Задачі на складання рівнянь

Задачі на складання рівнянь вчать розв'язувати у 8, 9 класі. Складніші чи простіші задачі допоможуть підготувати школярів до олімпіади, тесту, вступних іспитів.
Серед задач розглянутих в статті є задачі на рух , на вік, про трикутники, спільну роботу.

Мета таких завдань – навчити Вас складати рівняння до задачі та розв'язувати їх.

Схема розв'язку задачі на складання рівнянь

Перед розв'язанням задач необхідно провести аналіз, який виконують за схемою:

Визначення величин, про які йдеться в умові задачі.
Встановлення залежності між вказаними величинами.
Визначення головного запитання задачі.
Обґрунтований вибір невідомої величини (або величин).
Вираження інших величин задачі через невідому.
Складання рівняння до задачі.
Розв'язування рівнянь.
З'ясування того, чи задовольняють знайдені корені рівняння умову задачі.
Дати відповідь на головне питання задачі.

Для набуття необхідного досвіду потрібно розібрати багато задач, вивчити алгоритми складання рівнянь, схеми зведення рівнянь до простого вигляду. Для цього розглянемо прості задачі і в міру вивчення теми "Текстові задачі на складання рівнянь" розберемо задачі від простих до складних.

Розв'язки задач на складання рівнянь

Задача 1. Турист пройшов 20% усього шляху. Залишилось пройти на 36 км більше, ніж пройшов. Яка довжина шляху (в км) ?
Розв'язання: В подібних завданнях можете виконувати додаткову побудову для розуміння умови задачі. Пройшов 20% означає, що це 20/100=0,2 від всього шляху. Залишилось пройти на 36 км більше ніж пройшов.
Отже весь шлях рівний
0,2+0,2+36км=1.
Звідси (1-0,2-0,2)=0,6 або 60 % відповідає за 36 км.
Складаємо пропорцію
36 км – 60%
x – 100%.
Перехресним множенням визначаємо весь шлях
x=36*100/60=36/0,6=60 (км).
Відповідь: Довжина шляху 60 км.

Задача 2. Турист прийшов 1/5 шляху. Залишилось пройти на 18 км більше, ніж він пройшов. Яка довжина шляху (в км)?
Розв'язання: Завдання на визначення шляху за схемою обчислень ідентичне попередньому завданню.
За умовою туристу залишилось пройти 1/5 шляху +18 км.
Встановлюємо, яка частка шляху рівна 18 км
1-1/5-1/5=3/5.
Поділивши на неї отримаємо довжину всього шляху
18:3/5=18*5/3=30(км)
Відповідь: Довжина шляху 30 км.

Задача 3. Турист пройшов 0,3 шляху. Залишилось пройти на 30 км більше, ніж він пройшов. Яка довжина шляху (в км)?
Розв'язання: Розпишемо задачу у поясненнях.
Нехай х – весь шлях
0,3х – пройшов
0,3х+30 км залишилося
Обчислимо скільки займає 30 км від всього шляху
х-0,3х-0,3х=0,4х.
З рівняння знаходимо шукану відстань
0,4х=18; х=18:0,4=45(км)
Відповідь: Довжина шляху 45 км.

Задача 4. Мати старша від дочки у 4 рази. Разом їм 40 років. Скільки років дочці?
Розв'язання: Такого роду задач на складання рівнянь чимало. Алгоритм обчислень наступний.
Нехай дочці х років, тоді матері 4*х років.
За умовою складаємо рівняння
х+4х=5х;
5х=40.
Звідси знаходимо вік дівчинки
х=40/5=8(років)
Відповідь: Дочці 8 років.

Задача 5. Мати старша від дочки на 24 роки. Разом їм 40 років. Скільки років матері?
Розв'язання: Позначимо через Х- вік дочки. Тоді (Х+24) – вік матері.
Далі складемо рівняння з умови, що сума їх років рівна 40.
Х+Х+24=40;
2Х=40-24=16;
Х=16:2=8 (років).
Знайдемо вік матері
Х+24=8+24=32 (роки)
Відповідь: Матері 32 роки.

Задача 6. Ціну товару збільшили на 53%. У скільки разів став дорожчий товар?
Розв'язання: Початкова ціна товару складає 100%. Збільшили на 53% означає до базової додати націнку
100%+53%=153%.
Далі обчислюємо відношення утвореної ціни до початкової
153%/100%=1,53(рази)
Відповідь: Товар став дорожчим у 1,53 рази.

