Пригадаємо основні означення бісектрис:
• Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
• Бісектриса трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони та ділить кут трикутника на два рівні.
Формули бісектриси через сторони та кути трикутника
Трикутник має три бісектриси, які прийнято позначати lа, lв, lс, де малими a,b,c – позначають з якої вершини виходить бісектриса.
Властивості бісектриси трикутника
• Будь-яка бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника. Формули з таблиці використовують для розв'язування багатьох задач, тож постарайтеся вивчити їх на пам'ять.
• Усі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці (інцентрі трикутника), рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, тому точка перетину бісектрис є центром кола, вписаного в трикутник.
• Центральний кут вписаного в трикутник кола, сторони якого проходять через вершини трикутника, рівний сумі прямого кута та половині кута через який не проходять сторони центрального кута.
• У довільному трикутнику бісектриса проходить між висотою та медіаною трикутника.
• За трьома сторонами трикутника можна знайти довжини бісектрис трикутника (аналог формули Герона, перша в таблиці).
Задачі на бісектрису трикутника
Приклад 1. У трикутнику АВС ∠А=38°,∠В=74°, М -точка перетину бісектрис. Знайти кут ∠АМВ.
Розв'язання: Доброю підказкою, що допоможе побачити хід обчислень є якісно виконаний рисунок. Побудуємо трикутник і дві бісектриси, що перетинаються в точці M. Розглянемо ΔAMB.
Оскільки АM і BM лежать на бісектрисах кутів, то вони ділять кути ∠A, ∠B пополам.
Тому ∠BAM=∠A/2=19,
∠ABM=∠B/2=74/2=37 градусів.
Третій кут ∠ABM знайдемо з умови, що сума кутів трикутника рівна 180 градусів:
∠ABM=180-∠BAM-∠ABM=
= 180-19-37=124 градуси.
Приклад 2. Обчисліть бісектрису АL1 трикутника АВС, якщо АВ=12 см, АС=15 см, ВС=18 см.
Розв'язання: Використаємо рисунок до попередньої задачі.
Щоб скласти рівняння пропорцій позначимо
ВL1=х, L1С=BC-BL1=18-х.
Розпишемо властивість бісектриси кута ∠A:
AB/BL1=AC/L1C;
12/x=15/(18-x);
216-12x=15x;
27x=216;
x=8.
Бісектриса AL1 ділить сторону BC на відрізки ВL1=8 см, L1С = 10 см.
За (2) формулою знаходимо довжину бісектриси - AL1=10 см
Приклад 3. Знайти бісектрису трикутника, якщо відомо, що вона виходить з кута 60 градусів, між сторонами 4 та 11 см.
Розв'язання: Знайдемо довжину бісектриси за (3) формулою через дві сторони та кут між ними:
l=2ab*cos(hama)/(a+b)=
=2*4*11*cos(60)/(11+4)=44√3/15≈5.08 см.
Приклад 4. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 15 см і 20 см. Знайти катети.
Розв'язання: Позначимо через a, b – катети прямокутного трикутника.
Гіпотенуза рівна с=15+20=35 см.
За властивістю бісектриси вона в точці дотику ділить сторону на відрізки пропорційні сусіднім сторонам, звідси маємо рівняння
a/15=b/20.
Друге рівняння дістанемо з теореми Піфагора
a^2+b^2=c^2=35^2.
Далі з першого рівняння виражаємо один катет через інший, підставляємо в друге рівняння та зводимо до обчислення квадратного рівняння.
Це в теорії, ми ж вчимо на сайті Вас використовувати мат. пакети, тому покажемо як обчислювати систему рівнянь в Мейплі.
solve({(1/15)*a=(1/20)*b, a^2+b^2=(15+20)^2}, {a, b})
Шукані катети рівні 21 та 28 см.
Приклад 5. Знайти бісектриси трикутника, якщо його сторони рівні 3, 4, 7 см.
Розв'язання: Для обчислення бісектрис використаємо аналог формули Герона, яка в таблиці на початку уроку йде під першим номером.
Щоб чогось нового вас навчити розглянемо як можна запрограмувати обчислення бісектрис в Maple.
Для цього побудуємо функцію від трьох змінних за допомогою коду
l_bis := proc (a, b, c) options operator, arrow; sqrt(a*b*(a+b+c)*(a+b-c))/(a+b) end proc
або
l_bis := (a, b, c)-> sqrt(a*b*(a+b+c)*(a+b-c))/(a+b);
Після цього вводимо сторони трикутника і знаходимо бісектриси
a := 4; b := 5; c := 7;
lc := l_bis(a, b, c);
la := l_bis(c, b, a);
lb := l_bis(c, a, b);
Результат виконання скрипта наведено на рисунку
Зауважте як змінювали порядок сторін у функції l_bis, щоб знайти потрібну бісектрису. Це важливо в обчисленнях.
Решта готових прикладів на знаходження бісектрис, медіан, висот та інших величин трикутника розглянемо в наступних уроках.
