Методи (правила) розкриття нерівностей з модулями полягають у послідовному розкритті модулів від внутрішнього до зовнішнього, при цьому використовують області знакосталості підмодульних функцій. В кінцевому варіанті отримують декілька нерівностей з яких і знаходять інтервали чи проміжки, які задовільняють умові задачі.
Перейдемо до розв'язування поширених на практиці прикладів.
Лінійні нерівності модулями
Під лінійними розуміємо рівняння, в яких змінна входить лінійно.
Приклад 1. Знайти розв'язок нерівності
Розв'язання: З умови завдання слідує, що модулі перетворюються в нуль при x=-1 та x=-2. Ці точки розбивають числову вісь на інтервали
У кожному з цих інтервалів розв'яжемо задану нерівність. Для цього перш за все складаємо графічні малюнки областей знакосталості підмодульних функцій. Їх зображають у вигляді областей із знаками кожної з функцій
або інтервалів із знаками всіх функцій.
На першому інтервалі розкриваємо модулі
Множимо обидві частини на мінус одиницю, при цьому знак в нерівності поміняється на протилежний. Якщо Вам до цього правила тяжко звикнути, то можете перенести кожну з частин за знак, щоб позбутися мінуса. В кінцевому варіанті Ви отримаєте
Перетином множини x>-3 з областю на якій розв'язували рівняння буде інтервал (-3;-2). Для тих кому легше шукати розв'язки графічно можете малювати перетини цих областей
Спільний перетин областей і буде розв'язком. При строгій нерівності краї не включають. При нестрогій перевіряють підстановкою.
На другому інтервалі отримаємо
Перетином буде інтервал (-2;-5/3). Графічно розв'язок матиме вигляд
На третьому інтервалі отримаємо
Дана умова не дає розв'язків на шуканій множині.
Оскільки два знайдені розв'язки (-3;-2) та (-2;-5/3) межують точкою x=-2, то перевіряємо і її.
Таким чином точка x=-2 є розв'язком. Загальний розв'язок з врахуванням цього матиме вигляд (-3;5/3).
Приклад 2. Знайти розв'язок нерівності
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Розв'язання: Нулями підмодульних функцій будуть точки x=2, x=3, x=4. При значеннях аргументів менших за ці точки підмодульні функції від'ємні, а при більших – додатні.
Точки розбивають дійсну вісь на чотири інтервали. Розкриваємо модулі згідно інтервалів знакосталості та розв'язуємо нерівності.
1) На першому інтервалі усі підмодульні функції від'ємні, тому при розкритті модулів міняємо знак на протилежний.
Перетином знайдених значень x з розглядуваним інтервалом буде множина точок
2) На проміжку між точками x=2 і x=3 перша підмодульна функція додатня, друга і третя –від'ємні. Розкриваючи модулі, отримаємо
нерівність, яка в перетині з інтервалом, на якому розв'язуємо, дає один розв'язок – x=3.
3) На проміжку між точками x=3 і x=4 перша і друга підмодульні функції додатні, а третя – від'ємна. На основі цього дістанемо
Ця умова показує, що цілий проміжок [3;4] буде задовільняти нерівність з модулями.
4) При значеннях x>4 усі функції знакододатні. При розкритті модулів їх знак не змінюємо.
Знайдена умова в перетині з інтервалом дає наступну множину розв'язків
Оскільки нерівність розв'язана на всіх інтервалах, то залишається знайти перетин всіх знайдених значень x. Розв'язком будуть два інтервали
На цьому приклад розв'язано.
Приклад 3. Знайти розв'язок нерівності
||x-1|-5|>3-2x
Розв'язання: Маємо нерівність з модулем від модуля. Такі нерівності розкривають по мірі вкладеності модулів, починаючи з тих, які розміщені саме глибше.
Підмодульна функція x-1 перетвориться в нуль в точці x=1.
При менших значеннях за 1 вона від'ємна і додатня для x>1. На основі цього розкриваємо внутрішній модуль і розглядаємо нерівність на кожному з інтервалів.
Спочатку розглянемо інтервал від мінус безмежності до одиниці
Підмодульна функція рівна нулю в точці x=-4. При менших значеннях вона знакододатня, при більших – від'ємна. Розкриємо модуль для x<-4:
В перетині з областю, на якій розглядаємо отримаємо множину розв'язків
Наступним кроком розкриваємо модуль на інтервалі (-4;1)
З врахуванням області розкриття модуля отримаємо інтервал розв'язків
ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: якщо Ви отримали в подібних нерівностях з модулями два інтервали, які межують спільною точкою, то, як правило, вона також є розв'язком.
