- 1. Вітаємо на освітньому порталі математичного спрямування!
- (UA)
- Більшість курсів в навчальному процесі більшою чи меншою мірою пов'язані з обчиcленнями. Для одних студентів навчання дається легко, вони з легкістю освоюють новий матеріал, не відстають від викладачів і в практичних заняттях. Та завжди є частина студентів, яка не може швидко опанувати азів науки та ...
- Створено 02 липня 2015
- 2. Поліном Лагранжа. Побудова в Maple
- (Математика)
- ... x[1]:=2;x[2]:=5;x[3]:=6;x[4]:=8;x[5]:=10; > y[0]:=1;y[1]:=-2;y[2]:=3;y[3]:=7;y[4]:=2;y[5]:=-2; Далі будуємо інтерполяційний поліном Лагранжа. Якщо правою кнопкою мишки вибрати опцію Standard Math то побачимо наступний запис полінома Після сумування доданків, та розкладу в ряд отримаємо ...
- Створено 02 липня 2015
- 3. Відсоток від числа
- (Математика)
- ... (1/4). За наступних три місяці приріст депозиту складе (9000+405)*18/4/100=423.22 грн. За 3 період відповідно отримаємо зростання на (9000+405+423.22)*18/4/100=442.27 грн. За решту часу приріст депозиту складе (9000+405+423.22+442.27)*18/4/100=462.17 грн. Сумарний приріст вкладу знаходимо сумуванням ...
- Створено 02 липня 2015
- 4. Квадрати чисел до 100
- (Математика)
- Квадрат числа - це добуток числа самого на себе один раз (піднесення до другого степеня). Інша аналогія полягає в тому, що операція піднесення до квадрата подібна знаходженню площі квадрата. Позначають , a^2, sqr(a) – квадрат числа. В таблиці наведені значення квадратів натуральних чисел від 1 до 100. ...
- Створено 02 липня 2015
- 5. Площа паралелограма
- (Геометрія)
- Паралелограмом називають чотирикутник у якого протилежні сторони паралельні між собою. Основні задачі в школі з даної теми полягають у обчисленні площі паралелограма, його периметру, висоти, діагоналей. Вказані величини та формули для їх обчислення будуть наведені нижче. Властивості паралелограма ...
- Створено 02 липня 2015
- 6. Площа ромба. Властивості, формули радіуса вписаного кола
- (Геометрія)
- В шкільному курсі геометрії серед основних задач значну увагу приділено прикладам обчислення площі та периметру ромба. Пригадаємо, що ромб належить до окремого класу чотирикутників і вирізняється серед них рівними сторонами. Ромб також є частковим випадком паралелограма, якщо в останнього всі сторони ...
- Створено 02 липня 2015
- 7. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу
- (Геометрія)
- ... другий катет та гіпотенузу трикутника. Розв'язання: Зобразимо трикутник із вхідними даними. Позначимо AD=x. Згідно другої властивості маємо Розкриваємо дужки Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант Корені рівняння рівні Корінь x=-10 не відповідає фізичній суті задачі. Знаючи ...
- Створено 02 липня 2015
- 8. Тетраедр в просторі (трикутна піраміда)
- (Вектори)
- ... 5) площу грані A1A2A3; 6) oб'єм піраміди. Розв'язок.Виконуємо обчислення всіх величин в такому порядку. 1) Рівняння грані A1A2A3 Запишемо рівняння площини у вигляді . Оскільки всі три точки належать цій площині, то, підставляючи їх по черзі отримаємо систему рівнянь В результаті обчислень ...
- Створено 02 липня 2015
- 9. Задача про трикутник на площині
- (Вектори)
- ... через точки та При підстановці точок отримаємо систему двох рівнянь Віднімемо від першого рівняння друге Отримане значення підставляємо в перше рівняння . Рівняння Остаточне рівняння медіани матиме вигляд Складемо загальне рівняння висоти Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт сторони ...
- Створено 02 липня 2015
- 10. Куби чисел до 100
- (Математика)
- Куб числа - це добуток числа самого на себе тричі a*a*a (піднесене до третього степеня). Інша аналогія полягає в обчисленняі об'єму куба. Позначають , a^3, sqr(a) – куб числа. Нижче зображена таблиця натуральних чисел від 1 до 100 в кубі. Вона допоможе при обчисленнях як школярам і студентам, ...
