Друга чудова (особлива) границя досить часто викликає труднощі у студентів, хоча сама доволі проста і зрозуміла на практиці. Вона дозволяє розкривати невизначеності вигляду одиниця в степені нескінченність невизначеність. Формула другої чудової границі має наступний вигляд
друга чудова границя, формула
сама границя рівна е – експоненті.

Наслідки другої особливої границі

Наведені формули є наслідками другої чудової границі (випливають з неї)
1) друга чудова границя, наслідки
2) друга чудова границя, наслідки
3) друга чудова границя, наслідки
4) друга чудова границя, наслідки
5) друга чудова границя, наслідки
6) друга чудова границя, наслідки
Наслідки рідше зустрічаються на практиці, проте без них деякі завдання в простий спосіб не розв'язати. Розглянемо деякі приклади із збірника А.В. Тевяшев, О.Г. Литвин, Г.М. Кривошеєва та ін. "Вища математика у прикладах та задачах. Ч.5 Тести"(Харків, 2007, Ст. 99).

Приклад 6.1.Знайти границю функції
а) друга чудова границя, приклад

Розв'язання.Перетворимо дробову функцію до вигляду, при якому можливо застосувати формулу чудової границі
перетворення функції
Вихідна границя прийме наступне значення
границя, обчислення
В результаті обчислень в показниу отримаємо двійку, а границя функції рівна e-2.

 

б) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Подібно до попереднього прикладу розкладаємо дробову функцію у дужках
перетворення функції
Потрібно зазначити, що в цьому прикладі та в багатьох подібних константи в степенях, як правило вкладу не несуть. Фунцію можна розписати через добуток двох
границя, обчислення
Границя навмисне розписана у вигляді добутку двох множників, щоб ви переконалися, що константи в степенях вкладу не дають (їх границя рівна одиниці). Їх мета запутати Вас, якщо погано знаєте теоретичний матеріал або сумніваєтеся в правильності розв'язання. В усіх наступних прикладах ми не будемо розписувати на добуток двох границь, проте пам'ятайте, що вони не змінюють кінцевого результату (вклад множник - одиниця).

 

в) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Виконуємо розлад функції у дужках
перетворення функції
Запис в такому вигляді зроблено навмисне, тому що степінь потрібно звести до подібного вигляду (виразити обернено пропорційний множник)
границя, обчислення
В такий простий спосіб отримали шукану границю функції. Надалі необхідні заміни або підказки будуть виділені кольором із загального розв'язання.

 

г) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Виконаємо заміну змінних, щоб змінна прямувала до +безмежності, а не в протилежному напрямку
заміна змінних
Даі перетворимо основу показникової залежності для знаходження границі
знаходження границі
знаходження границі
Бувають випадки коли прямо застосувати правило другої чудової границі доволі важко, в таких ситуаціях застосовуйте прості заміни, які Вам зрозумілі та дозволяють в швидкий спосіб знайти границю.

 

Приклад 6. 2Обчислити границю функції
а) друга чудова границя, приклад

Розв'язання.Виділяємо в дробовій функції одиницю та простий дріб
перетворення функції
Підставляємо у границю та зводимо до експоненти, виконуючи неважкі маніпуляції зі степенями
знаходження границі
Отримали експоненту в -8 степені.

 

в) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Зводимо дріб до найпростішого вигляду
перетворення функції
Застосовуючи означення другої важливої границі знайдемо
знаходження границі
границю функції, яка рівна експоненті в 10 степені (e10).

 

Приклад 6. 3Знайти границю функції
б) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Перетворюємо дробову функцію
перетворення функції
Підставляємо результати попередніх дій у границю та спрощуємо
знаходження границі
В результаті матимемо експоненту в степені e9/2.

 

г) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Аргумент прямує до мінус безмежності, крім того функція в дужках прямує не до одиниці, а до 2 при великих аргументах.

Таким чином маємо не другу особиву границю, а нескінченно спадну функцію - степінь від'ємний (змінна прямує до мінус безмежності).
знаходження границі
Звідси робимо висновок, що границя рівна нулю. Таке теж трапляється і будьте готові, що в завданні буде задана функція, яка за виглядом підходить правилу чудових границь, а по факту може бути як нескінченно зростаючою так і спадною функцією.

 

Приклад 6. 5Знайти границю
а) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. Заданий приклад на вигляд відрізняється від попередніх, проте розв'язок отримуємо за такою ж схемою. Виконуємо перетворення функції у дужках під правило
перетворення функції
Залишилося в степені виділити обернений множник, для цього вионуємо наступні перетворення
розпис степені
та підставляємо усе в формулу границі
границя, обчислення
За такою схемою знаходьте усі подібні границі, вона проста та добре пояснює як звести завдання до особливих границь.

 

в) друга чудова границя, приклад

Розв'язання. До розглянутого прикладу великих перетворень застосовувати не потрібно. Він має достатньо простий запис і обчислення границі виконуємо в один рядок
границя, обчислення
В усіх прикладах на другу визначну границю слід спочатку перевіряти, чи вираз в дужках прямує до одиниці. Якщо не прямує, то границя в залежності від степені буде рівна або нулю або нескінченності. Ті з Вас, хто часто розв'язує приклади, такі перевірки здійснює автоматично. Решта зводять границю до експоненти в певному степені, але все рівно вилазить множником або нуль або нескінченність. В кінцевому варіанті праві усі, проте у першому випадку витрачається набагато менше часу, який так необхідний на контрольних чи тестах. Тож вибирайте для себе простіший шлях та робіть в навчанні правильні висновки.
Практикуйте з подібними границями, використовуйте зручні для себе схеми зведення завдань під необхідне правило. Не бійтеся робити помилки, без них навчання не обходиться!

Переглянути подібні матеріали