Числові ряди з додатніми членами. Достатні ознаки збіжності

Ряд вигляду
називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні
Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з додатними членами


Для них виконуються наступні твердження:
1. Якщо члени ряду U_n не більші відповідних членів V_n збіжного ряду (), то ряд U_n = збігається.

Якщо кожний член ряду більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду , то цей ряд розбігається.

Дослідження збіжності ряду

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряди

1)

Розв'язок. Порівняємо заданий ряд

з рядом геометричної прогресії, знаменник якої рівний q=1/3

Кожен член першого ряду менший за відповідний член ряду геометричної прогресії, який збігається, оскільки q=1/3<1

За ознакою порівняння перший ряд збіжний.

2)

Розв'язок. Члени даного ряду порівнюємо з відповідними гармонічного ряду. Для довільного n>1 виконується нерівність

Так як гармонічний ряд розбіжний, то відповідно до ознаки порівняння заданий ряд також розбіжний. Ознака порівняння - це найпростіша з ознак, які дозволяють швидко встановити збіжність ряду.

Гранична ознака порівняння

Нехай ряди Un=та Vn= додатні, а також існує скінчена границя їх частки limit=k

причому k відмінне від нуля число , тоді обидва ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язок. Для порівняння виберемо ряд збіжної геометричної прогресії. Застосовуючи граничну ознаку, обчислюємо границю

Оскільки обидва ряди ведуть себе рівносильно k=1/3, а геометричний ряд збіжний, то і розглянутий ряд також збіжний.

Ознака Даламбера

Нехай члени ряду U_n

додатні і відношення n+1-го члену до попереднього n-го має скінченну границю при номері прямуючому до безмежності

В залежності від значення границі (k) робимо висновки про збіжність чи розбіжність ряду

• Якщо k<1, то ряд збігається.
• Якщо k>1 - ряд розбігається.
• При k=1треба застосовувати іншу ознаку збіжності, оскільки дана ознака не може визначити чи збіжний ряд чи розбіжний.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряди

1)

Розв'язок. Знайдемо границю n+1 члена ряду до n-го при

Оскільки границя k=1/2<1, то ряд збіжний.

2)

Розв'язок.Обчислимо границю частки загального члена ряду до попереднього

Ряд збіжний, так як границя менша одиниці k=0<1.

3)

Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера

Бачимо, що ряд збіжний, оскільки границя менша за одиницю

Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду U_n= з додатними членами існує границя кореня n-го порядку limit=k

то при k<1 ряд збіжний, а при k>1 - розбіжний.

При k=1 потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряди

1)

Розв'язок. Застосуємо радикальну ознаку Коші та обчислюємо границю

Ряд збіжний, оскільки отримали k=2/3<1.

2)

Розв'язок. Обчислимо границю кореня з загального члена ряду

Вона рівна нулю, отже робимо висновок про збіжність ряду.

Інтегральна ознака Коші

Нехай задано ряд

причому f(x) додатна, неперервна і монотонно спадна функція від .
Тоді ряд
(1) збіжний, якщо невластивий інтеграл
збіжний (приймає скінченне значення);

(2) ряд розбіжний, коли інтеграл розбіжний. Під збіжністю інтегралу слід розуміти його обмеженість, тобто

Розглянемо приклади застосування інтегральної ознаки Коші.

Приклад 5. Дослідити на збіжність

1)

Розв'язок. Застосуємо інтегральну ознаку Коші (знаходимо інтеграл)


Ряд збіжний, оскільки інтеграл збіжний (=0,1468).

2)

Розв'язок. Знайдемо означений інтеграл від загального члена ряду

Він рівний безмежності, а це значить, що за інтегральною ознакою Коші ряд розбіжний.

3)

Розв'язок. Обчислимо інтеграл, для цього виконаємо заміну змінних в підінтегральній функції. В результаті отримаємо арктангенс половини аргументу, який у межах інтегрування приймає скінченне значення


Даний ряд збіжний, оскільки Integral=0,5532.
Виористовуйте наведені ознаки збіжності рядів, аналізуйте самостійно ряди і з часом Ви почнете їх розрізняти інтуітивно.