- Створено 02 липня 2015
- 11. Показникові рівняння на простих прикладах
- (Математика)
- ... Дещо розписавши отримаємо корінь показникового рівняння x=4,5. Приклад 8. Розв'язати рівняння Розв'язання: Використовуємо основоположне правило для показникових рівнянь – звести вирази до однією основою. Виконаємо маніпуляції з основою Підставляємо і прирівнюємо показники Розв'язок ...
- Створено 02 липня 2015
- 12. Розв'язки показникових рівнянь
- (Математика)
- ... до найпростішого типу з якими практично усі знають, що робити. В нашому випадку Далі якщо маємо рівні основи (2=2), то і показники мають бути рівні 2x=2; x=1. Ось і вся мудрість! Однак на ній можна побудувати такі показникові рівняння, що голова почне боліти не тільки в студента, а й у викладача, ...
- Створено 02 липня 2015
- 13. Ознаки подільності на 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13
- (Математика)
- ... на 7, то число ділиться на 7. Наприклад, 14.563.274 561-(14+274)=273. Перевіримо 273 за 2 правилом 2*2+73=77. Це число "красиво" ділиться на 7. Таким перевірити подільність числа на 7 та розв'язати приклад маємо можливість за кількома правилами. Кожне з них має для ряду чисел певні переваги ...
- Створено 02 липня 2015
- 14. Ірраціональні рівняння. Приклади для вступників
- (Математика)
- ... Приклад 1. Визначити менший корінь ірраціонального рівняння Розв'язання. Схема обчислень такого сорту прикладів наступна: Переносимо від'ємний доданок за знак рівності і підносимо корені до квадрату. Щоб не виникла ситуація, коли під коренем отримаємо від'ємне значення в кінці обов'язково перевіряємо ...
- Створено 02 липня 2015
- 15. Методи розв'язування ірраціональних рівнянь
- (Математика)
- ... Розв'язання. Маємо просте ірраціональне рівняння, корені якого можна перевірити в кінці. Виконаємо розкриття ірраціональності піднесенням до квадрату Розкриваємо дужки і групуємо подібні доданки Корені рівні x=0 і x=7/2=3,5. І тут багато хто впише 0 у відповідь, оскільки нуль менше із двох ...
- Створено 02 липня 2015
- 16. Логарифмічні та показникові рівняння та нерівності
- (Математика)
- ... Зліва від знаку рівності маємо кілька доданків, що місять двійку в певному показнику. Є два способи спрощення - або виділити найстарший доданок або наймолодший та згрупувати доданки, що залишаться. В результаті перетворимо показникові рівняння до простого вигляду Значення x=9 є розв'язком ...
- Створено 07 липня 2015
- 17. Логарифмічні рівняння. Приклади
- (Математика)
- ... і на практиці маємо можливість вибрати: шукати ОДЗ або зробити перевірку коренів у рівняння.Найпростішим логарифмічним рівнянням називають рівняння видуЙого розв'язок обчислюється потенціюванням (знаходження числа або виразу за його логарифмом)В деяких випадках, розв'язуючи ...
- Створено 07 липня 2015
- 18. Куби чисел до 100
- (Вища математика)
- Куб числа - це добуток числа самого на себе тричі a*a*a (піднесене до третього степеня). Інша аналогія полягає в обчисленняі об'єму куба. Позначають , a^3, sqr(a) – куб числа. Нижче зображена таблиця натуральних чисел від 1 до 100 в кубі. Вона допоможе при обчисленнях як школярам і студентам, ...
- Створено 07 липня 2015
- 19. Дробово раціональні рівняння
- (Математика)
- ... і зводимо до спільного знаменника. В результаті отримаємо дробову функцію f(x)/g(x), яка рівна нулю Наступним кроком знаходимо корені чисельника. Відкидаємо серед них ті, що не належать області допустимих значень (нулі знаменника) і записуємо правильну відповідь. В теорії все досить просто, проте ...
- Створено 07 липня 2015
- 20. Задачі на складні відсотки
- (Математика)
- ... (грн) Наступного року чоловік до даної суми додає ще 5000 грн. В результаті, за другий рік сума збільшиться (5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) Продовжуючи подібні обчислення, вкінці терміну отримаємо суму розміром 457349,58 грн. Повірте – помилок при обчисленні немає, велике значення набігає ...
