Розв'язки текстових задач на складання рівнянь будуть корисними в першу чергу для школярів. Навчальна програма за 9, 10 клас охоплює широкий клас завдань, до яких потрібно визначити невідомі, скласти рівняння і розв'язати. Нижче наведена лише мала частина можливих задач та методика їх обчислень.
Приклад 1. Перший велосипедист щохвилини проїжджає на 50 м менше ніж другий, тому на шлях 120 км він витрачає на 2 години більше, ніж другий. Знайти швидкість другого велосипедиста (в км за годину).
Розв'язання: Завдання для багатьох важке, але насправді все просто. У фразі "Проїжджає щохвилини на 50 метрів менше" захована швидкість 50 м/хв. Оскільки решта даних в км та годинах, то 50 м/хв. приводимо до км/год.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/год).
Позначимо швидкість другого велосипедиста через V, а час руху – t. Множенням швидкості на час руху отримаємо шлях
V*t=120.
Перший велосипедист їде повільніше, тому і довше. Складаємо відповідне рівняння руху
(V-3)(t+2)=120.
Маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. З першого рівняння виразимо час руху та підставимо у друге
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
Після множення на V/2 та групування подібних доданків можна отримати таке квадратне рівняння
V2-3V-180=0.
Обчислюємо дискримінант рівняння
D=9+4*180=729=27*27
та корені
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Другий відкидаємо, він не має фізичного змісту. Знайдене значення V=15 км/год є швидкістю другого велосипедиста.
Відповідь: 15 км/год.
Приклад 2. Морська вода вміщує 5% солі за масою. Скільки прісної води треба додати до 30 кг морської, щоб концентрація солі зменшилась на 70%?
Розв'язання: Знайдемо скільки солі в 30 кг морської води
30*5/100=1,5 (кг).
В новому розчині це становитиме
(100%-70%)=30% від 5%, складаємо пропорції
5% – 100% Х– 30%.
Виконуємо обчислення
Х=5*30/100=150/100=1,5%.
Таким чином 1,5 кг солі відповідає за 1,5% в новому розчині. Знову складаємо пропорції
1,5 – 1,5% Y – 100%.
Знаходимо масу розчину морської води
Y=1,5*100/1,5=100 (кг).
Віднімемо масс солоної води, щоб знайти кількість прісної
100-30=70 (кг).
Відповідь: 70 кг прісної води.
Приклад 3. Мотоцикліст затримався біля шлагбаума на 24 хв. Збільшивши після цього свою швидкість на 10 км за год, він надолужив спізнення на перегоні 80 км. Визначити швидкість мотоцикліста до затримки(в км за год).
Розв'язання: Завдання на складання рівняння. Позначимо початкову швидкість мотоцикліста через V, а час за який він мав проїхати через t. Маємо дві невідомі, отже рівнянь повинно теж бути 2. Згідно умови, за цей час він мав проїхати 80 км
V*t=80 (км).
Затримався означає, що час зменшився на 24 хв. Також, варто зауважити, що в подібних задачах час потрібно переводити в години або хвилини (залежно від умови) і тоді розв'язувати. Складаємо рівняння руху з врахуванням меншого часу та більшої швидкості
(V+10)(t-24/60)=80.
Маємо два рівняння для визначення часу та швидкості. Оскільки в задачі питають за швидкість, то виразимо час з першого рівняння та підставимо у друге
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Наша мета – навчити Вас складати рівняння до завдань, з яких можна визначити шукані величини. Тому не вдаючись у деталі, отримане рівняння множенням на 60*V і діленням на 24 може бути зведене до наступного квадратного рівняння
V^2+10*V-2000=0.
Самостійно знайдіть дискримінант та корені рівняння. Ви повинні отримати значення
V=-50;
V=40.
Перше значення відкидаємо, воно не має фізичного змісту. Друге V=40 км/год є шуканою швидкістю мотоцикліста.
Відповідь: 40 км/год.
Приклад 4. Товарний поїзд затримався у дорозі на 12 хв, а потім на відстані 112 км надолужив згаяний час, збільшивши швидкість на 10 км/год. Знайти початкову швидкість поїзда (в км /год).
Розв'язання: Маємо завдання у якому невідомими виступають швидкість поїзда V та час руху t. Оскільки задача за схемою рівнянь відповідає попередній, то записуємо два рівняння на невідомі
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Рівняння слід складати саме у таких позначеннях. Це дозволяє в простому вигляді виразити з першого рівняння час
t =112/V
та, підставивши у друге, отримати рівняння лише відносно швидкості
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Якщо невдало вибрати позначення, то можна отримати рівняння на невідомі такого плану
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Тут t відповідає часу після збільшення швидкості на 10 км/год, але суть не в цьому. Наведені рівняння теж правильні, але не є зручними з точки зору обчислень. Спробуйте розв'язати перші два рівняння і останні і Ви зрозумієте, що 2 схеми слід уникати при складанні рівнянь. Тому добре обмірковуйте, які вводити позначення, щоб мінімізувати кількість обчислень. Отримане рівняння
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
зводимо до квадратного рівняння (множимо на 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Не вдаючись у проміжні обчислення, коренями будуть
V=-80;
V=70.
