Показниковими називають рівняння в яких невідома величина міститься в показнику степеня, при цьому основа степеня не містить невідомої величини. Саме просте показникове рівняння ax=b розв'язують логарифмуванням x=log[a](b).

При розв'язуванні показникових рівнянь використовують властивість показників: якщо рівні вирази з однією і тією ж основою, то рівні показники степені, або основа дорівнює одиниці.
З рівності

слідує x=y або a=1.

Деякі рівняння потребують заміни змінної, що веде до розв'язування степеневого рівняння. Для прикладу рівняння

легко зводиться до квадратного, якщо зробити заміну
3x=y

При цьому вихідне рівняння набуде вигляду

Після його розв'язку потрібно повернутися до заміни і розв'язати отримане рівняння.

Якщо показникове рівняння містить дві різні показникові функції (основи не зводяться до однієї), то виконують ділення рівняння на одну із основ у відповідній степені і перехід до показникового рівняння, що містить функцію з дробовою основою.

Шукаючи розв'язки показникових рівнянь слід пам'ятати, що показникова функція приймає лише додатні значення. Від'ємні значення або нулі заміненої змінної не беруться до розгляду.

На цьому необхідний теоретичний матеріал закінчується і переходимо до розгляду поширених прикладів.

Приклад 1.Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Перепишемо рівняння в наступному вигляду
перетворення
Другий доданок розпишемо, як добуток
перетворення
та зробимо заміну у рівнянні

Вихідне рівняння перетвориться до наступного

Областю допустимих значень буде дійсна множина за винятком точки y=0.
Помножимо залежнысть на y та переносимо выльний член в ліву сторону
квадратне рівняння
Отримали квадратне рівняння, корені якого знаходимо за теоремою Вієта. Не важко переконатися, що вони приймають значення

Повертаємося до заміни, та знаходимо розв'язки
розв'язування
розв'язування
Виконуємо перевірку


Отже обидва розв'язки x=1; x=3 задовольняють рівняння.

Приклад 2. Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Використовуючи одну з властивостей логарифма записуємо праву сторону рівняння у вигляді
перетворення
Прирівнявши показники, знаходимо
розв'язок
Отак вигядає правило про рівність показників при рівних осповах.

Приклад 3. Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Такого сорту приклади розв'язують логарифмуванням обох сторін, що приводить до зведення показникового рівняння до простого вигляду.
перетворення
квадратне рівняння
Отримане рівняння відносно змінної розв'язуємо через дискримінант
дискримінант, знаходження
Корені рівняння набудуть значень
корені рівняння
корені рівняння
корені рівняння
Іншого методу, який би дозволяв аналітично отримати розв'язки Ви не знайдете ні в інтернеті, ні на форумах.
Те що корені отримали громіздкі та ірраціональні - не проблеблема, головне що вони правильно знайдені.

Приклад 4. Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Виконаємо деякі перетворення з показниками, щоб спростити рівняння
перетворення
Еквівалентні значення підставимо у рівняння, в результаті отримаємо

Виконуємо заміну змінних у показниковому рівнянні
заміна
З врахуванням заміни переходимо до обчислень квадратного рівняння

квадратне рівняння
Знаходимо диискримінант
дискримінант, знаходження
Отримане значення підставляємо у формулу коренів
корені рівняння
корені рівняння
На цьому обчилення не завершені. Повертаємося до заміни змінних та знаходимо розв'язки показникового рівняння
розв'язування
Тепер лише можна онстатувати, що завдання розв'язано.

Приклад 5.Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Такого типу рівняння розв'язують за сталою основою. За основу класично беруть 10, однак, якщо взяти іншу (для даного прикладу 5 або 9) то розв'язок прийме компактніший вигляд.
Розглянемо обидва методи.
1. Прологарифмуємо обидві частини показникового рівняння

Розкриваємо дужки та групуємо доданки при невідомих. Вкінці виражаємо шукану веичину
розв'язування

Отакий цікавий результат.

2. Прологарифмуємо обидві частини рівності за основою 9
розв'язування
Групуючи доданки, що містять змінну, отримаємо

розв'язок
Обидва методи достатньо швидкі та ефективні. Відповіді хоч і не подібні, проте на інженерному калькуляторі чи будь-якому математичному пакеті можете переконатися, що вони рівні.

Приклад 6. Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. Такого роду завдання розв'язують за наступною схемою. Показникове рівняння перетворюють до наступного вигляду
перетворення
Усі доданки розділяємо на величину , щоб звести до дробового вигляду
перетворення
Після цього виконуємо заміну змінних
заміна
Далі Ви можете повправлятися самостійно. Якщо не маєте можливості, то перетворємо за наведеною вище схемою

Множимо на змінну та розв'язуємо квадратне рівняння відносно нової змінної
квадратне рівняння
дискримінант, знаходження
Дискримінант приймає нульове значення, отже корені рівняння співпадають
корені рівняння
Повертаємося до заміни та розв'язуємо простеньке показникове рівняння
розв'язування
розв'язок
Хто не згідний, що дане рівняння просте, можете поставити "лайк" вкінці уроку.
Отримали єдиний розв'язок x=2.
Використовуйте наведену схему до подібних завдань і гарантовано отримаєте вірний результат.

Приклад 7. Розв'язати рівняння
показникове рівняння, приклад

Розв'язок. На перший погляд рівняння досить складне і невідомо як його спрощувати, проте схема розв'язування даного прикладу та йому подібних досить проста та зрозуміла.
Виконаємо над рівнянням перетворення показників

Далі необхідно показникову залежність перетворити до квадратного рівняння



Повірте, що таке побачити по умові і виконати дуже важко для початківця, але з практикою Ви навчитеся розрізняти рівняння і яку підстановку слід застосовувати.
Виконаємо заміну змінних заміна
та переписуємо рівняння у вигляді
квадратне рівняння
Обчислюємо дискримінант вадратного рівняння
дискримінант, обчислення
та корені рівняня
корені рівняння
Повертаємося до зробленої заміни та знову отримуємо показникове

Ох і приклад дістався. Одні показникові рівняння розв'язуються через інші.
Отримане рівняння зводимо до квадратного, виконавши заміну заміна
В результаті прийдемо до квадратичної залежності

Розв'язуємо через дискримінант
дискримінант, обчислення

Повертаємося до заміни і визначаємо змінну x знову ж таки - з показникового рівняння (логарифмуванням)
розв'язування
Друге значення розглядати не будемо, оскільки воно від'ємне, а показникова функція всюди додатна.
Не забуваємо, що в нас є ще один корінь рівняння, який може внести свій вклад в кінцеву відповідь.
Розв'язуємо другу половину завдання

Використовуючи попередню заміну, отримаємо

Через дискримінант
дискримінант, обчислення
знаходимо корені рівняння
корені рівняння
Перший корінь має зміст, другий – від'ємний і не підходить.
розв'язування
Отримали два розв'язки показникового рівняння
розв'язок
Отаке чудернацьке рівняння можуть придумати математии, щоб завалити Вас на тестах чи екзаменах.
Тож ставтися до на вчан ня відповідально і вдосконалюйте знання від простих до складних завдань.

Переглянути схожі матеріали:

Добре розберіться з наведеними методами розв'язування показникових рівнянь, можливо деякі з них стануть в нагоді при проходженні ЗНО, екзамені чи контрольній роботі.