Геометрична прогресія не менш важлива в математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел 
, кожен наступний член якої, отримується множенням попереднього на стале число. Конcтанту, яка характеризує швидкість росту або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресії і позначають
Для повного задання геометричної прогресії окрім знаменника необхідна знати або визначити перший її член. Для додатних значень знаменника 
прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо 
то послідовність чисел є монотонно спадною і при 
монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник рівний одиниці 
на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їх сумування не важке
Загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою
Суму n перших членів геометричної прогресії визначають за формулою
Розглянемо розв'язки класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння теорії з найпростіших.
Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27, а її знаменник рівний 1/3.
Знайти шість перших членів геометричної прогресії.
Розв'язання: Запишемо умову задачі у вигляді
Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії
На її основі знаходимо невідомі члени ряду
Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія матиме вигляд
Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії : 6; -12; 24.
Знайти знаменник та сьомий її член.
Розв'язання: Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення
Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою
На цьому задача розв'язана.
Приклад 3. У геометричній прогресії 
задано двома членами ряду 
.
Знайти десятий член прогресії.
Розв'язання: Запишемо задані значення через формули
За правилами потрібно було б знайти знаменник а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо
Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій з вхідними даними. Поділимо шостий член ряду на другий, в результаті отримаємо
Якщо отримане значення помножити на шостий член, то отримаємо десятий
Таким чином для подібних задач за допомогою нескладних перетворень в швидкий спосіб можна отримати правильний розв'язок.
Приклад 4. Геометричну прогресію задано рекурентними формулами
Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.
Розв'язання: Запишемо задані рівняння у вигляді формул
Та виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше
Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння
Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії
Оскільки знайти суму в даному випадку не складає великих зусиль то, оминаючи прості пояснення, зводимо всі доданки під спільний знаменник
В загальному випадку, при знаходженні суми знакозмінних рядів слід виділяти їх додатну частину та від'ємну, та знайти окремо їх суми за наведеними вище формулами. Далі знайдені значення додати.
Переглянути схожі матеріали:
