- 1. Метод Бернуллі. Рівняння Бернуллі
- (Диференціальні рівняння)
- ... бачити чи дійсно Ви зрозуміли схему Бернуллі та чи зможете її самостійно повторити на практичних. Приклад 6. Знайти розв'язок задачі Коші для диференціального рівняння Розв'язування: Бачимо, що рівняння відносно y(x) є нелінійним, тоді як перехід до x(y) перетворює його на лінійне неоднорідне ...
- Створено 23 липня 2022
- 2. Класифікація диф. р-нь першого порядку та приклади
- (Диференціальні рівняння)
- ... розділяємо змінні та інтегруємо Не забувайте, що невизначений інтеграл рівний значенню інтегралу + стала С. Приклад 3. Розв'язати задачу Коші y'=cos(x), y(0)=π. Розв'язування: Інтегруємо найпростіше ДР першого порядку. Записуємо y=sin(x)+C - загальний розв'язок ДР. Обчислимо розв'язок задачі ...
- Створено 14 липня 2022
- 3. Інтегральна ознака Коші+Приклади
- (Ряди)
- Інтегральна ознака Коші-Макларена: нехай загальний член ряду f(n) є монотонною, додатною спадною функцією від номера на проміжку [1,+∞). Тоді ряд f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+… збігається, якщо збіжний невластивий інтеграл <∞ і розбігається, якщо інтеграл прямує до безмежності →∞. На практиці ...
- Створено 24 липня 2021
- 4. Радикальна ознака Коші +Приклади
- (Ряди)
- Теорема 1 (радикальна ознака Коші): Якщо для ряду з додатними членами un>0 існує границя Тоді: при A<1 ряд збігається; при A>1 ряд розбігається; при A=1 питання про збіжність ряду ознака не вирішує. Це маєте запам'ятати, оскільки на значення границі Коші базуються висновки про збіжність ...
- Створено 23 липня 2021
- 5. Дослідити на збіжність ряд. Приклади
- (Ряди)
- ... 7/3. Приклад 6. Дослідити збіжність ряду Розв'язування: Якщо бачите, що ряд має вигляд дробу піднесеного в певному степені, що залежить від n, то можете сміло використовувати радикальну ознаку Коші: Якщо границя менша одиниці, то ряд збіжний. В нас границя 9/16 менша одиниці, тому ряд ...
- Створено 22 липня 2021
- 6. Область збіжності степеневого ряду
- (Ряди)
- ... Більше теорії про радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів Ви можете ознайомитися за посиланням. Нижче приведені формули радіуса збіжності ряду за ознакою Д'Аламбера та радикальною ознакою Коші. Переходимо до практичних та детально пройдемо алгоритм знаходження радіуса степеневого ряду, ...
- Створено 22 липня 2021
- 7. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність
- (Ряди)
- ... то ряд збігається Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність Теорема (Коші): Якщо ряд із модулів членів ряду збіжний |un|, то знакозмінний ряд також збіжний. Означення 1: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд складений із модулів членів знакозмінного ряду ...
- Створено 05 липня 2021
- 8. Розв'язок диференціальних рівнянь в Мейпл
- (Диференціальні рівняння)
- Для розв'язування диференціальних рівнянь (ДР) будь-якого типу, систем ДР, задоволення умов Коші доцільно знати та користуватися математичними пакетами. У ВУЗ-ах цьому приділяють не мало часу, а от на роботах без знання математичних пакетів при сучасному розвитку обчислень не обійтися. Далі піде мова ...
- Створено 16 квітня 2021
- 9. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... що корені характеристичного рівняння є однакові дійсні числа (k1=k2=α), тому загальний розв'язок диференціального рівняння записуємо у вигляді: , тобто де C1, C2 – довільні сталі, які уточнюємо з умови Коші: Підставимо початкові умови y(0)=5/6, y'(0)=25/36 у загальний розв'язок ДР: отримаємо ...
- Створено 17 грудня 2020
- 10. Диференціальні рівняння. Практикум
- (Диференціальні рівняння)
- ... y=C1cos(5x)+C2sin(5x) Задовільнимо умову Коші та знайдемо сталі С1, С2 y(0)=C1=1; C1=1. y'(0)=5C2=6; C2=6/5. Таким чином розв'язок задачі Коші вигляд Завдання 3 Знайти частинний розв'язок лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, що задовільняє ...
- Створено 01 березня 2017
- 11. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- (Диференціальні рівняння)
- ... в початкове рівняння підтверджує, що x=0 є особливим розв'язком ДР. Отже і x=0 - загальний інтеграл диференціального рівняння. Приклад 1.26 Розв'язати задачу Коші для диференціального рівняння y'=3y2/3, y(2)=0. Розв'язання: Розписуємо похідну функції та відокремлюємо змінні. Далі застосовуємо ...
- Створено 05 листопада 2016
- 12. Контрольна робота з диференціальних рівнянь
- (Диференціальні рівняння)
- ... диференціалах та відокремлюємо змінні Це є загальний інтеграл диф. рівняння, записаний в неявному вигляді. Виразимо із нього саму функцію y Лишилося задовільнити умову Коші Таким чином, частинний розв'язок ДР рівний Приклад 2. Розв'язати диференціальне рівняння (ДР) Обчислення: Розділимо ...
- Створено 12 березня 2016
- 13. Готові відповіді з диференціальних рівнянь
- (Диференціальні рівняння)
- ... готові відповіді з ДР, які не увійшли в попередню статтю. Приклад 7. (7.22) Знайти інтегруючий множник та розв'язати задачу Коші Розв'язання: Запишемо ДР у диференціалах Перевіримо чи виконується умова на повний диференціал. Позначимо та обчислимо часткові похідні З їх значень робимо ...
- Створено 10 вересня 2015
- 14. Диференціальні рівняння. Приклади
- (Диференціальні рівняння)
- ... та аргумент. Приклад 4. (4.6) Знайти розв'язок задачі Коші: Розв'язання: Задано неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Запишемо та проінтегруємо відповідне однорідне рівняння (ліва частина): Схема обчислень тут використана стандартна – розділили змінні та про інтегрували ...
- Створено 10 вересня 2015
- 15. Обчислення неоднорідних диференціальних рівнянь другого, третього порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... з урахуванням A, B прийме вигляд Щоб записати формулу загального розв'язку диференціального рівняння до знайденої функції додаємо інтеграл однорідного рівняння У випадку задачі Коші сталі C1, C2 знаходимо з умови рівності функції та її похідної певним значенням в початковій точці Звідси маємо ...
- Створено 10 вересня 2015
- 16. Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... Отож, запишемо частковий розв'язок заданого диференціального рівняння: y*=1,5x3e-3x. Запишемо загальний розв'язок заданого диференціального рівняння (): де C1, C2 – довільні сталі. Розв'яжемо задачу Коші, для цього підставимо початкові умови y(0)=2, y'(0)=1 у загальний розв'язок ДР: ...
- Створено 08 вересня 2015
- 17. Неоднорідні диференціальні рівняння третього порядку. Експонента
- (Диференціальні рівняння)
- ... рівняння знаходимо сумуванням функцій Тут С1, С2, С3 – сталі, що приймають довільні значення. Довизначити їх можемо лише за наявності умови Коші для розв'язку. Тепер Ви знаєте, як розв'язати неоднорідне диференціальне рівняння такого виду. Приклад 2. (10.22) Знайти загальний розв'язок диференціального ...
- Створено 08 вересня 2015
- 18. Неоднорідне диференціальне рівняння 4 порядку. Характеристичне рівняння
- (Диференціальні рівняння)
- ... формулою Загальний розв'язок диференціального рівняння рівний сумі знайдених функцій тут С1-С4 - довільні константи, які можна уточнити, якщо рівняння має умову Коші. Приклад 2. (9.23) Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння Розв'язання: Розв'язок неоднорідного диференціального ...
- Створено 08 вересня 2015
- 19. Неоднорідне диференціальне рівняння третього порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... x: Стала рівна -1/2, а розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд . Загальний розв'язок диференціального рівняння записуємо у вигляді суми знайдених де C1, C2, C3- довільні константи, які можна уточнити з задачі Коші. Приклад 3. (8.20) Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння: ...
