох змінних)
- Геометрична інтерпритація умовного екстремуму Нехай поверхня S - графік функції z=f(x, y). M1- точка безумовного екстремуму. Нехай ℓ-крива, що описує рівняння зв'язку φ(x, y)=0. L- відображення l на поверхню S. M0- точка умовного екстремуму. Задача полягає в знаходженні екстремуму z=f(x, ...
- Створено 23 грудня 2021
- 2. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних в замкненій області
- (Функції багатьох змінних)
- Як знайти найбільше та найменше значення z=f(x, y) в замкненій області? Для знаходження мінімуму максимуму диференційовної функції в замкненій та обмеженій області D, потрібно: 1) знайти критичні точки, що належать області D, і обчислити значення функції у цих точках; 2) знайти найбільше та найменше ...
- Створено 21 грудня 2021
- 3. Формули розкладу в ряд Тейлора та Маклорена
- (Функції багатьох змінних)
- ... допускає представлення у вигляді степеневого ряду Тейлора: (1) Частковий випадок при a=b=0 має назву формули Маклорена (2) Аналогічні формули мають місце і для функції більше ніж двох змінних. У випадку функцій однієї змінної ряд Маклорена з (2) спрощується до вигляду (3) Нижче наведена таблиця ...
- Створено 16 грудня 2021
- 4. Наближені обчислення за допомогою диференціалу
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай задано диференційовну в точці (x, y, z) функцію трьох координат z=f(x, y, z). Випишемо її повний приріст: Δz=f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)-f(x, y, z) Звідси f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)=f(x, y, z)+Δz. (1) Запишемо приріст функції Δz через диференціали: Якщо в прирості Δz відкинуті малі величини та підставити ...
- Створено 15 грудня 2021
- 5. Похідна неявно заданої функції + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай неперервна функція y від х задається неявним рівнянням F(x;y)=0, де F(x;y), F'x(x;y), F'y(x;y) - неперервні функції в деякій області D, що містить точку (x;y), координати якої задовольняють дане рівняння; крім цього, в цій точці F'y(x;y)≠0. Тоді похідна y від x: (1) Для відшукання часткових похід ...
- Створено 14 грудня 2021
- 6. Похідні складених функцій багатьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... отримаємо складену функцію: u=f(φ(t),ψ(t),χ(t)). Нехай u має по x, y, z неперервні часткові похідні u'x, u'y, u'z і похідні за змінною t x't, y't, z't існують. Тоді справедливі формули похідної складеної функції: (1) Тепер розглянемо випадок, коли x, y, z залежать не від однієї змінної t, а від дек ...
- Створено 14 грудня 2021
- 7. Повний диференціал функції двох, трьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... існує повний диференціал: Диференціал І порядку Диференціал II порядку та старших Поклавши одну зі змінних рівною нулю отримуємо формули повних диференціалів для функції двох змінних Правила диференціювання суми, добутку, та частки функцій Якщо функції u(x,y,z), v(x,y,z) - диференційовні ...
- Створено 14 грудня 2021
- 8. Часткова похідні І та ІІ порядку функції двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- Часткова похідна першого порядку функції багатьох змінних u(x;y;z,…) обчислюється за правилами, як і звичайна похідна для функції однієї змінної. При обчисленні похідних інші змінні не залежать від тієї по якій диференціюємо, і так для кожної змінної. Частковими похідними другого порядку функції ...
- Створено 13 грудня 2021
- 9. Перетворення формули функції двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- Сьогодні розглянемо завдання де потрібно зробити перехід від одних змінних до інших для функції двох змінних. Аглоритми, що тут розглянуті є універсальними і Ви їх повторно навчитеся застосовувати до інших подібних прикладів, що Вам задають. Приклад 1. Знайти f(1,y/x), якщо f(x,y)=2xy/(x2+y2) Розв'язування: ...
- Створено 13 грудня 2021
- 10. Побудова графіків ліній рівня
- (Функції багатьох змінних)
- На попередньому ввідному уроці було дане означення лінії рівня, поверхні рівня, та області визначення для функції багатьох змінних (ФБЗ). Продублюємо, що таке лінії рівня та перейдемо до практичних де навчимося будувати графіки лінії рівня, зокрема в математичному пакеті Мейпл. Означення: Якщо функція ...
- Створено 11 грудня 2021
- 11. Область визначення ф-ї багатьох змінних. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... і y, за яких визначається функція z=f(x;y), називається областю визначення, або областю існування цієї функції. Геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівнянню z=f(x;y), називається графіком функцій двох змінних. Якщо кожній розглядуваній сукупності значень змінних x, y, z, …, u, ...
- Створено 10 грудня 2021
- 12. Інтеграл та перетворення Фур'є. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... лише за косинусами (3) Якщо функція f(x) непарна, то в інтегралі Фур'є присутній розклад лише за синусами (4) Комплексна форма інтегралу Фур'є має вигляд (5) Функцію називають перетворенням Фур'є функції f(x), а |F(α)| - амплітудним спектром. Де застосовують перетворення Фур'є?: необхідні ...
