На попередньому занятті ми розібрали неоднорідні диференціальні рівняння 3,4 порядку, що в нелінійній частині містили множником експоненту. З цього уроку Ви навчитеся обчислювати неоднорідні ДР, що містять в правій частині тригонометричні функції - синус та косинус. Також розглянемо випадки, коли неоднорідна частина ДР має вигляд добутку експоненти на синус та косинус. Забігаючи вперед можу лише підказати, що це все пов'язано з експонентою, а саме з комплексними показниками експоненти. Якщо проаналізуєте статтю до кінця, то будете знати "Як знайти розв'язок неоднорідного диференціального рівняння з комплексними коренями характеристичного рівняння?". І це ще не складні завдання, наступні уроки міститимуть куди важчі приклади.
Приклад 1. (11.4) Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
Розв'язання: Розв'язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукаємо у вигляді суми кореня однорідного рівняння та часткового розв'язку неоднорідного рівняння 
Для однорідного диф. р-ня (ДР) розв'язок шукаємо у вигляді експоненціальної функції y=exp(k*x). При підстановці у рівняння і спрощенні не експоненту отримаємо наступне характеристичне рівняння
Його корені комплексно спряжені, тому інтегралом однорідного рівняння буде комбінація синус та косинус функції
Далі приступаємо до відшукання часткового розв'язку неоднорідного ДР. Відповідно до правої сторони вихідного рівняння розв'язок шукаємо у вигляді
Обчислюємо другу похідну, що міститься у рівнянні
Далі підставляємо знайдену похідну та значення функції в початкове рівняння
Прирівнюючи множники при синусу та косинусу отримаємо залежності, з яких обчислюємо сталі
Записуємо частковий розв'язок диференціального рівняння, попередньо звівши доданки під спільний знаменник
Ну і не забуваємо все підставити у формулу загального розв'язку диференціального рівняння
тут С1, С2 -сталі, що приймають довільні значення.
Приклад 3,4*. Знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
3 4y''-y=x^3-24x. Маємо неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами, розв'язок якого будемо шукати у вигляді:
Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння:
4y''-y=0.
Складаємо відповідне характеристичне рівняння і шукаємо його корені: 4k2-1=0,
звідси (за теоремою Вієта)
k1=k2=1/2.
Отож загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння має вигляд:
Знайдемо частковий розв'язок заданого диференціального рівняння. Права частина містить вираз x3-24x, тому його розв'язок будемо шукати у вигляді:
y*=Ax^3+bx^2+Dx+E.
Знайдемо похідні І та ІІ порядку функції y* по змінній x: (y*)'=3Ax^2+2B•x+D,
(y*)''=6Ax+2B.
Підставимо y*, (y*)'' у задане диференціальне рівняння:
Прирівняємо коефіцієнти при однакових множниках у двох частинах рівності та з системи рівнянь визначимо невідомі:
Запишемо частковий розв'язок заданого диференціального рівняння:
y*=-x3.
Запишемо розв'язок диференціального рівняння:
де C1, C2 – довільні сталі.
4. y''+2y'+5y=4sin(x).
Маємо неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами, розв'язок якого будемо шукати у вигляді:
Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння:
y''+2y'+5y=0.
Складаємо відповідне характеристичне рівняння і знаходимо його корені:
Загальний розв'язок однорідного ДР має вигляд:
Знайдемо частковий розв'язок диференціального рівняння. Права частина містить вираз 4sin(x), причому число і не є коренем характеристичного рівняння, тому його розв'язок будемо шукати у вигляді:
y*=A•cos(x)+B•sin(x).
Знайдемо похідні І та ІІ порядку функції y* за змінною x:
Підставимо y*, (y*)', (y*)'' у задане диференціальне рівняння:
Прирівняємо коефіцієнти при однакових множниках у двох частинах рівності:
Підставимо А,В в частковий розв'язок заданого диференціального рівняння:
y*=-0,4cos(x)+0,8sin(x).
Запишемо розв'язок ДР:
де C1, C2 – довільні сталі.
Приклад 5*. Знайти частинний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
y''+6y'+9y=9xe^-3x, y(0)=2, y'(0)=1.
Обчислення: Маємо неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами, тому його розв'язок шукаємо у вигляді суми двох:
Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння:
y''+6y'+9y=0.
Складаємо відповідне характеристичне рівняння і шукаємо його корені:
k2+6k+9=0, або (k+3)2=0, звідси k1=k2=-3.
Загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння має вигляд:
Знайдемо частковий розв'язок заданого диференціального рівняння. Права частина містить вираз 9xe-3x, причому число -3 є 2-х кратним коренем характеристичного рівняння, тому його розв'язок будемо шукати у вигляді:
(В дужках стоїть многочлен другого порядку з невизначеними коефіцієнтами A, B, оскільки в правій частині заданого рівняння є саме такий многочлен). Знайдемо похідні І та ІІ порядку функції y* по змінній x (і зразу зведемо подібні доданки):
Підставимо y*, (y*)', (y*)'' у задане диференціальне рівняння (і зразу зведемо подібні доданки):
Прирівняємо коефіцієнти при однакових множниках у двох частинах рівності:
Отож, запишемо частковий розв'язок заданого диференціального рівняння:
y*=1,5x3e-3x.
Запишемо загальний розв'язок заданого диференціального рівняння ():
де C1, C2 – довільні сталі.
Розв'яжемо задачу Коші, для цього підставимо початкові умови
y(0)=2, y'(0)=1
у загальний розв'язок ДР:
Підставляємо їх в y=(2+7x+1,5x3)e-3x - частинний розв'язок рівняння.
Приклад 2. (11.7) Розв'язати диференціальне рівняння
Розв'язання: Маємо неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, причому права сторона містить експоненту помножену на суму косинус і синус функцій. Розв'язок неоднорідних рівнянь завжди шукаємо у вигляді суми двох .
Спершу обчислюємо однорідне диференціальне рівняння, для цього складаємо характеристичне рівняння 
і знаходимо корені 
Оскільки коефіцієнти характеристичного рівняння є різними дійсними числами, то інтеграл однорідного ДР матиме вигляд суми сталих помножених на експоненти у відповідних степенях
Оскільки неоднорідна частина ДР =ex(sin(x)+cos(x) не містить експоненти в степені кореня характеристичного рівняння (0;-2), то частковий розв'язок має простий вигляд
Знайдемо коефіцієнти A і B - для цього підставимо цей вираз у диференціальне рівняння і прирівняємо множнии при sin(x) і cos(x):
Після підставлення похідних та спрощень, отримаємо
Прирівнюючи значення при sin(x), cos(x), отримаємо систему рівнянь відносно сталих А, B
Її не важко розв'язати, оскільки маємо всього два рівняння і дві невідомі. Знайдені значення підставляємо у формулу часткового розв'язку неоднорідного ДР
Загальний розв'язок диференціального рівняння рівний сумі знайдених функцій
де C1, C2 - довільні константи.
Приклад 3.(11.17) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Розв'язання: Розв'язок неоднорідного диф. рівняння шукаємо за класичною схемою. Для однорідного рівняння 2 порядку записуємо характеристичне рівняння і розв'язуємо його
Отримали комплексно спряжені корені характеристичного рівняння. Це новий тип ДР, тому запам'ятайте, що інтеграл однорідного диференціального рівняння в таких випадках виражається через добуток експоненти на синус та косинус функції.
Зауважте, що дійсна частина характеристичного числа є показником експоненти, а уявні значення фігурують в якості аргументів косинус та синус функцій. Запам'ятайте це, бо подібні характеристичні корені поширені в такого роду ДР.
Проаналізуємо тепер, як шукати інтеграл неоднорідного ДР. Щоб при диференціюванні отримати праву частину рівняння e-3xcos(x) частковий розв'язок потрібно шукати у вигляді
Знаходимо першу та другу похідні функції
та підставляємо у початкове диф. рівняння. Після усіх спрощень Ви повинні отримати вираз
З множників при косинусі та синусі формуємо залежності для встановлення констант A=1/3; B=0.
Таким чином отримаємо частковий розв'язок диференціального рівняння
Щоб записати загальний розв'язок диференціального рівняння до знайденого додаємо корінь однорідного рівняння
Приклад 4. Знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами методом невизначених коефіцієнтів.
5 y''+3y'+2y=4x+12.
Обчислення: Маємо неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами, розв'язок якого будемо шукати у вигляді:
Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння:
y''+3y'+2y=0.
Складаємо відповідне характеристичне рівняння і шукаємо його корені: k^2+3k+2=0,
звідси k1=-2, k2=-1.
Підставляємо в загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння:
Знайдемо частковий розв'язок ДР.
Права частина містить вираз 4x+12, причому число 0 не є коренем характеристичного рівняння, тому його розв'язок будемо шукати у вигляді:
y*=Ax+B.
Знайдемо похідні І та ІІ порядку функції y* за змінною x:
(y*)'=A,
(y*)''=0.
Підставимо y*, (y*)' і (y*)'' у задане диференціальне рівняння: 0+3A+2Ax+2B=4x+12,
2A•x+(3A+2B)=4•x+12.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових множниках у двох частинах рівності:
{2A=4, 3A+2B=12},
звідси отримаємо A=2, B=3.
Складемо частковий розв'язок ДР:
y*=2x+3.
Запишемо розв'язок заданого в умові ДР:
де C1 і C2 – довільні сталі.
На цьому і ґрунтується розв'язання всіх ДР такого сорту. Алгоритм обчислень Вам тепер знайомий, як розв'язати неоднорідне диференціальне рівняння наведеного вигляду теж тепер знаєте. Тож для закріплення матеріалу пропонуємо розв'язати самостійно декілька з наступних ДР
