Приклади на суму арифметичної прогресії розв'язують у школі в 9 класі в курсі алгебри. Задачі бувають різного рівня складності, тому почнемо від простих до складних. Розглянемо завдання із поширених на пракиці збірників з математики.
Приклади підібрано із збірника для 9 класів з алгебри.
Автори: Василь Кравчук, Марія Підручна, Галина Янченко.
Приклад 1(№690). Дев'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 23. Чому дорівнює сума восьмого і десятого членів цієї прогресії?
Розв'язання. Запишемо формули восьмого і дев'ятого члена арифметичної прогресії через 9 її член
a[10]=a[9]+d;
a[9]=a[8]+d;
a[8]=a[9]-d.
Знайдемо суму двох членів прогресії
a[8]+ a[10]= a[9]-d +a[9]+d=2*a[9].
Виконуємо обчислення
S=2*23=46.
Запам'ятайте, що кожен член арифметичної прогресії може бути визначений як середнє арифметичне сусідніх
Правило діє незалежно від того наскільки вони віддалені від нього
Формули досить часто застосовують в обчисленнях, тому постарайтеся їх вивчити.
Приклад 2 (694). Перший і четвертий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 3,8 і 7,5. Знайдіть суму перших чотирьох членів цієї прогресії.
Розв'язання. Подібно до попереднього прикладу виразимо другий член арифметичної прогресії через 1, а 3 через 4.
Формулами це матиме запис
a[2]=a[1]+d; a[3]=a[4]-d.
Легко побачити, що при їх сумування різниця прогресії спрощується.
a[2]+a[3]= a[1] +a[4].
Нам же потрібно знайти суму перших чотирьох членів прогресії. Залишилося додати 1 і 4 член прогресії
S=2(a[1] +a[4])=2*(3.8+7.5)=2*11.3=22.6.
Як бачите сумувати арифметичну прогресію не так і складно.
Приклад 3 (№ 698). П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 2,5. Знайдіть суму перших дев'яти членів цієї прогресії.
Розв'язання. Для знаходження суми арифметичної прогресії відомо дві формули, одна з яких передбачає наявність значень крайніх членів суми прогресії та їх кількість
Оскільки 5 член прогресії рівновіддалений від 1 і 9 її члена на 4 індекси, то півсуму крайніх членів прогресії можемо виразити через 5 член залежністю
Повертаємося до формули суми та обчислюємо
S=a[5]*9=2,5*9=22,5.
Сума 9 членів прогресії рівна 22,5.
Приклад 4(№ 736). Знайдіть суму перших сорока натуральних чисел.
Розв'язання. Нагадаємо, що натуральні числа це ті, що використовуються при лічбі 1, 2, 3, 40. Тут вигадувати нічого не потрібно, лише скористатися формулою суми для обчислень
S=(1+40)/2*40=820.
Сума 40 перших натуральних чисел рівна 820.
Приклад 5(№ 740). Знайдіть суму непарних натуральних чисел, не більших від 81.
Розв'язання. Непарні натуральні числа утворюють послідовність 1, 3, 5,...
Крок прогресії рівний d=3-1=2.
Знайдемо кількість членiв у сумі
n=(81-1)/2=40.
Знаходимо суму прогресії за формулою
S=(80+1)/2*40=1620.
Приклад 6(№ 741). Знайдіть суму парних натуральних чисел, не більших від 100.
Розв'язання. Перший член прогресії рівний a[1]=2.
Номер останнього знаходимо діленням
n=100/2=50.
Далі підставляємо в формулу суми та обчислюємо
S=(2+100)*50/2=2550.
Задачі подібного типу зустрічаються в алгебрі досить часто, тому розглянемо їх більше.
Приклад 7 (№ 742). Знайдіть суму натуральних чисел, кратних 7 і не більших від 145.
Розв'язання. Числа кратні 7 означає, що різниця прогресії рівна d=7.
Обчислимо кiлькiсть таких чисел діленням
145/7=20 цілих і 5 остачі.
Тоді останній доданок суми рівний
a[20]=20*7=140.
Обчислюємо суму арифметичної прогресії
S=(7+140)*20/2=1470.
Приклад 8 (№ 748). Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії, п'ятий і восьмий члени якої відповідно дорівнюють 12 і 27.
Розв'язання. Складемо рівняння з умови
a[1]+4*d=12;
a[1]+7*d=27.
Від другого рівняння віднімемо перше та знайдемо крок прогресії
3*d=27-12=15;
d=15/3=5.
Обчислюємо 1 та 10 член прогресії
a[1]+4*5=12;
a[1]=12-20=-8.
a[10]=-8+9*5=37.
Знаходимо суму арифметичної прогресії
S=(-8+37)*20/2=290.
Приклад 9 (№ 749). Дев'ятий член арифметичної прогресії більший від четвертого утричі, а їх сума дорівнює 20. Знайдіть суму перших восьми членів прогресії.
Розв'язання. Запишемо рівняння з умови
a[9] =3*a[3];
a[3]+a[9]=20.
З першого рівняння 9 член прогресії підставимо у 2
a[3]+3*a[3]=20;
4*a[3]=20;
a[3]=20/4=5.
Тоді a[9]=20-5=15.
Розпишемо їх через перший член прогресії та крок та знайдемо їх
a[1]+2*d=5;
a[1]+8*d=15.
6*d=15-5=10;
d=10/6=5/3.
Обчислюємо 1 та 8 член прогресії
a[1] =5-2*5/3=5/3;
a[8]=a[9]-d=15-5/3.
