Завдання на трикутники вимагають знання багатьох формул, без яких часто важко отримати правильну відповідь.
Тут наведені готові відповіді поширених на практиці прикладів, які вдалося знайти в збірниках тестів та шкільних підручниках. Не розглянутими лишилися важкі задачі, як, наприклад, застосування формули Герона, чи знаходження певних геометричних розмірів. В скорому часі і вони будуть детально розписані та пояснені.

ЗАДАЧА 1 Основа рівнобедреного трикутника рівна 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник, якщо проведена до основи висота рівна 16 см.
Розв'язання: З курсу геометрії відомо, що радіус вписаного у трикутник кола рівний відношенню його площі до півпериметра. Залишилося знайти значення останніх двох величин.

Площа трикутника за найпоширенішою формулою рівна половині добутку основи на висоту, проведеної до неї. Виконуємо обчислення
S= 24*16/2=192 (кв. см.)
Для визначення периметру нам потрібно відшукати довжину бічної сторони.
У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи в, є бісектрисою і медіаною.
За теоремою Піфагора знаходимо бічну сторону трикутника
b=sqrt(16^2+(24/2)^2)=20 (cм)
Периметр - сума всіх сторін
P= 2*20+24=64 (см)
Знаходимо радіус вписаного в трикутник кола за формулою
r=S/(2*P)=192/(64/2)=192/32=6 (см).

ЗАДАЧА 2 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см бічна сторона 13 см. Обчисліть площу трикутника?
Розв'язання: Площа рівна пів добутку основи на висоту.

Основа нам відома, висоту знаходимо за теоремою Піфагора
h=√(b²-a²/4)= √(169-144)=5 (см).
Далі обчислюємо площу
S=a*h/2=24*5/2=60 (см. кв.)

 

ЗАДАЧА 3 З чотирьох рівних правильних трикутників склали трикутник. Обчисліть площу трикутника DЕF, якщо периметр трикутника АВС дорівнює 24 см.

Розв'язання: Під правильним завжди розуміють рівносторонній трикутник.
Розділимо відомий периметр на трійку.
a=24/3=8 (см).
Так ми матимемо сторону великого трикутника. Далі є два шляхи, або шукати сторону малого трикутника і його площу. Або знайти площу великого трикутника і, за умовою, розділити на 4. Розглянемо другий варіант.
Висота трикутника за Піфагором рівна
h=√(8^2-4^2)=4√3 (см).
Знайдемо площу трикутника
S=8*4√3/2=16√3 (см. кв.).
Розділивши отримане значення на 4 дістанемо шукану площу трикутника
S1=4√3 (см. кв.)
Така відповідь відповідає першому номеру (а) тестових варіантів.

 

ЗАДАЧА 4 Діагональ, бічна сторона і більша основа рівнобедреної трапеції дорівнюють відповідно 40см, 13 см і 51 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.
Розв'язання: Есть фрмулы радиуса описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали:
R = adc/4√p(p-a)(p-d)(p-c),
где a - боковая сторона, d- диагональ, с - большее основание.
p = (a+d+c)/2 = 52.
R = 26520/(4*√52*39*12*1) = 6630/√24336 = 6630/156 = 42,5
см.

 

ЗАДАЧА 5 Периметр рівнобедреного трикутника 64 см, а бічна сторона на 11 см більша від його основи. Знайдіть висоту трикутника, опущену на бічну сторону.
а) 13,66 см; б) 13,4 см; в. 13,44 см; г) 15,44 см.
Розв'язання: Складемо рівняння до умови.

Позначимо основу через Х, тоді бічна сторона – Х+11.
Запишемо формулу периметру трикутника
P=2(X+11)+X=3*X+11.
З іншої сторони периметр рівний 64 см. Отримаємо рівняння
3*Х+22=64 (см.);
Х=(64-22)/3=14 (см.)

