Задачі на трикутник

Посібник для підготовки до ЗНО тестування з МАТЕМАТИКИ

Підручник для 9-11 класів:
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Завантажити (скачати) відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики). Формат: PDF
Зміст: Посібник містить поради щодо проходження ЗНО з математики та взірці тестових завдань. Усі задачі однієї теми розміщені в порядку складності.
Рекомендуємо всім завантажити відповіді до ЗНО та самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

Рік випуску: 2010 р.

Тема 29: Трикутники

Розділ містить 25 прикладів, які охоплюють шкільну програму за 7-9 класи та вимагають добрих знань властивостей трикутників.
Усі формули, що містяться в поясненнях не важкі тому при проходженні ЗНО тестування Ви повинні вміти ними користуватися.
Серед наведених задач багато містять умову на кути трикутника.

Задача 29.1 У трикутнику ABC сторони AB і AC відповідно дорівнюють 6 см і 10 см.
Указати всі можливі значення довжини сторони BC.

Обчислення: Сума двох сторін довільного трикутника завжди більша за третю. Третя сторона довільного трикутника більша за різницю двох інших сторін цього ж трикутника. Отже, AC-AB<BC<AB+BC,
10-6<BC<10+6
4<BC<16
Відповідь: Г.

Задача 29.2 Градусні міри кутів трикутника відносяться як 3:2:10.
Знайти градусну міру найменшого кута трикутника.

Обчислення: Для спрощення розрахунків старайтеся виконувати побудову рисунків до завдань.
В більшості випадків це спрощує розуміння того, що дано і що потрібно знайти.
До геометрії можна застосувати приказку, що добре виконаний рисунок містить половину розв'язку.

Нехай градусна міра однієї частинки кожного кута дорівнює x.
Тоді градусні міри трьох кутів трикутника дорівнюють (за умовою):
3x, 2x і 10x, причому 2x - найменших з них.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
3x+2x+10x=180.
Розв'яжемо отримане рівняння і знайдемо x:
15x=180,
x=180/15=12.
Отож, 2•12=24 - градусна міра найменшого кута трикутника.
Відповідь: 24 – В.

Задача 29.3 Зовнішні кути при двох вершинах трикутника дорівнюють 70 і 150 градусів.
Знайти внутрішній кут при третій вершині.

Обчислення: Побудуємо трикутник за умовою завдання

Сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360 градусів, тому зовнішній кут при третій вершині:
360-(70+150)=140.
Оскільки зовнішній кут суміжний із внутрішнім при одній вершині трикутника, то маємо
180-140=40 - внутрішній кут при третій вершині трикутника.
Відповідь: 40 – А.

Задача 29.4 У трикутнику ABC <A=50, <B=70. Визначити гострий кут, утворений бісектрисами даних кутів.

Обчислення: Нехай AL і BK - бісектриси трикутника ABC, і точка O - точка перетину цих бісектрис.

За теоремою про суму кутів трикутника, знайдемо <AOB:
<AOB=180-(<BAO+<ABO)=180-(25+35)=120.
Знайдемо гострий кут <AOK, утворений бісектрисами AL і BK (шуканий кут є суміжним з <AOB),
<AOK=180-<AOB=180-120=60.
Відповідь: 60⁰– Д.

Задача 29.5 У трикутнику ABC <A=30 і <B=105.
Знайти відношення BC/AB.

Обчислення: За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо <C:
<C=180-(<A+<B)=180-(30+105)=45.

За теоремою синусів маємо:

Відповідь: – Д.

Задача 29.6 У трикутнику ABC AB=sqrt(3) см, AC=2см і <A=30.
Знайти довжину медіани BM.

Обчислення: Оскільки BM - медіана, то маємо AM+MC=1 см.

За теоремою косинусів знайдемо довжину медіани BM:

звідси BM=1см.
Відповідь: 1 – В.

Задача 29.7 O – точка перетину відрізків AD і BC, відрізки AB і CD паралельні.
AB=a, CD=b.
Знайти AO, якщо OD=c.

Обчислення: Розглянемо трикутники: ΔAOB і ΔCOD.

<AOB=<COD (як вертикальні);
<BAO= (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB та CD і січній AD та BC відповідно).
Отже, два трикутники подібні за трьома кутами.
Тому маємо:
AB/CD=AO/OD,
a/b=AO/c, звідси AO=a•c/b.
Відповідь: a•c/b – Д.

Задача 29.8 У трикутнику MNK MN=k, NK=m і MK=n, NL–бісектриса трикутника.
Знайти довжину відрізка ML.

Обчислення: У трикутнику бісектриса розділяє протилежну сторону на відрізки пропорційно до бічних сторін трикутника.

тобто , тут ML=MK-LK, тому, отже

Відповідь: ML=k•n/(m+k) - Г.

Задача 29.9 Відповідні сторони подібних трикутників дорівнюють 14 см і 21 см. Знайти площу меншого трикутника, якщо площа більшого трикутника дорівнює 180 см².

Обчислення: Площі подібних трикутників відносяться як квадрати їх відповідних сторін.
Нехай x см² – площа меншого трикутника, тоді

Тоді x=180•4/9=80 см².
Відповідь: 80 см² – А.

Задача 29.10 Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см. Знайти висоту, проведену до цієї сторони, якщо площа трикутника дорівнює 35 см².

Обчислення: Побудуємо трикутник за умовою

Площа трикутника обчислюється за формулою:

де S=35 см² – площа трикутника,
a=7см–сторона трикутника;
h_a– висота трикутника, що проведена до сторони a.
Тоді h_a=2S/a, звідси h_a=2•35/7=10 (см).
Відповідь: 10 см – Г.

Далі будуть наведені пояснення до 15 задач, які покажуть, як розв'язувати більш складніші задачі на трикутники.