Сьогодні спробуємо навчити Вас на повну використовувати властивості прямого кута в прямокутному та й інших трикутниках, ефективно застосовувати теорему Піфагора, обчислювати кути, катети та гіпотенузу трикутника. Перші дві цифри номеру приклада відповідають номеру розділу в збірнику завдань для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО). За цими номерами можете виконувати пошук будь-яких розв'язків ЗНО на цьому сайті.
А зараз переходимо до готових відповідей на приклади з тестування.

Приклад 30.26 Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною кути, один з яких дорівнює 70 градусів.
Знайти у градусах менший гострий кут трикутника.
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), AL – бісектриса, яка проведена до сторони BC, тоді ∠ALC=70 градусів (за умовою).
Побудуємо рисунок трикутника та бісектриси в ньому
рисунок прямокутного трикутника
У прямокутному ΔALC (∠ACL=90), за теоремою про суму кутів трикутника, знайдемо ∠CAL:
∠CAL=180-∠ACL-∠ALC=180-90-70=20.
За означенням бісектриси AL в трикутнику ΔABC отримаємо:
∠A=2•∠CAL=2•20=40.
У прямокутному ΔABC (∠C=90), за теоремою про суму кутів трикутника, знайдемо ∠B:
∠B=180-∠C-∠A =180-90-40=50
Отже, ∠A=40 – менший гострий кут ΔABC.
Відповідь: 40 градусів.
Приклади на кути трикутника, та й загалом на геометричні фігури слід розв'язувати з побудови допоміжного рисунку (неважна якість, головне намалювати та позначити задані величини); далі виписування, що задано та самого обчислення шуканих величин.
Як тльки навчитеся будувати геометрію, все решта прийде в процесі розв'язування.

Приклад 30.27 Катети прямокутного трикутника відносяться як 2:1, а гіпотенуза дорівнює 5√ 5 см.
Знайти у сантиметрах більший катет.
рисунок прямокутного трикутника
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AB=5√5 см – гіпотенуза, AC, BC – катети, причому
AC:BC=2:1 (за умовою).
Нехай BC=x, тоді AC=2x. За теоремою Піфагора запишемо
AC^2+BC^2=AB^2, (2x)^+x^2=(5√ 5)^2, 5x^2=5•25, x^2=25, x=5
Отже, BC=5 см і AC=2•5=10 см. Отже, AC=10 см – більший катет ΔABC.
Відповідь: 10.

 

Приклад 30.28 Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см, а різниця двох інших його сторін дорівнює 8 см.
Знайти у сантиметрах гіпотенузу.
рисунок прямокутного трикутника
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AC=b=28 см і BC=a – катети, AB=c – гіпотенуза, причому c-a=8 см (за умовою).
Звідси a=c-8.
За теоремою Піфагора запишемо
a^2+b^2=c^2,
(c-8)^2+28^2=c^2,
c^2-16c+64+784=c^2,
16c=848,
c=53.

Отже, AB=c=53 - гіпотенуза ΔABC.
Відповідь: 53.

Приклад 30.30 У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а тангенс прилеглого кута дорівнює 5/6.
Знайти квадрат довжини гіпотенузи.
рисунок прямокутного трикутника   Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AC=b=12 см – прилеглий катет до ∠A і tg(∠A)=5/6 (за умовою).
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо катет BC=a:
tg(∠A)=a/b, звідси a=b•tg(∠A)=12 •5/6=10 см.
За теоремою Піфагора знайдемо квадрат гіпотенузи c^2:
c^2=a^2+b^2=10^2+12^2=100+144=244.
Відповідь: 244.

Приклад 30.31 Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 4 см і 21 см.
Знайти у сантиметрах менший катет.
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого BH=4 см і AH=21 см – проекції катетів BC=a і AC=b, відповідно, на гіпотенузу AB (за умовою).
прямокутний трикутник, рисунок Проведемо висоту CH=h до гіпотенузи AB (AB⊥CH). За властивістю прямокутного трикутника h^2=AH•BH (це виводиться із подібності прямокутних трикутників ABC і CBH):
CH^2=21•4=84.
У прямокутному ΔACH (∠AHC=90), у якого AH=21 см – катет і CH^2=84 квадрат катету, за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AC:
AC^2=AH^2+CH^2=21^2+84=525=(5√21)^2,
звідси AC=5√21≈22,9 см.
У прямокутному ΔBCH (∠BHC=90), у якого BH=4 см – катет і CH^2=84 – квадрат катету, за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу BC:
BC^2=BH^2+CH^2=4^2+84=100=10^2,
звідси BC=10 см – менший катет ΔABC.
Відповідь: 10.

