Рівняння, які можна звести до дробу f(x)/g(x)=0 називається дробово раціональним рівнянням.
Розв'язання дробово раціональних рівнянь є не надто складним завданням, якщо Ви знаєте методику, а вона достатньо проста.
Якщо рівняння має кілька доданків, то переносимо їх по одну сторону знаку рівності і зводимо до спільного знаменника. В результаті отримаємо дробову функцію f(x)/g(x), яка рівна нулю
Наступним кроком знаходимо корені чисельника. Відкидаємо серед них ті, що не належать області допустимих значень (нулі знаменника) і записуємо правильну відповідь.
В теорії все досить просто, проте на практиці і в школярів, і в студентів виникають проблеми при зведені до спільного знаменника, відшуканні коренів і т.д. Для ознайомлення з розв'язуванням розглянемо декілька поширених завдань.
Приклади дробово раціональних рівнянь
Приклад 1. Знайти корені рівняння
Розв'язання: За методикою переносимо доданки та зводимо до спільного знаменника
Прирівнюємо чисельник і знаменник до нуля і знаходимо корені. Перше рівняння можемо розв'язати за теоремою Вієта
Друге розкладаємо на множники
Якщо від коренів чисельника відкинути нулі знаменника, то отримаємо лише один розв'язок x=-7.
Увага: Завжди перевіряйте чи співпадають корені чисельника і знаменника. Якщо такі є, то не враховуйте їх у відповіді.
Відповідь: х=-7.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Розв'язання: Дано дробове раціональне рівняння. Знаходимо спочатку корені чисельника, для цього розв'язуємо квадратне рівняння
Обчислюємо дискримінант
та корені рівняння
Отримали три нулі чисельника 
.
Квадратне рівняння в знаменнику простіше і можемо розв'язати за теоремою Вієта
Чисельник і знаменник не мають спільних коренів тому всі три знайдені значення 
будуть розв'язками.
Приклад 3. Знайти корені рівняння
Розв'язання: Переносимо доданок за знак рівності
і зводимо до спільного знаменника
Розкриваємо в чисельнику дужки та зводимо до квадратного рівняння
Отримане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь
Корені першого обчислюємо через дискримінант
Нулі другого знаходимо без проблем
Виключаємо із розв'язків чисельника значення 
і отримаємо.
Відповідь: х=3.
Задачі на рух
Задача 4. Вертоліт пролетів за вітром відстань 120 км і в зворотньому напрямку повернувся назад, витративши на весь шлях 6 год. Знайдіть швидкість вітру, якщо швидкість в штиль становить 45 км/год.
Розв'язання:
Позначимо швидкість вітру через х км/год. Тоді за вітром швидкість вертольоту становитиме (45+х) км/год, і в зворотньому напрямку (45-х) км/год. За умовою задачі вертоліт потратив 6 години на дорогу.
Поділивши відстань на швидкість та просумувавши отримаємо час
Отримали дробово раціональне рівняння, схема розв'язування якого неодноразово повторювалася
Розв'язком другого рівняння будуть значення x=-45; x=45.
Корені чисельника знайдемо після спрощень
Із фізичних міркувань перший розв'язок відкидаємо.
Відповідь: швидкість вітру 15 км/год.
Задачі на спільну роботу
Задача 2. Два лісоруби, працюючи разом, виконали норму вирубки за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожному лісорубу окремо, якщо першому для вирубки норми потрібно на 6 днів менше, ніж другому?
Розв'язання: Нехай перший лісоруб виконує норму за х днів. Тоді другому необхідно (х+6) днів.
Це означає, що за один день перший виконає 
, а друга 
частину всієї норми. За умовою виконують норму за 4 дні, тобто обоє в день можуть виконати 
норми.
Складаємо і розв'язуємо рівняння
Дане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь
Один розв'язок 
не відповідає фізичній суті завдання. Час другого лісоруба
х+6=6+6=12 (днів)
Відповідь: Роботу перший лісоруб виконає за 6 днів, а другий за 12.
Подібних дробово раціональних рівнянь можна розглянути безліч, схема їх розв'язання незмінна. В теоретичних задачах правильно складайте рівняння і не помиляйтеся при зведенні до спільного знаменника. Все решта зводиться до розв'язування переважно лінійих рівнянь або квадратних.