Задача 7. Батько старший від сина в 2 рази. Скільки років синові, якщо батько старший на 18 років?
Розв'язання: Нехай синові Х років. Тоді батькові за умовою 2х років
Старший на 18 років означає, що різниця років рівна 18.
У наших позначеннях умова рівносильна рівнянню
2Х-Х=Х=18 років.
Відповідь: синові 18 років.

Задача 8. Батько старший від сина в 5 разів. Скільки років батькові, якщо він старший за сина на 20 років?
Розв'язання: Нехай синові Х років. Батькові
Х*5=5Х років
Через різницю складаємо рівняння на вік
5Х-Х=20;
4Х=20.
Знаходимо вік сина
Х=20:4=5 років
далі вік батька
5*Х=5*5=25 (років).
Відповідь: Батькові 25 років.

Задача 9. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 2:1. Скільки градусів має менший гострий кут?
Розв'язання: Тут потрібно знати, що сума кутів трикутника рівна 180 градусів.
Один з кутів прямий, тому на два інші припадає
180-90=90 градусів.
Позначимо менший кут через Х, тоді більший 2Х.
Складемо рівняння
2Х+Х=90⁰;
3Х=90⁰;
Х=90⁰/3=30⁰
Відповідь: Гострий кут трикутника має 30⁰.

Задача 10. Сторони трикутника відносяться як 2:3:4. Обчислити довжину більшої сторони, якщо його периметр дорівнює 180.
Розв'язання: За відношенням, яке задано, виконаємо позначення сторін – 2Х; 3Х; 4Х.
Далі складаємо рівняння відносно невідомої та розв'язуємо його
2Х+3Х+4Х=180;
9Х=180;
Х=180/9=20.
Знаходимо більшу сторону трикутника
4Х=4*20=80 (одиниць).
Відповідь: Довжина сторони 80.

Задача 11. Кути трикутника відносяться як 1:3:6. Скільки градусів має середній кут?
Розв'язання: Вводимо позначення кутів згідно їх пропорцій Х:3Х:6Х.
Складаємо рівняння
Х+3Х+6Х=180⁰;
10Х=180⁰;
Х=180⁰/10=18⁰.
Знаходимо міру середнього кута
3Х=180*3=54⁰;
Відповідь: Шуканий кут трикутника рівний 54⁰.

Задача 12. За два дні обробили 160 га пшениці, причому першого дня обробили на 36 га більше, ніж другого. Скільки гектарів обробили другого дня?
Розв'язання: Позначимо Х – обробили пшениці другого дня.
За умовою Х+36 га – першого дня.
Складаємо рівняння
Х+Х+36=160;
2Х=160-36=124;
Х=124/2=62 (га).
Відповідь: Другого дня обробили 62 га пшениці.

Задача 13. За два дні обробили 140 га пшениці, причому першого дня обробили на 30 га більше, ніж другого. Скільки гектарів обробили першого дня?
Розв'язання: Позначаємо Х га – обробили другого дня Х+30 га – першого дня.
Записуємо рівняння
Х+Х+30= 140(га;)
2Х=140-30=110 (га)
Х=110/2=55(га).
Знайдемо площу обробки першого дня
55+30=85 (га).
Відповідь: Першого дня обробили 85 га пшениці.

Задача 14. Два робітники виготовили разом 84 деталі, працюючи 7 днів. Скільки деталей за день виготовляв перший робітник, якщо другий виготовляв за день на 2 деталі менше?
Розв'язання: Позначимо через Х кількість деталей, яку виготовляє перший робітник. тоді другий – Х-2
Складемо рівняння
(Х+Х-2)*7=84.
Думаю тут Вам все зрозуміло, ми виконали множення продуктивності робітників за день на кількість днів.
(2Х-2)*7=84;
2Х-2=84/7=12;
2Х=12+2=14;
Х=14/2=7(деталей).
Відповідь: Перший робітник виготовляє 7 деталей.

Задача 15. Сума двох чисел дорівнює 12, а різниця їх дорівнює 4. Знайти більше із чисел.
Розв'язання: Позначимо числа через а і b. За умовою завдання складаємо рівняння.
а+b=12;
а-b=4.
Маємо систему двох рівнянь з двома невідомими.
Додамо до 1 рівняння 2, в такий спосіб обнулимо змінну b
2а=12+4=16;
а=16/2=8;
b=12-a=12-8=4.
Відповідь: більше число рівне 8.