Приклад 30.32 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює √5 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу дорівнює 4 см.
Знайти у сантиметрах гіпотенузу.
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AC=√5 см – катет і BH=4 см – проекція катета BC на гіпотенузу AB (за умовою).
прямокутний трикутник, рисунок Проведемо висоту CH=h до гіпотенузи AB (AB⊥CH).
За властивістю прямокутного трикутника
h^2= AH•BH
(це виводиться із подібності прямокутних трикутників ABC і CBH).
Нехай AH=x - проекція катета AC на гіпотенузу AB, тоді h^2=4x.
У прямокутному ΔACH (∠AHC=90), у якого AH=x і CH=h=2√x – катети, AC=√5 см – гіпотенуза, за теоремою Піфагора запишемо:
AH^2+CH^2=AC^2, x^2+4x=5, x^2+4x-5=0,
за теоремою Вієта, отримаємо
x1=1 і x2=-5<0, звідси AH=1 см.
AB=AH+BH=1+4=5 см – гіпотенуза ΔABC.
Відповідь: 5.

Продовжуємо розбирати готові відповіді із ЗНО підготовки на трикутники.

 

Приклад 30.39 Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси більшого гострого кута з більшим катетом дорівнює d.
Визначити довжину більшого катета й обчислити її, якщо h=7, d=5.
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого CH=h – висота, яка проведена до гіпотенузи AB,
AL
- бісектриса, що проведена до більшого катета BC, тоді CL=d (за умовою).
прямокутний трикутник, рисунок Позначимо ∠A=2alpha, тоді за означенням бісектриси AL, отримаємо ∠CAL=∠BAL=∠A:2=alpha.
У прямокутних трикутників ABC і CBH (∠H=90) кут B - спільний, тому ці трикутники подібні, звідси слідує ∠BCH=∠A=2alpha.
З прямокутного ΔACH (∠H=90) за означенням синуса гострого ∠A=2alpha маємо
 (1).

З прямокутного ΔCBH (∠H=90) за означенням косинуса гострого ∠BCH=2alpha маємо
 (2).
З прямокутного ΔACL (∠C=90) за означенням тангенса гострого ∠CAL=alpha маємо
 (3).

Прирівняємо вирази (1) і (3), знайдемо cos(2alpha):
обчислення косинусів
Останню рівність підставимо у вираз (2) і знайдемо довжину більшого катета BC:
обчислення, катет.
Відповідь: 17,5.

 

Приклад 30.40 У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а гіпотенуза – 13.
Знайти квадрат довжини бісектриси трикутника, проведеної з вершини меншого кута.
Розв'язування: Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), у якого AC=12 – катет і AB=13 – гіпотенуза (за умовою).
прямокутний трикутник, рисунок За теоремою Піфагора знайдемо катет BC:
катет трикутника
звідси BC=5
Отже, ∠A буде меншим, оскільки лежить проти меншого катета BC.
Проведемо бісектрису AL до сторони BC, тоді BC=BL+CL.
За властивістю бісектриси трикутника отримаємо:
BL:CL=AB:AC.
Нехай BL=13x, тоді CL=12x і 13x+12x=5, звідси
25x=5,
x=0,2
.
Отже, CL=12•0,2=2,4 і BL=2,6.
У прямокутному ΔALC (∠C=90), у якого AC=12 і CL=2,4 – катети, за теоремою Піфагора, знайдемо квадрат гіпотенузи AL – квадрат бісектриси прямокутного ΔABC:
AL^2=AC^2+CL^2=12^2+(2,4)^2=144+5,76=149,76.
Відповідь: 149,76.

 

Приклад 30.41 Від високої тополі падає тінь завдовжки 9 м, а від вертикальної жердини завдовжки 2 м - тінь завдовжки 1,2 м.
Знайти висоту тополі.
Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі:
вважаємо, що тополя струнка і росте вертикально вгору, тоді тополю замінимо на відрізок AC, промінь сонця - на відрізок AB, а тінь тополі - на відрізок BC.
прямокутний трикутник, рисунок
Отримали прямокутний трикутник ABC (∠C =90), у якого AC і BC=9 м – катети і AB – гіпотенуза.
Вертикальну жердину замінимо на відрізок MN, а її тінь - на відрізок BN.
Отримали прямокутний трикутник MBN (∠N=90), у якого MN=2 м і BN=1,2 м – катети і MB – гіпотенуза.
Оскільки в даний момент часу промені сонця падають під одним кутом, то ∠B – спільний у ΔABC і ΔMBN, звідси слідує, що ці прямокутні трикутники подібні.
У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні, тому
висота трикутника
Отже, AC=15 м - висота тополі.
Відповідь: 15.

Далі розв'язки задач на знаходження периметра та площі прямокутного трикутника.