В такому вигляді і залишаємо, при обчисленні суми доданок спроститься
S=(5/3+15-5/3)*8/2=60.
Як бачите, обчислення не є складними. Головне знати властивості арифметичної прогресії.
Приклад 10 (№ 751). Знайдіть суму перших двадцяти натуральних двоцифрових чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 1.
Розв'язання. Такі приклади для школярів 9 класів не повинні бути складними. Обчислимо 1 член прогресії
a[1] =3+1=4.
Крок прогресії рівний d=3.
Знайдемо 20 член прогресії
a[20]=4+(20-1)*3=61.
Маємо всі дані, щоб знайти суму прогресії
S=(4+61)*20/2=650.
Приклад 11 (№ 753). Знайдіть суму членів арифметичної прогресії з дев'ятого до двадцятого включно, якщо перший член прогресії дорівнює 5, а різниця — –2.
Розв'язання. Є два способи розв'язати завдання:
- скористатися готовою формулою
яку мало хто після закінчення школи запам'ятає. - Скористатися універсальною формулою прогресії і потрібну суму знайти через різницю суми 20 членів і 8.
Почнемо з другої методики, для цього обчислимо 8 та 20 член прогресії
a[8]=5-2*(8-1)=-9.
a[20]=5-2*19=-33.
Знаходимо суми прогресії
S[8]=(5-9)*8/2=-16;
S[20]=(5-33)*20/2=-280.
Їх різниця і буде шуканою сумою
S=-280-(-16)=-264.
Для перевірки формули часткової суми прогресії знайдемо 9 її член
a[9]=5-2*8=-11
S=(-11-33)(20-9+1)/2=-264.
За формулою знайти суму прогресії можна за коротший час, однак не завжди готова формула є під рукою. Тому наведену схему знаходження часткової суми прогресії для себе запам'ятайте.
Розглянемо типові приклади на прогресії із збірника для 9 класів з алгебри. Автори: Бевз Г.П., Бевз В.Г. 2009 р.
Приклад 12 (№ 888). Стародавня арабська задача. Знайдіть 20-й член і суму двадцяти членів арифметичної прогресії 3, 7, 11, 15, ...
Розв'язання. Обчислимо крок прогресії
d=7-3=4.
Знаходимо 12 та 20 член прогресії
a[20]=3+19*4=79.
a[12]=3+11*4=47.
Виконуємо обчислення суми
S=(3+47)*12/2=300.
На цьому арабську задачу розв'язано.
Приклад 13 (№ 889). Знайдіть суму 60 перших натуральних чисел.
Розв'язання. Без проміжних викладок виконуємо обчислення
S=(1+60)*60/2=1830.
Сума перших 60 натуральних чисел рівна 1830.
Приклад 14 (№ 894). Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 крб., а за кожний наступний – на 20 крб. Більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать за копання 12-метрової криниці.
Розв'язання. Маємо практичну задачу на прогресію, перший член якої рівний a[1]=30 , крок прогресії d=20.
Обчислимо 12 член прогресії
a[12]=30+20*(12-1)=250.
Знаходимо суму прогресії
S=(30+250)*12/2=1680 (крб.)
За копання криниці робітникам заплатять 1680 карбованців.
Приклад 15 (№ 919). Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайдіть суму її перших 25 членів.
Розв'язання. Всі хто часто має справу з подібними завданнями хід обчислень бачать з умови. Тут потрібно виразити 1 і 25 член прогресії через 13. За теоремою про середнє арифметичне отримаємо
a[13]=(a[1]+a[25])/2=3.
Така ж півсума фігурує у формулі суми прогресії, тому отримаємо
S=3*25=75.
Тепер Ви знаєте, як обчислити суму прогресії в подібних завданнях.
Приклади на прогресію із збірника з алгебри для 9 класу. Автори: Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. 2009 р.
Приклад 16 (№ 568). Починаючи з якого номера в арифметичній прогресії {x[n]} сума більша 143, якщо x[2]=5, x[5]=11?
Розв'язання. Складемо рівняння для визначення різниці прогресії та 1 члена
x[1]+d=5;
x[1]+4*d=11.
3*d=11-5=6;
d=6/3=2.
x[1]=5-d=3.
Складемо нерівність для обчислення номера останнього доданка суми
(2*3+2*(n-1))*n/2>143.
n^2-2*n-143>0.
Отримали квадратичну нерівність. Нулі знаходимо через корені квадратного рівняння. Після обчислень, які тут не наводимо, отримаємо значення n=-11; n=13.
Перше значення відкидаємо, друге є розв'язком, але не відповіддю до завдання. При n=13 сума рівна 143, а нам потрібна строга нерівність тому беремо наступний номер. Відповідь: потрібно 14 членів прогресії.
Приклад 17 (№ 571). Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою S[n]=n^2+3*n. Знайдіть 6 член цієї прогресії.
Розв'язання. Розпишемо загальну формулу суми прогресії
З умови знаходимо перший член прогресії та крок
d/2=1; d=2;
(2*a[1]-d)/2=3;
a[1]=(3*2+2)/2=4.
Тепер можемо знайти 6 член прогресії.
a[6]=4+5*2=14.
Добре запам'ятайте наведену формулу. На її основі можна розв'язати чимало задач на послідовності.
Мали за мету привести кілька прикладів із збірника Мерзляка, Полонського, Якора, але на жаль в інтернеті відсутня повна версія підручника.
В загальному для початку наведених прикладів Вам вистачить, щоб розв'язати 95 % прикладів на суму прогресії.