Для цього варто лише здійснити перевірку.В даному випадку підставляємо точку x=-4.
Отже x=-4 є розв'язком.
Розкриємо внутрішній модуль для x>1
Підмодульна функція від'ємна для x<6.
Розкриваючи модуль, отримаємо
Дана умова в перетині з інтервалом (1;6) дає порожню множину розв'язків.
Для x>6 отримаємо нерівність
Також отримали порожню множину.
Враховуючи все вище викладене, єдиним розв'язком нерівності з модулями буде наступний інтервал.
Нерівності з модулями, що містять квадратні рівняння
Приклад 4. Знайти розв'язок нерівності |x^2+3x|>=2-x^2
Розв'язання: Підмодульна функція перетворюється в нуль в точках x=0, x=-3. Простою підстановкою мінус одиниці
встановлюємо, що вона менша нуля на інтервалі (-3;0) та додатня за його межами.
Розкриємо модуль в областях де підмодульна функція додатня
Залишилося визначити області де квадратна функція додатня. Для цього визначаємо корені квадратного рівняння
Для зручності підставляємо точку x=0, яка належить інтервалу (-2;1/2). Функція від'ємна в цьому інтервалі, значить розв'язком будуть наступні множини x
Тут скобками позначені краї областей з розв'язками, це зроблено свідомо, враховуючи наступне правило.
ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: Якщо нерівність з модулями, чи проста нерівність є строга, то краї знайдених областей не є розв'язками, якщо ж нестрога нерівність (
) то краї є розв'язками (позначають квадратними скобками).
Це правило використовує багато викладачів: якщо задана строга нерівність, а Ви при обчисленнях запишете в розв'язку квадратну скобку ([,]) – вонин автоматом порахують це за неправильну відповідь. Також при тестуванні, якщо задана нестрога нерівність з модулями, то серед розв'язків шукайте області з квадратними скобками.
На інтервалі (-3;0) розкриваючи модуль, змінюємо знак функції на протилежний
Враховуючи область розкриття нерівності, розв'язок матиме вигляд
Разом з попередньою областю це дасть два півінтервали
Приклад 5. Знайти розв'язок нерівності 9x^2-|x-3|>=9x-2
Розв'язання: Задано нестрогу нерівність, підмодульна функція якої рівна нулю в точці x=3. При менших значеннях вона від'ємна, при більших – додатня. Розкриваємо модуль на інтервалі x<3.
Знаходимо дискримінант квадратного рівняння
та корені
Підставляючи точку нуль, з'ясовуємо, що на проміжку [-1/9;1] квадратична функція від'ємна, отже проміжок є розв'язком. Далі розкриваємо модуль при x>3
Дискримінант
від'ємний, отже дійсних коренів немає.
Єдиним розв'язком є проміжок [-1/9;1] .
Давайте виконаємо дані обчислення в математичному пакеті Maple. Аналізу підмодульних функцій та склеювання областей Ви при цьому не побачите, зате без труднощів отримаєте лише правильні розв'язки.
Фрагмент коду в Maple та результати розрахунків наведені нижче
> restart ; - занулення всіх змінних
> Q1:=abs(x+1)>2*abs(x+2); - запис рівняння з модулями
> solve(Q1,x); - розв'язування рівняння з модулями
Тут RealRange() означає дійсний проміжок, Open() - показує, що краї проміжку не включаються (круглі скобки)
> Q2:=abs(x-2)+abs(x-3)>=abs(x-4);
> solve(Q2,x);
> Q3:=abs(abs(x-1)-5)<3-2*x;
> solve(Q3,x);
> Q4:=abs(x^2+3*x)>=2-x^2;
> solve(Q4,x);
> Q5:=9*x^2-abs(x-3)<=9*x-2;
> solve(Q5,x);
В середовищі Maple легко реалізовується розв'язування ірраціональних, логарифмічних нерівностей з модулями та інших. Достатньо лише ввести задану нерівність та визвати команду solve() - розв'язування. В такий спосіб можна отримати розв'язки настільки складних задань з модулями, що всі відомі аналітичні методи перед ними безсилі.
Рівняння з модулями потребують великої уваги при розв'язанні. Сама менша неуважність або помилка зі знаком може привести до зайвих розв'язків або їх недостачі. При обчисленнях можете виконувати перевірку методом підстановки. Також можете перевірити розв'язки з допомогою Maple чи інших відомих Вам математичних програм.