- Створено 07 липня 2015
- 21. Властивості логарифма. Приклади
- (Математика)
- ... За властивостями 3,5 обчислюємо 2. За властивістю різниці логарифмів маємо 3. Використовуючи властивості 3, 5 знаходимо 4. де . На вигляд складний вираз із використанням ряду правил спрощується до вигляду Знаходження значень логарифмів Приклад 2. Знайти х, якщо Розв'язання. ...
- Створено 07 липня 2015
- 22. Формули скороченого множення. Приклади
- (Математика)
- ... знаки в розкладі чергуються від плюса до мінуса. Таким чином для сьомого порядку отримаємо такий розклад Уважно також погляньте як змінюються показники – для першої змінної вони спадають на одиницю в кожному наступному доданку, відповідно для другої – на одиницю зростають. В сумі показники при ожному ...
- Створено 07 липня 2015
- 23. Нерівності з модулями. Правила розкриття
- (Математика)
- ... отримаємо Перетином буде інтервал (-2;-5/3). Графічно розв'язок матиме вигляд На третьому інтервалі отримаємо Дана умова не дає розв'язків на шуканій множині. Оскільки два знайдені розв'язки (-3;-2) та (-2;-5/3) межують точкою x=-2, то перевіряємо і її. Таким чином точка x=-2 ...
- Створено 07 липня 2015
- 24. Модуль в модулі
- (Математика)
- ... Розв'язання: Завжди починають розкривати рівняння з внутрішнього модуля |x|=0 <-> x=0. В точці x=0 рівняння розділяється на 2. При x<0 підмодульна функція від'ємна, тому при розкритті знак змінюємо на протилежний |-3x-5|=-2x-2. При x>0 або рівне 0, розкриваючи модуль отримаємо |3x-5|=-2x-2. ...
- Створено 07 липня 2015
- 25. Рівняння з модулями. Графічний метод
- (Математика)
- Під простими рівняння з модулями маємо на увазі рівняння виду |x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4 в яких змінна входить одноразово та лінійно. Розв'язувати модульні рівняння можна як за допомогою розкриття модулів так і графічно. В даній статті більша увага буде приділена саме графічному методу ...
- Створено 07 липня 2015
- 26. Арифметична та геометрична прогресії. Приклади 2
- (Математика)
- ... 100 включно. Розв'язання: Перший елемент послідовності рівний a1=2, останній рівний 100. Від 1 до 10 маємо 5 парних чисел. В сотні всього 10 десятків тобто 10*5 парних чисел. Якщо міркувати по іншому, то половина елементів до 100 парні, половина – непарні. 100/2=50 – кількість парних чисел. Різниця ...
- Створено 07 липня 2015
- 27. Арифметична та геометрична прогресії. Приклади
- (Математика)
- ... номер члена прогресії 1,2; 1,8; 2,16; ... , що дорівнює 4,05. Розв'язання: маємо геометричну прогресію. Знайдемо знаменник прогресії q=b2/b1=1, 8/1,2=1,5. Знайдемо номер прогресії із залежності bn=b1qn-1. 4,05=1,2*1,5n-1; 1,5n-1=4,05/1,2=3,375=1,53; n-1=3; n=4. Відповідь: n=4. Приклад ...
- Створено 07 липня 2015
- 28. Приклади на прогресію
- (Математика)
- ... формулу суми a9-6d+a9+a9-2d+a9-4d=4*a9; 4*a9=48; a9=48/4=12. Таким чином знайшли 9 член прогресії і він рівний 12. Приклад 2. У геометричній прогресії b3* b9* b11* b13=625. Обчислити |b9| Розв'язання. Даний приклад обчислюємо за тим же алгоритмом, тільки слід пам'ятати, що маємо справу ...
- Створено 07 липня 2015
- 29. Сума арифметичної прогресії. 9 клас
- (Математика)
- ... =3+1=4. Крок прогресії рівний d=3. Знайдемо 20 член прогресії a[20]=4+(20-1)*3=61. Маємо всі дані, щоб знайти суму прогресії S=(4+61)*20/2=650. Приклад 11 (№ 753). Знайдіть суму членів арифметичної прогресії з дев'ятого до двадцятого включно, якщо перший член прогресії дорівнює 5, а різниця ...