В завданнях такого типу завжди отримаємо від'ємний корінь (V=-80), який потрібно відкинути.
Швидкість поїзда рівна 70 км/год.
Приклад 5. Відправившись із автостанції на 10 хв пізніше, автобус їхав до першої зупинки зі швидкістю на 16 км/год більшою, ніж за розкладом, і приїхав вчасно. Яку швидкість (в км/год) повинен мати автобус за розкладом, якщо відстань від автостанції до першої зупинки дорівнює 16 км?
Розв'язання: Невідомими виступають швидкість автобуса V і час t. Складаємо рівняння, врахувавши шо час спізнення задано у хвилинах, а не годинах V*t=16 – так мав їхати автобус у звичному режимі;
(V+16)(t-10/60)=16 – рівняння руху через пізнє відправлення автобуса.
Маємо два рівняння і дві невідомі. З 1 рівняння виразимо час і підставимо у друге
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Отримане рівняння відносно швидкості зводимо до квадратного (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Коренями квадратного рівняння є
V=32; V=-48.
Шукана швидкість автобуса рівна 32 км/год.
Відповідь: 32 км/год.
Приклад 6. Водій автомобіля зупинився для заміни колеса на 12 хв. Після цього збільшивши швидкість руху на 15 км/год, він надолужив витрачений час на відстані 60 км. З якою швидкістю (в км/год) він рухався після зупинки?
Розв'язання: Алгоритм розв'язування задачі кілька разів наводився у попередніх прикладах. Стандартно позначаємо швидкість і час через V, t. При складенні рівняння не забувайте перевести хвилини в години. Система рівнянь матиме вигляд
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Подальші маніпуляції Ви також повинні знати або завчити.
t=60/V;
(V+15)( 60/V -12/60)=60.
Дане рівняння можна звести до квадратного рівняння
V^2+15*V-4500=0.
Розв'язавши квадратне рівняння, отримаємо наступні значення швидкостей
V=60; V=-75.
Швидкість від'ємною не буває, тому єдина правильна відповідь V=60 км/год.
Приклад 7. Деяке двоцифрове число у 4 рази більше за суму і у 3 рази більше за добуток своїх цифр. Знайти це число.
Розв'язання: Завдання на числа займають важливе місце серед задач на складання рівнянь і бувають не менш цікавими в побудові розв'язків ніж задачі на швидкість. Все що потрібно, це добре зрозуміти умову задачі. Позначимо число через ab, тобто число рівне 10*a+b. За умовою складемо систему рівнянь
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Оскільки в перше рівняння невідомі входять лінійно то його розписуємо і виражаємо одну з невідомих через іншу
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Підставимо b=2*a в друге рівняння
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Звідси a=0; a=2. Перше значення немає змісту розглядати, при a=2 друга цифра рівна b=2*a=2*2=4, а шукане число 24.
Відповідь: число рівне 24.
Приклад 8. Два процесори ЕОМ, працюючи разом, обробляють дані за 8 с. Перший з них, працюючи сам, може виконати всю роботу на 12 с. швидше ніж другий, якщо той працюватиме окремо. За скільки секунд виконати цю роботу другий процесор ЕОМ, працюючи сам?
Розв'язання: Схема розв'язування подібних завдань непроста, проте на прикладах засвоїти методику і навчитися може кожен. Позначимо роботу процесорів за секунду часу через A та B, всю роботу С. За 1 умовою задачі складемо рівняння
(A+B)*8=C.
Далі нехай другий B виконує роботу за t секунд, тоді перший A за (t-12) секунд. Складаємо, ще 2 рівняння
A*(t-12)=C;
B*t=C.
Маємо систему із трьох рівнянь з 4 невідомими. Щоб її розв'язати одна змінна повинна входити в кінцеве рівняння лінійним множником. Оскільки нас цікавить час, то виразимо з 2 і 3 рівняння A та В і підставимо у перше. В подібних завданнях поступайте аналогічним чином
B=C/t; A=C/(t-12).
C/t+C/(t-12)=C.
Як бачите загальна робота входить в кожен доданок, її виносимо за дужки як спільний множник і спрощуємо
1/t+1/t-12=1.
Це кінцеве рівняння відносно часу, яке потрібно розв'язати. Після зведення до спільного знаменника і групування доданків Ви отримаєте квадратне рівняння
t2-28*t+96=0.
Його розв'язками є значення t=4; t=24. Перший час відкидаємо, він суперечить умові задачі. Отже другий процесор ЕОМ виконає роботу за 24 секунди.
Переглянути схожі матеріали:
