Для розв'язування диференціальних рівнянь (ДР) будь-якого типу, систем ДР, задоволення умов Коші доцільно знати та користуватися математичними пакетами. У ВУЗ-ах цьому приділяють не мало часу, а от на роботах без знання математичних пакетів при сучасному розвитку обчислень не обійтися.
Далі піде мова про синтаксис команд Maple для розв'язування ДР.
Перш за все ви повинні запам'ятати, що y'=dy/dх та похідні за параметром і .т.д. в мейплі вводяться командою:
diff(y(x),x), diff(y(t),t).
Нехай потрібно обчислити ДР виду y'=3e^(-x).
для цього спершу його вводимо як рівняння
eq1:=diff(y(x),x)=3*exp(-x).
Для розв'язування ДР в мейплі відповідає функція dsolve().
Розв'язок ДР можна отримати командою
dsolve(eq1).
Для систем рівнянь запис аналогічний, але про нього піде мова в ході обчислень ДР.
Далі наведені розв'язки практикуму з диференціальних рівнянь, отримані аналітично за допомогою теоретичних знань та на основі команд пакету Maple.
Приклад 1.1 Розв'яжіть диференціальне рівняння (ДР) з відокремлюваними змінними
Розв'язування: На методиці в поясненнях зупинятися будемо мало, лише коротко опишемо хід обчислень.
Розділяємо змінні в ДР, а далі за допомогою заміни змінних виконуємо інтегрування диференціального рівняння:
Для інтегрування диференціального р-ня двічі застосовували заміну змінних. Наведений спосіб та інтегрування частинами є досить поширеними при розв'язуванні диференціальних рівнянь. Відповідні заміни виділені в формулах фігурними скобками та забарвлені в чорний.
Для перевірки виконаємо обчислення в Мейпл:
Проаналізувавши відповіді бачимо, що розв'язки співпадають.
Приклад 1.2 Розв'яжіть однорідне диференціальне рівняння
2xy•dy=(x^2-y^2)•dx.
Розв'язування: Перетворимо рівняння, перенісши dx до dy:
dy/dx=(x^2-y^2)/(2xy).
Вводимо заміну y=x*u , dy/dx=u+du/dx та підставимо у рівняння
Проінтегруємо обидві частини
Повертаємося до заміни y=u*x, u=y/x
Розв'язування заданого диф.рівняння в мейплі дозволяє знайти явний вигляд y(x).
Погодьтеся, що для задачі Коші розв'язок в мейплі підходить краще. З умов легше знайти сталу С1.
Приклад 1.3 Розв'яжіть лінійні неоднорідне диференціальне рівняння y'•sin(x)-y•cos(x)=cos^2(x).
Розв'язування: Подамо функцію y(x) вигляді добутку
y=u•v, тоді y'=u'v+uv'.
Підставимо в диф. рівняння
Далі прирівняємо вираз в дужках (виділено червоним) до нуля та розв'яжемо відповідне ДР, звідне до р-ня з відокремленими змінними:
Підставимо розв'язок v=sin(x) в рівняння, що залишиться, коли прийняти дужу =0, та проінтегруємо:
Запишемо розв'язок неоднорідного ДР:
y=u•v=(-ctg(x)-x+C)•sinx.
Розв'язок ДР в мейплі має вигляд
Бачимо, що результати обчислень рівні між собою з точністю до групування доданків.
Можна ще спростити, якщо врахувати, що ctg(x)•sinx=cos(x) або sin(x)/tan(x)=cos(x).
Приклад 1.4 Розв'яжіть рівняння Бернуллі
x•y'+2y=y^2•ln(x).
Розв'язування:Розділимо обидві частини рівняння Бернуллі на y^2:
Зробимо заміну змінних z=1/y, z'=-y'/y^2 та підставимо у рівняння:
-xz'+2z=ln(x).
За схемою Бернуллі розв'язок рівняння шукаємо у вигляді
z=u(x)*v(x), (1) z'=u'v+uv'.
Підставимо у рівняння
-x(u'v+uv')+2uv=ln(x),
-xu'v+u(-xv'+2v)=ln(x). (1)
Прирівняємо ДР в дужках до нуля
-xv'+2v=0
та обчислимо його:
Підставимо інтеграл v=x2 в ДР (1), якщо -xv'+2v=0:
-xu'x^2=ln(x)
розділимо змінні та проінтегруємо
(2)
Правий інтеграл знаходимо інтегруванням частинами за правилом
int(u•dv)=u•v-int(v•du).
Відповідні заміни проаналізуйте самостійно з формул в фігурних скобках
Підставляємо результат в (2), а далі отриманий розв'язок в (1).
Інтегрування диференціального рівняння в Мейплі дає наступний розв'язок ДР
Приклад 2.1 Проінтегруйте рівняння другого порядку
y''√(1-x^2)=1
Розв'язування: Розділяємо змінні та повторним інтегруванням обчислюємо розв'язок ДР другого порядку
Перевіримо правильність обчислень за допомогою сервісу wolframalpha.
Вводимо диференціальне рівняння y''*sqrt(1-x^2)=1, при обчисленні нам видає, що маємо справу з рівнянням Коші-Ейлера та сам розв'язок
Тут функція sin-1(x)=arcsin(x) - обернена тригонометрична функція синуса, тобто арксинус. Бачимо, що розв'язок отримали коректний.
Приклад 2.2 y''sin(x)-y'cos(x)=sin(x).
Розв'язування: Обчислимо дане рівняння з допомогою онлайн сервісу - сайту wolframalpha.
Для цього достатньо ввести рівняння, так як воно задане в умові, тільки між похідними функції та синусами, косинусами поставити знак множення «*».
y''*sin(x)-y'*cos(x)=sin(x).
В результаті обчислень отримаємо
Результати з Мейпла не тішать, оскільки при розв'язуванні ДР не отримали читабельного розв'язку.
Насправді це той самий розв'язок, тільки представлений в комплексному вигляді.
Приклад 3.1 Знайдіть загальний розв'язок однорідного лінійного диференціального рівняння:
a) 4y''+4y'+5y=0
Розв'язування:Для обчислення в мейплі записуємо ДР
eq1 := diff(diff(y(x), x), x)+4*(diff(y(x), x))+5*y(x) = 0
та розв'язуємо ДР за допомогою dsolve():
dsolve(eq1);
Розв'язок ДР має вигляд
b) y''+8y'+16y=0.
Тут те саме рівняння, тільки множники інші. Аналогічно отримаємо інтеграл диференціального рівняння
Приклад 3.3 Знайдіть загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння з правою частиною спеціального вигляду: y''+3y'-2y=2x•e^x.
Розв'язування:Записуємо ДР в мейплі
eq1 := diff(diff(y(x), x), x)+3*(diff(y(x), x))-2*y(x) = 2*x*exp(x);
та обчислюємо його функцією dsolve(eq1).
Фрагмент Мейпла з потрібним кодом наведено нижче
Можна зразу записати ДР всередину функції, але по аналогії з ООП Вас вчать, що є об'єкти і є методи над ними, тому ми спершу записуємо ДР, а далі знаходимо його розв'язок.
Ми вчимо Вас правил набору формул, так будете контролювати помилки та знати, що все виконано правильно.
Приклад 3.4 Розв'яжіть задачу Коші для диф. р-ня другого порядку:
y''+2y'-2y=3x-2,y(0)=-2, y'(0)=2.
Розв'язування: Складаємо характеристичне рівняння
k^2+2k-2=0,
D=2^2-4*1*(-2)=12=(2√3)^2,
k1=1+√3, k2=1-√3.
Загальний розв'язок однорідного рівняння
y1=e(1+√3)x, y2=e(1-√3)x
y=C1e(1+√3)x+C2e(1-√3)x.
Знайдемо частинний розв'язок y* неоднорідного диференціального рівняння.
Оскільки права частина має вигляд Pn(x)=3x-2 поліному першого степеня, то частинний розв'язок шукаємо у тому ж вигляді:
y*=Ax+B.
Знайдемо похідні першого та другого прядку
y*'=A, y*''=0.
та підставимо у ДР
0+2A-2(Ax+B)=3x-2.
Звідси
-2A=3, A=-3/2;
2A-2B=-2,
2B=2+2*(-3/2)=-1,
B=-1/2.
Частинний р-зок диференціального рівняння
y*=-3/2*x-1/2.
Випишемо загальний розв'язок ДР
y=C1e(1+√3)x+C2e(1-√3)x-3/2*x-1/2.
Виконаємо розв'язування ДР в математичному пакеті Мейпл
Бачимо, що розв'язки співпадають.
Задовільнимо умову Коші
y(0)=-2, y'(0)=2.
y(0)=C1+C2-1/2=-2,
y'(0)=C1*(1+√3)+C2*(1-√3)-3/2=2.
Після обчислення системи рівнянь, отримаємо
Записуємо розв'язок задачі Коші
Диференціальне рівняння з умовою Коші можна розв'язати в Мейплі, але про це піде мова на окремому уроці.
Приклад 3.5 Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод Лагранжа
y''+2y'-3y=e^x•ln(x^2+4)
Розв'язування: Поки Ви самостійно розписуєте ДР методом Лагранжа, отримаємо його в інший спосіб.
Спершу за допомогою сайту wolframalpha
Розв'язок громіздкий, до того ж у знаменниках всюди маємо різницю квадратів (√3-2)(√3+2)=3-4=-1, яку можна спростити, але цього не було зроблено.
Розв'язок заданого лінійного диференціального рівняння 2 порядку в Мейпл має вигляд
eq1 := diff(diff(y(x), x), x)+2*(diff(y(x), x))-3*y(x) = exp(x)*log(x^2+4)
dsolve(eq1)
Запис компактніший, можливо його можна спростити, але для цього потрібно знати властивості інтегралу Ei(x).
Приклад 4.1 Розв'яжіть систему диф. р-нь методом виключення.
У кожній системі x=x(t), y=y(t), x'=dx/dt, y'=dy/dt.
x'=2x+y+t-2,
y'=3x+4y+3
Розв'язування:Систему диференціальних рівнянь в мейпл розв'язують подібно, як і одне рівняння.
Записуємо параметричні ДР
eq1:=diff(x(t),t)=2*x(t)+y(t)+t-2;
eq2:=diff(y(t),t)=3* x(t)+4*y(t)+3;
Далі їх обчислюємо як систему
dsolve({eq1, eq2}); або
dsolve({eq1, eq2},{y(t),x(t)});
Розв'язок системи диференцальних рівнянь має вигляд
Приклад 4.2 Розв'яжіть методом Ейлера систему однорідних диференціальних рівнянь
dx/dt=a11x+a12y
dy/dt=a21x+a22y
якщо a11=-5, a12=-3, a21=3, a22=1.
Розв'язування: Для систему однорідних ДР
складаємо характеристичне рівняння
Кореню k=-2 кратності два відповідають розв'язки:
Продиференціюємо функції по t :
Розв'язки x, y, dx/dt, dy/dt підставимо у початкову систему диф. р-нь:
Прирівнюємо коефіцієнти при t та вільні члени:
Приймемо перші 2 невідомі за сталі
α1=С1, β1=С2, тоді α2=-С1-С2/3, β2=-С2.
Загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь
Обчислимо ДР в Мейплі
На цьому урок про застосування Мейпл для розв'язування ДР завершено. Далі навчимо Вас розв'язувати задачу Коші для ДР за допомогою розглянутого математичного пакету.