- Створено 07 липня 2015
- 30. Приклади на прогресії підвищеної складності
- (Математика)
- ... Знову маємо завдання на складання рівняння. Позначимо члени геометричної прогресії у вигляді b/q;b;b*q. Підставивши в умову можна знайти середній член прогресії b/q*b*b*q=b^3=64. Звідси знаходимо середній член геометричної прогресії Підставимо значення членів прогресії у другу умову завдання. ...
- Створено 07 липня 2015
- 31. Задачі на складання рівнянь та їх розв'язки
- (Математика)
- ... всього 10% від розчину. Складемо пропорцію 4 кг – 10% Х – 100%. Перехресним множенням знаходимо невідому Х=100*4/10=40 (кг). Від знайденої кількості віднімаємо масу 20% розчину 40-20=20 (кг). Шукана маса дистильованої води рівна 20 кг. Задача 3. Свіжі гриби містять за масою 90% води, а сухі ...
- Створено 07 липня 2015
- 32. Приклади на складання рівнянь
- (Математика)
- ... (у км/год). Розв'язання: Досить цікава задача на складання рівняння. Маємо 3 невідомих – швидкість човна V1, байдарки V2, t – час руху байдарки. Проаналізуємо умову і складемо рівняння. В першій умові головним є не те, що вони пливуть назустріч, а те що відстань у 60 км вони проходять за 1 год 30 ...
- Створено 07 липня 2015
- 33. Текстові задачі на складання рівнянь
- (Математика)
- ... менше" захована швидкість 50 м/хв. Оскільки решта даних в км та годинах, то 50 м/хв. приводимо до км/год. 50/1000*60=3000/1000=3 (км/год). Позначимо швидкість другого велосипедиста через V, а час руху – t. Множенням швидкості на час руху отримаємо шлях V*t=120. Перший велосипедист їде повільніше, ...
- Створено 07 липня 2015
- 34. Задачі на складання рівнянь
- (Математика)
- ... на неї отримаємо довжину всього шляху 18:3/5=18*5/3=30(км) Відповідь: Довжина шляху 30 км. Задача 3. Турист пройшов 0,3 шляху. Залишилось пройти на 30 км більше, ніж він пройшов. Яка довжина шляху (в км)? Розв'язання: Розпишемо задачу у поясненнях. Нехай х – весь шлях 0,3х – пройшов ...
- Створено 07 липня 2015
- 35. Задачі на складання рівнянь. 8 клас
- (Математика)
- Текстові задачі на складання рівнянь вивчають у 8, 9 класі. Суть задач полягає у складанні в основному від одного до трьох рівнянь, з яких можна знайти невідомі величини. Мета таких уроків у навчанні учнів різних методик для складання рівнянь та прищеплені відповідних знань та умінь. Задачі не надто ...
- Створено 07 липня 2015
- 36. Рівняння з модулями. Приклади
- (Математика)
- ... Розкриваючи модуль, отримаємо два рівняння з умовами на невідому Знаходимо розв'язки Такого типу рівняння з модулем можна розв'язати графічним методом. В результаті отримаємо наступний вигляд функцій Приклад 2. Знайти корені рівняння Розв'язання: Розв'язуємо за схемою попереднього ...
- Створено 07 липня 2015
- 37. Прості відсотки. Задачі та формули
- (Математика)
- ... даний запис на 100 % та зводимо до квадратного рівняння (позбуваємося знаменників) Спрощуємо ліву частину рівняння та праву Після перенесення доданків в праву сторону, отримаємо квадратне рівняння Обчислюємо дискримінант та корені рівняння Отже маємо не один, а пару розв'язків. ...
- Створено 07 липня 2015
- 38. Показникові рівняння. Приклади
- (Математика)
- ... рівняння Еквівалентні значення підставимо у рівняння, в результаті отримаємо Виконуємо заміну змінних у показниковому рівнянні З врахуванням заміни переходимо до обчислень квадратного рівняння Знаходимо диискримінант Отримане значення підставляємо у формулу коренів На цьому обчилення ...
- Створено 07 липня 2015
- 39. Геометрична прогресія на прикладах
- (Математика)
- ... коли знаменник рівний одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їх сумування не важкеЗагальний член геометричної прогресії знаходять за формулоюСуму n перших членів геометричної прогресії визначають за формулоюРозглянемо розв'язки ...
