Тригонометричні рівняння з параметром одні з важчих в курсі тригонометрії. При розкритті таких рівнянь потрібно враховувати область допустимих значень тригонометричних функцій, а також застосовувати весь багаж формул, щоб перетворити рівняння до простого типу.
Прикладі, що далі наведені входять в збірники з підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання.
Приклад 18.21 За якого найменшого значення параметра a рівняння 2cos(4x)=a-5 має корені?
Розв'язання: Рівняння з параметрами одні з найважчих, і це стосується не тільки курсу тригонометрії.
Тому їх слід розписувати уважно та враховувати всі можливі обмеження.
Запишемо р-ня 2cos(4x)=a-5 у вигляді cos(4x)=(a-5)/2.
Згідно з обмеженнями на область допустимих значень функції косинус, задане тригонометричне рівняння матиме корені, якщо параметр лежатиме в інтервалі
Розв'яжемо отриману систему нерівностей:
Отже, при a[min]=3 рівняння 2cos(4x)=a-5 має корені.
Відповідь: В.
Приклад 18.22 Знайти всі значення параметра a, за яких рівняння (a+2)sin(x)=a^2-4 має корені.
Розв'язання: Розпишемо праву частину рівняння з параметром за формулою різниці квадратів
Очевидно, що при a=-2 рівняння матиме безліч коренів, оскільки маємо тотожність 0=0.
Розглянемо випадок:
sin(x)=a-2.
З обмежень на область допустимих значень функції синус виписуємо умову, що параметр повинен знаходитися в межах -1≤a-2≤1.
Спрощуємо систему нерівностей:
Отримали, що при 
тригонометричне рівняння (a+2)sin(x)=a^2-4 має корені.
Відповідь: Г.
Приклад 18.48 За яких значень параметра a рівняння sin4x+cos4x=a має розв'язки?
У відповідь записати суму найбільшого та найменшого значень a.
Розв'язання: Маємо тригонометричне рівняння четвертого порядку з параметром.
Щоб понизити степінь в кожному з доданків квадрат синуса та косинуса замінимо, використавши основну тригонометричну тотожність.
Далі ще кілька спрощень і прийдемо до синуса подвійного кута в лівій частині від знаку рівності та кореня квадратного від параметричної функції в правій частині:
Добре запам'ятайте наведену тут схему пониження степенів, вона повторюється в багатьох завданнях і достатньо проста в реалізації.
Враховуючи область допустимих значень функції sin(2x), отримаємо систему нерівностей
Беручи до уваги, що підкоренева функція не може бути від'ємною, дану систему замінюємо еквівалентною з трьох нерівностей та розв'язуємо її
В підсумку маємо, що при значеннях параметра з проміжку a∈[0,5;1] рівняння sin4x+cos4x=a має розв'язки.
a[min]=0,5 - найменше значення, a[max]=1 - найбільше значення.
Знаходимо суму крайніх значень проміжку
Відповідь: 1,5.
Приклад 18.52 Розв'язати рівняння
У відповідь записати найбільше значення параметра a, за якого рівняння має корені.
Розв'язання: Для пониження степеня тригонометричного рівняння четвертого порядку з параметром подамо косинуси та синуси в четвертій степені через добутки квадратів. Далі квадрат синуса та косинуса заміняємо на основі основної тригонометричної тотожності та групуємо подібні доданки
В наступних діях добуток квадрату синуса на квадрат косинуса зводимо під формулу синуса подвійного кута.
Наостанок все переносимо по один бік рівняння, щоб розв'язувати як квадратне рівняння з параметром
Заміна змінних sin(2x)=t, причому -1≤t≤1.
Дискримінант рівняння t^2-2t+2a-2=0 не повинен бути від'ємним
Звідси маємо умову, що при a>12/8=1,5 рівняння коренів не має.
При менших значеннях параметра рівняння має два корені
З умови обмеження на синус -1≤t≤1 визначаємо найбільше значення a, за якого рівняння має корені.
Для першого кореня t1 квадратного р-ня розв'яжемо подвійну нерівність для визначення параметра a
Такі ж перетворення двосторонньої нерівності для t2
Звідси слідує, що задана нерівність не має розв'язку.
Отже, a=1,5 - найбільше значення параметра a, за якого рівняння має корені.
Відповідь: 1,5.
Тема тригонометричних рівнянь буде з часом доповнена, а поки що це всі приклади, якими ми хотіли з Вами поділитися.