Бічна сторона рівна
X+11=25 см.
Знайдемо висоту
h=√ (25^2-(14/2)^2)=24 (см.)
Тоді площа рівнобедреного трикутника рівна
S=14*24/2=168 (см. кв.)
Таку ж площу отримаємо, якщо затимемо бічну сторону і висоту, проведену до неї
S=h1*25/2=168
Звідси знаходимо висоту
h1=168*2/25=13,44 (см).
Правильний варіант (в).

 

ЗАДАЧА 6 Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 15 см, а висота, проведена до бічної сторони – 24 см. Знайдіть площу цього трикутника.
а) 270 см2; б) 300 см2; в) 310 см2; г) 285 см2.
Розв'язання:Виконуємо схематично побудову до завдання.

Складемо рівняння площі трикутника через відомі висоти.
S=a*24/2=b*15/2.
Звідси маємо відношення для вираження однієї сторони через іншу
b=24/15*a.
Далі за теоремою Піфагора виразимо висоту через бічну сторону і половину основи трикутника
h1=sqrt(a^2-(b/2)^2)=sqrt(a^2-(24*a/15/2)^2)=15 (см.).
Звівши під коренем до спільного знаменниа та виразивши невідому, отримаємо
a=15*30/18=25 (см.)
Далі знаходимо площу трикутника
S=24*25/2=300 (см. кв.)
Правильним є варіант (б).

 

ЗАДАЧА 7 Обчислить площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 20 см, а висота, проведена до основи – 12 см.
а) 192 см2; б) 240 см2; в) 120 см2; г) 96 см2.
Розв'язання:

За Піфагором знаходимо основу рівнобедреного трикутника
h=sqrt(20^2-12^2)=16 (см).
Знаходимо площу
S=16*12/2=96 (см. кв.)
Варіант г) є правильним.

 

Задача 8 Бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола ділиться у відношенні 12 : 25, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо площа трикутника дорівнює 1680 см2.

Розв'язання:

За умовою AD/DB=12/25, S=1680.
Позначимо AD=12x, DB=25x.
З геометрії слідує, що AM=12x, а основа трикутника рівна 24х.
З прямокутного прямокутника виразимо висоту
h^2=x^2((12+25)^2-12^2).
Далі складемо рівняння площі, але для зручності обчислень все помножимо на 2 і піднесемо до квадрату.
(24x)^2*x^2*((12+25)^2-12^2)=(2*1680)^2.
Після обчислень отримаємо, що x=2 см.
Відповідно бічна сторона 37*2=74 см, а основа 24*2=48 см.
Радіус вписаного кола знайдемо розділивши площу трикутника на половину периметру.
P=74*2+48=196 см.
P/2=196/2=98 см.
r=1680/98=120/7=17 і 1/7.

З тестових відповідей правильний варіант (в).

 

Задача 9 На медіані ВD рівнобедреного трикутника АВС позначено точку М так, що ВМ : МD = 3 : 1. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо площа трикутника АМD дорівнює 3см2.
а) 27 см2; б) 24 см2; в) 30 см2; г) 25 см2.
Розв'язання: Багато хто з Вас подумає, що завдання неможливо розвязати і потрібно застосовувати складні формули. Але по великому рахунку маємо приклад на логіку. Побудуємо схематично трикутник і зобразимо відому область.

За простою формулою площа рівна пів добутку основи на висоту.
Якщо розглянути трикутники ABD і AMD то основа в них та сама, а висота відноситься як (3+1):1.
Таким чином площа трик. ABD в 4 рази більша ніж AMD, а цілого рівнобедреного трикутника в два рази більша ніж знайденого прямокутного ABD.
Таким чином, площа S[ABC]=2*4*S[AMD]=8*3=24 см. кв, що відповідає варіанту (б) тестів. Ось такі прості міркування дозволяють розв'язати непросту на перший погляд головоломку.

 

Задача 10 Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 100 см, а висота, опущена на основу, – 30 см. Знайдіть площу трикутника.
а) 480 см2; б) 420 см2; в) 560 см2; г) 460 см2.
Розв'язання: Маємо приклад на складання рівнянь.
Позначимо основу трикутника через a, а бічну сторону b.
Рівняння периметру дає залежність
P=2*b+a=100.
Запишемо формулу квадрату висоти трикутника
b^2-(a/2)^2=30^2.
З периметру виражаємо половину основи і підставяємо в друге рівняння
b^2-(50-b)^2=30^2.
Після спрощень отримаємо 100*b=50^2+30^2 звідси
b=34 см.
а=50- b=16 см.