- Створено 07 липня 2015
- 40. Арифметична прогресія. Формули та приклади
- (Математика)
- ... добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач на прогресію. Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7; ... Розв'язання: Згідно умови маємо Визначимо крок прогресії За відомою формулою знаходимо На цьому обчислення закінчено. Приклад 2. Арифметична ...
- Створено 07 липня 2015
- 41. Дискримінант рівняння. Формула Вієта
- (Математика)
- Дискримінант, як і квадратні рівняння починають вивчати у 8 клаcі в курсі алгебри. Розв'язати квадратне рівняння можна через дискримінант і за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта досить невдало прищеплюються школярам, як і багато чого в теперішній ...
- Створено 07 липня 2015
- 42. Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів
- (Математика)
- ... рівняння Перенесемо константу із квадратного рівняння за знак рівності, отримаємо вираз Помножимо обидві частини на 4а Щоб отримати зліва повний квадрат додамо в обох частинах b2 та здійснимо перетворення Звідси знаходимо Формула дискримінанту та коренів квадратного рівняння ...
- Створено 07 липня 2015
- 43. Мішаний добуток векторів. Його властивості
- (Вектори)
- ... аналізуємо його значення і приймаємо потрібну відповідь. Інші задачі стосуються обчислення площ фігур (чотирикутники, піраміди), яі задані в просторі координатами. Знаходити об'єми за допомогою мішаного добутку будемо в наступних уроках. Вас може зацікавити: Обчислення скалярного добутку векторів ...
- Створено 08 липня 2015
- 44. Поділ відрізка в заданому відношенні
- (Вектори)
- Задачі на поділ відрізка в заданому відношенні часто зустрічаються в геометрії і правила, які будуть нижче викладені допоможуть Вам на практичних. Нехай маємо дві точки A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2) і потрібно знайти точку C на відрізку AB, яка ділить його у відношенні Координати точки C(x;y;z) знаходимо за ...
- Створено 08 липня 2015
- 45. Базис. Розклад вектора за векторами базису
- (Вектори)
- Базисом простору називають таку систему векторів, що всі інші вектори простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів, що входять в базис. На практиці це все реалізовується досить просто. Базис, як правило, перевіряють на площині або в просторі, а для цього потрібно знайти визначник ...
- Створено 08 липня 2015
- 46. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розклад вектора за базисом
- (Вектори)
- ... за умови, що то вектори називаються лінійно незалежними. На практиці лінійну незалежність векторів перевіряють із умови, що визначник складений із координат векторів відмінний від нуля. Для прикладу, якщо маємо три вектори з простору , то для підтвердження їх лінійної незалежності визначник не ...
- Створено 08 липня 2015
- 47. Скалярний добуток (a,b)
- (Вектори)
- Скалярним добутком двох векторів a, b називають число, що дорівнює сумі попарних добутків координат векторів з кожної осі, тобто З формули бачимо, що знаходження скалярного добутку – це саме просте заняття, яке може виконати будь-який школяр. Для прикладу, якщо маємо два вектори в просторі з ...
- Створено 08 липня 2015
- 48. Скалярний та векторний добутки. Проекція вектора на вектор
- (Вектори)
- В даній статті будуть дані основні інструкції, щодо векторів. З їх допомого Ви будете знати що з ними можна робити, а що ні. Тож переходимо до вивчення операцій над векторами. І. Сумою двох -вимірних векторів і називають -вимірний вектор , координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів ...
- Створено 08 липня 2015
- 49. Довжина вектора. Кут між векторами
- (Вектори)
- Заголовок статті дає багато інформації про матеріал, який буде викладено далі. Він досить простий для засвоєння, однак важливий та потрібний в подальшому. На його основі будуть формулюватися всі наступні поняття розв'язуватися різні задачі на площині та здійснюватися обчислення. Координати вектора ...
- Створено 08 липня 2015
- 50. Площа трапеції. Формули
- (Геометрія)
- Задачі на площу трапеції розв'язують в шкільному курсі планіметрії. Розрахунки не надто складні при вивченні цієї теми, однак з плином часу забувається і теоретичний матеріал і формули для обчислення площі трапеції. З даного матеріалу Ви навчитеся знаходити площу трапеції та ознайомитеся з поширеними ...
- Створено 08 липня 2015