- Створено 04 вересня 2015
- 20. Інтегруючий множник. Рівняння в повних диференціалах. Задача Коші
- (Диференціальні рівняння)
- ... тому розглянемо завдання з контрольної на яких Ви побачите суть всіх наведених вище формул. Приклади задавали в Львівському національному університеті ім. І. Франа, тому хто там вчиться готові відповіді зацінять.. Рівняння в повних диференціалах. Задача Коші. Приклад 1. (7.15) Знайти розв'язок задачі ...
- Створено 04 вересня 2015
- 21. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод Бернуллі
- (Диференціальні рівняння)
- ... и u'*v(х)=g(x) відносно u(x). З цього рівняння знаходимо u=u(x)+С. 6. Маючи u=u(x) та v=v(x), знаходимо загальний розв'язок через добуток y=u*v=( u(x)+С)* v(x). 7. Якщо задана задача Коші, то з додаткової умови на розв'язок y(x0)=y0 довизначаємо константу С. Приклад 1. (5.13) Знайти розв'язок зада ...
- Створено 03 вересня 2015
- 22. Неоднорідні диференціальні рівняння. Задача Коші
- (Диференціальні рівняння)
- Неоднорідні диференціальні рівяння (ДР) обчислюють за трошки довшою процедурою ніж однорідні, крім однорідного розв'язку необхідно встановити частковий розв'язок неоднорідного ДР. На практиці це відображається в розв'язуванні двох різних по схемі обчислень ДР. Якщо ще маємо умову Коші, то вкінці всіх ...
- Створено 03 вересня 2015
- 23. Однорідні диференціальні рівняння. Приклади
- (Диференціальні рівняння)
- ... y=z*x, тому z= y/х, і отримаємо загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння. 5.Якщо задано початкову умову y(x0)=y0, то знаходимо частинний розв'язок задачі Коші. В теорії все звучить легко, протее на практиці не у всіх так весело виходить рішати диф. рівняння. Тому для поглиблення ...
- Створено 03 вересня 2015
- 24. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними та звідні до них
- (Диференціальні рівняння)
- ... рівняння в диференціалах, розділимо змінні та проінтегруємо диференціальне рівняння Остання формула є загальним розв'язком ДР. Розв'яжемо задачу Коші, тобто підставимо початкову умову y(2π)=6 в загальний розв'язок ДР: , звідси C=9. Остаточно, розв'язок задачі Коші: частинний розв'язок рівняння. ...
- Створено 03 вересня 2015
- 25. Диференціальні рівняння. Основні поняття
- (Диференціальні рівняння)
- ... і відповідної кількості початкових умов називається задачею Коші. F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 y(x0)=y0; …. yn(x0)=yn(0) Звичайним диференцiальним рiвнянням першого порядку називається рiвняння вигляду F(x, y, y')=0. (1) Iнтегралом рiвняння (1) називається cпiввiдношення вигляду Φ(x, y)=0, якщо кожна ...
- Створено 03 вересня 2015
- 26. Числові ряди з додатніми членами. Достатні ознаки збіжності
- (Ряди)
- ... k=0<1. 3) Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера Бачимо, що ряд збіжний, оскільки границя менша за одиницю Радикальна ознака Коші Якщо для ряду Un= з додатними членами існує границя кореня n-го порядку limit=k то при k<1 ряд збіжний, а при k>1 - розбіжний. При k=1 потрібно ...
- Створено 08 липня 2015
- 27. Знакозмінні та знакопочергові числові ряди. Ознака збіжності Лейбніца
- (Ряди)
- ... а також кожен наступний член по модулю менший за попередній Знайдемо границю загального члену ряду За ознакою Лейбніца ряд збіжний. Перевіримо ряд складений з модулів членів на абсолютну збіжність. Застосуємо ознаку Даламбера Дана ознака відповіді не дає. Застосуємо інтегральну ознаку Коші ...
- Створено 08 липня 2015
- 28. Функціональний ряд. Ознака Вейєрштраса. Обчислення радіуса збіжності степеневих рядів
- (Ряди)
- ... поведінку наступних рядів щоб дати відповідь на питання про збіжність ряду на краях знайденого інтервалу. Перший ряд – знакопочерговий. За ознакою Лейбніца ряд збігається. Другий ряд перевіримо за інтегральною ознакою Коші Даний ряд розбіжний, границя рівна безмежності. Таким чином інтервалом ...
- Створено 08 липня 2015