Друга чудова (особлива) границя досить часто викликає труднощі у студентів, хоча сама доволі проста і зрозуміла на практиці. Вона дозволяє розкривати невизначеності вигляду одиниця в степені нескінченність 
. Формула другої чудової границі має наступний вигляд
сама границя рівна е – експоненті.
Наслідки другої особливої границі
Наведені формули є наслідками другої чудової границі (випливають з неї)
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Наслідки рідше зустрічаються на практиці, проте без них деякі завдання в простий спосіб не розв'язати. Розглянемо деякі приклади із збірника А.В. Тевяшев, О.Г. Литвин, Г.М. Кривошеєва та ін. "Вища математика у прикладах та задачах. Ч.5 Тести"(Харків, 2007, Ст. 99).
Приклад 6.1.Знайти границю функції
а) 
Розв'язання.Перетворимо дробову функцію до вигляду, при якому можливо застосувати формулу чудової границі
Вихідна границя прийме наступне значення
В результаті обчислень в показниу отримаємо двійку, а границя функції рівна e-2.
б) 
Розв'язання. Подібно до попереднього прикладу розкладаємо дробову функцію у дужках
Потрібно зазначити, що в цьому прикладі та в багатьох подібних константи в степенях, як правило вкладу не несуть. Фунцію можна розписати через добуток двох
Границя навмисне розписана у вигляді добутку двох множників, щоб ви переконалися, що константи в степенях вкладу не дають (їх границя рівна одиниці). Їх мета запутати Вас, якщо погано знаєте теоретичний матеріал або сумніваєтеся в правильності розв'язання. В усіх наступних прикладах ми не будемо розписувати на добуток двох границь, проте пам'ятайте, що вони не змінюють кінцевого результату (вклад множник - одиниця).
в) 
Розв'язання. Виконуємо розлад функції у дужках
Запис в такому вигляді зроблено навмисне, тому що степінь потрібно звести до подібного вигляду (виразити обернено пропорційний множник)
В такий простий спосіб отримали шукану границю функції. Надалі необхідні заміни або підказки будуть виділені кольором із загального розв'язання.
г) 
Розв'язання. Виконаємо заміну змінних, щоб змінна прямувала до +безмежності, а не в протилежному напрямку
Даі перетворимо основу показникової залежності для знаходження границі
Бувають випадки коли прямо застосувати правило другої чудової границі доволі важко, в таких ситуаціях застосовуйте прості заміни, які Вам зрозумілі та дозволяють в швидкий спосіб знайти границю.
Приклад 6. 2Обчислити границю функції
а) 
Розв'язання.Виділяємо в дробовій функції одиницю та простий дріб
Підставляємо у границю та зводимо до експоненти, виконуючи неважкі маніпуляції зі степенями
Отримали експоненту в -8 степені.
в) 
Розв'язання. Зводимо дріб до найпростішого вигляду
Застосовуючи означення другої важливої границі знайдемо
границю функції, яка рівна експоненті в 10 степені (e10).
Приклад 6. 3Знайти границю функції
б) 
Розв'язання. Перетворюємо дробову функцію
Підставляємо результати попередніх дій у границю та спрощуємо
В результаті матимемо експоненту в степені e9/2.
г) 
Розв'язання. Аргумент прямує до мінус безмежності, крім того функція в дужках прямує не до одиниці, а до 2 при великих аргументах.
Таким чином маємо не другу особиву границю, а нескінченно спадну функцію - степінь від'ємний (змінна прямує до мінус безмежності).
Звідси робимо висновок, що границя рівна нулю. Таке теж трапляється і будьте готові, що в завданні буде задана функція, яка за виглядом підходить правилу чудових границь, а по факту може бути як нескінченно зростаючою так і спадною функцією.
Приклад 6. 5Знайти границю
а) 
Розв'язання. Заданий приклад на вигляд відрізняється від попередніх, проте розв'язок отримуємо за такою ж схемою. Виконуємо перетворення функції у дужках під правило
Залишилося в степені виділити обернений множник, для цього вионуємо наступні перетворення
та підставляємо усе в формулу границі
За такою схемою знаходьте усі подібні границі, вона проста та добре пояснює як звести завдання до особливих границь.
в) 
Розв'язання. До розглянутого прикладу великих перетворень застосовувати не потрібно. Він має достатньо простий запис і обчислення границі виконуємо в один рядок
В усіх прикладах на другу визначну границю слід спочатку перевіряти, чи вираз в дужках прямує до одиниці. Якщо не прямує, то границя в залежності від степені буде рівна або нулю або нескінченності. Ті з Вас, хто часто розв'язує приклади, такі перевірки здійснює автоматично. Решта зводять границю до експоненти в певному степені, але все рівно вилазить множником або нуль або нескінченність. В кінцевому варіанті праві усі, проте у першому випадку витрачається набагато менше часу, який так необхідний на контрольних чи тестах. Тож вибирайте для себе простіший шлях та робіть в навчанні правильні висновки.
Практикуйте з подібними границями, використовуйте зручні для себе схеми зведення завдань під необхідне правило. Не бійтеся робити помилки, без них навчання не обходиться!
Переглянути подібні матеріали