- Створено 09 грудня 2021
- 13. Тригонометричний ряд Фурє на [-Pi;Pi]. Побудова графіка суми ряду
- (Функції багатьох змінних)
- Запам'ятайте формулу для розкладу в тригонометричний ряд Фур'є функції на проміжку[-Pi;Pi] (1) a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є: (2) З формул бачимо, що період функції рівний 2π. Теорема 1. Якщо функція f(x) парна на проміжку (-Pi;Pi), то коефіцієти Фур'є знаходять за формулою (3) Теорема 2. Якщо ...
- Створено 07 грудня 2021
- 14. Приклади рядів Фурє на [-l;l]. Побудова графіків
- (Функції багатьох змінних)
- Продовжуємо аналізувати готові приклади на розклад функції в ряд Фур'є. Сьогодні крім обчислень будемо будувати суми рядів. Нагадаємо, що розклад в ряд Фур'є функції f(x) на проміжку [-l;l] має вигляд (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють інтегруванням: (2) Теорема (ознака) Діріхле: ...
- Створено 07 грудня 2021
- 15. Радикальна ознака Коші +Приклади
- (Ряди)
- ... або розбіжність числового ряду. А тепер перейдемо то аналізу готових відповідей з розрахункових та екзаменаційних робіт. Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд Розв'язування: Маємо додатний ряд, причому він має вигляд функції від n в степені функції від n. Це важливо, тому що тільки в такому випадку ...
- Створено 23 липня 2021
- 16. Обчислення похідних. +50 готових прикладів
- ( Диференціювання)
- Щоб добре навчитися знаходити похідну Ви повинні не стільки знати на пам'ять, скільки вміти застосовувати на практиці таблицю похідних. В першу чергу Вам необхідно запам'ятати правила виділені червоними рамками - правило суми, похідна добутку та частки функцій, як брати похідну складеної функції. ...
- Створено 27 квітня 2021
- 17. Бісектриса кута трикутника
- (Геометрія)
- ... b := 5; c := 7; lc := l_bis(a, b, c); la := l_bis(c, b, a); lb := l_bis(c, a, b); Результат виконання скрипта наведено на рисунку Зауважте як змінювали порядок сторін у функції l_bis, щоб знайти потрібну бісектрису. Це важливо в обчисленнях. Решта готових прикладів на знаходження бісектрис, ...
- Створено 17 березня 2021
- 18. Обчислення рівнянь з логарифмами. ЗНО підготовка
- (Математика)
- ... знання формули, що логарифм основи рівний одиниці logaa=1. За основу в прикладах маємо числа 2, 5, 9. Уважно розберіть, що і чому скорочували, на ЗНО тестах таких прикладів багато. Приклад 16.27 Розв’язати рівняння log7(x-2)-log7(x+2)=1-log7(2x-7). Розв'язування: Під логарифмами різні функції, ...
- Створено 25 травня 2020
- 19. Розв'язування показникових нерівностей
- (Математика)
- ... маємо більше значення функції. Ви повинні вивчити та знати центральні формули, які вчать як працювати зі степенями. Приклад 15.7 Розв'язати нерівність 7x-71/x>0. Розв'язування:В показнику маємо змінну в знаменнику, тому спершу випишемо ОДЗ для степеневої функції: x≠0. Перенесемо від'ємний ...
- Створено 24 травня 2020
- 20. Логарифмічні та показникові вирази
- (Математика)
- ... мова, приведемо графік логарифмічної та показникової функції Властивості показникових залежностей та логарифмів описані в окремих статтях на сайті, тут піде мова лише про властивості функцій, які потрібно знати для спрощення виразів. Правила та дї зі степенями Дії над логарифмами Означення ...
- Створено 16 травня 2020
- 21. Знайти умовний екстремум функції. Метод Лагранжа
- (Функції)
- Метод Лагранжа є ефективним для знаходження умовного екстремуму функції двох z=f(x,y), трьох чи багатьох змінних, особливо коли функцію зв'язку φ(x,y)=0 не можна подати у вигляді явної функції y=φ(x) або x=φ(y). Нехай в області D задано функцію двох змінних f(x,y) і контур Γ, який задано рівнянням ...
- Створено 01 травня 2020
- 22. Умовний екстремум функції z=f(x,y). Метод виключення змінних
- (Функції)
- З уроку навчимося знаходити умовні екстремуми прямим методом виключення змінних та методом множника Лагранжа. Локальні екстремуми функції багатьох змінних коли її аргументи є незалежними змінними називають безумовними екстремумами. Крім безумовних є ще умовні екстремуми – це такі, які шукають не у всій ...
- Створено 01 травня 2020
- 23. Тригонометричні рівняння з параметром
- (Тригонометрія)
- ... можливі обмеження. Запишемо р-ня 2cos(4x)=a-5 у вигляді cos(4x)=(a-5)/2. Згідно з обмеженнями на область допустимих значень функції косинус, задане тригонометричне рівняння матиме корені, якщо параметр лежатиме в інтервалі Розв'яжемо отриману систему нерівностей: Отже, при a[min]=3 рівняння ...
- Створено 28 серпня 2018
- 24. Тригонометричні рівняння
- (Тригонометрія)
- Тригонометричними називають рівняння, в яких невідома величина знаходиться під тригонометричними функціями sin(), cos(), tg(), ctg() та їх всеможливими комбінаціями. Також тригонометричними називають рівняння в яких присутні обернені тригонометричні функції arcsin(), arccos(), arctg(), arccctg(). Розв'язати ...
- Створено 28 серпня 2018
- 25. Раціональні нерівності з параметром
- (Математика)
- ... Обчислення: Ліву сторону прирівнюємо до нуля та визначаємо точки де функція перетинає вісь Ox. Далі підстановкою нуля, чи іншого числа, простого в плані визначення знаку функції, знаходимо проміжки знакосталості та наносимо їх на числову вісь. 1) (x-8)(x-3)<0, (x-8)(x-3)=0, звідси x1=3 і x2=8, ...
- Створено 12 травня 2017
- 26. Задачі з теорії ймовірностей на кульки
- (Випадкові події)
- ... Матеріал також буде корисним і студентам чи викладачам, які виконують курсові та модулі з ймовірності на замовлення. >restart: дана команда занулює (очищає память) всі значення, що були попередньо присвоєні. Далі створюємо фунцію, щоб кожного разу не писати дробові функції з фаторіалами. > ...
- Створено 18 січня 2017
- 27. Функції багатьох змінних. Курсова робота 1
- (Функції)
- Продовжуємо аналізувати відповіді до курсової роботи з математичного аналізу на тему «Функції багатьох змінних». В попередній статті розглянуто перші 11 прикладів, тут решта 8 на диференціювання, розклад функції, дослідження на максимум, інтегрування. Завдання 12 Записати диференціал d2u функції, ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 28. Функції багатьох змінних. Курсова робота
- (Функції)
- Аналіз курсової роботи з математичного аналізу «Функції багатьох змінних» містить найпоширеніші завдання, які Вас можуть чекати в навчанні. Розбирайте відповіді до завдань та вивчайте методики обчислень. Завдання 1 Визначити і зобразити область визначення функції Розв'язання:Маємо кореневу фунцію ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 29. Часткові похідні першого та другого порядку
- ( Диференціювання)
- Завдання на часткові похідні розв'язують студенти на 1, 2 курсі навчання. Такі приклади задають і заочникам, і студентам стаціонарної форми. Перші завдання досить прості, однак на контрольній та тестах задають складні приклади на обчислення часткових похідних. Все залежить від складності функції багатьох ...
- Створено 29 липня 2015
- 30. ЗНО математика. Розв'язки завдань № 10-15
- (ЗНО Математика)
- ... від'ємного аргумента рівне значенню функції Виконаємо перевірку кожної із наведених функцій: Отже перша функція не є парною. Друга функція також непарна. Перевіряємо третю функцію – не існує для і приймає нульове значення при Модуль функція є парною, оскільки Остання функція ...
- Створено 28 липня 2015
- 31. ЗНО математика. Розв'язки завдань № 22-27
- (ЗНО Математика)
- ... ------------------------------ Завдання 24. На рисунку зображено графік функції визначеної на проміжку [0;11] та диференційованої на проміжку (0;11). Установіть відповідність між числом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить це число. Число 1. найменше значення функції на її області визначення ...
- Створено 28 липня 2015
- 32. Інтеграл від синуса
- (Інтегрування)
- ... інтеграл Приклад 4. Знайти інтеграл від функції y=sin(x/5). Обчислення: Знаходимо неозначений інтеграл Як тільки Ви навчитеся обчислювати прості інтеграли від синуса можете переходити до визначений інтегралів Приклад 5. Знайти первісну від sin(x), яка в нулі рівна 2. Обчислення: ...
- Створено 08 липня 2015
- 33. Інтеграли від раціональних дробів
- (Інтегрування)
- ... 17. В даному завданні необхідно в чисельнику дробової функції виділити множник, який отримаємо при розписі знаменника до різниці чи суми квадратів. Далі його вносимо під диференціал та інтегруємо Тут пропущено перехід від останнього інтегралу до арктангенсу, тому спробуйте виконати перетворення ...
- Створено 08 липня 2015
- 34. Границя функції. Методика обчислення
- (Границі)
- ... і без нього. Буває, що розклад в ряд безмежно малих функцій дозволяє швидко отримати потрібний результат. Існує набір технік, що дозволяють знайти границю функції будь-якої складності. В даній статті спробуємо розібратися в основних типах границь, які найбільш часто зустрічаються на практиці. Теорію ...
- Створено 08 липня 2015
- 35. Друга чудова границя. Розв'язування прикладів
- (Границі)
- ... Кривошеєва та ін. "Вища математика у прикладах та задачах. Ч.5 Тести"(Харків, 2007, Ст. 99). Приклад 6.1.Знайти границю функції а) Розв'язання.Перетворимо дробову функцію до вигляду, при якому можливо застосувати формулу чудової границі Вихідна границя прийме наступне значення В результаті ...
- Створено 08 липня 2015