Маємо основу і висоту, можемо визначити площу трикутника
S=16*30/2=240 (см. кв.)
На подив така відповідь відсутня серед можливих варіантів.

 

Задача 11 У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10см, а висота, що проведена до основи, – 6 см. Знайти площу трикутника.
а) 96 см2; б) 60 см2; в) 48 см2; г) 36 см2.
Розв'язання: Виконуємо допоміжний рисунок до завдання.

Завдання на застосування теореми Піфагора.
Обчислюємо половину основи трикутника
a/2=sqrt(10^2-6^2)=8 см. а=2*8=16 см.
Обчислюємо площу трикутника
S=16*6/2=48 (см. кв.)
Вірною відповіддю на тестах є варіант (в).

 

Задача 12 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки 8 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.
Розв'язання:

З рисунку можемо бачити сам хід обчислень. Спершу знайцдемо висоту, а далі площу.
Гіпотенуза трикутника DBC рівна
2+8=10 см.
Обчислюємо висоту
10^2-2^2=h^2;
h^2=96;
h=4*sqrt(6).

Далі знаходимо площу
S=1/2*10*4√6=20√6 см.

 

Задача 13 Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128 см, а бічна сторона відноситься до основи, як 5:6. Обчислити діаметр вписаного кола.
Розв'язання: Позначимо основу через 6*a, бічну відповідно – 5*a.

Складаємо рівняння периметра
P=2*5*a+6*a=16*a.
Звідси a=128/16=8 см.
Відповідно до параметра основа рівна 6*a=48 см,
сторони трикутника 5*8=40 см.
Знайдемо висоту за відомою формулою
h=sqrt(40^2-24^2)=32 см.
Обчислюємо площу S=48*32/2=768 см. кв.
Радіус вписаного у трикутник кола рівний частці площі до половини периметра
R=768/(128/2)=12 см.

 

Задача 14 Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 160 см, а висота, опущена на основу дорівнює 40см. Знайти всі сторони трикутника.
Розв'язання:

Складаємо два рівняння: висота через теорему Піфагора і периметр.
a+2*b=160;
b^2-(a/2)^2=40^2.

З першого виражаємо a/2 і підставляємо в друге
b^2-(80-b)^2=40^2.
Звідси
160*b=40^2+80^2;
b=50 см.
a=160-2*50=60 см.

Сторони триутника рівні 50, 50, 60 см.

 

Задача 15 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55 см, а його основа дорівнює 66см. Обчислити довжину відрізків, на які ділить бічну сторону бісектриса кута при основі.
Розв'язання: Позначимо через x, y – відрізки, на які ділить бісектриса бічну сторону.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо
55/x=66/y, x=55/66*y.
Друге співвідношення дає умова, що сума відрізків рівна бічній стороні
x+y=55.
При підстановці першого в друге отримаємо
(55/66+1)*y=55.
Звідcи y=30 см, x=55-30=25 см.
На цьому всі обчислення до цього завдання.

 

Задача 16 Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника відносяться, як 5:6, а периметр його дорівнює 48 см. Знайти відстань від точки перетину медіан до основи.
Розв'язання: Позначимо сторони трикутника через 5x, 6x відповідно.

Тоді рівняння периметру запишемо у вигляді
2*5*x+6*x=48;
16*x=48;
х=48/16=3 см.

Звідси обчислюємо – основу
6*x=18 см
та бічні сторони – 5*x=15 см.

 

Задача 17 Бісектриса проведена до бічної сторони рівнобедреного трикутника, ділить її на відрізки 25 см і 30 см , починаючи від вершини, яка протилежна основі. Обчислити периметр трикутника.
Розв'язання: Позначимо основу і бічну сторони через a, b відповідно.

За властивістю складаємо відношення a/30=b/25.
З іншої сторони бічну сторону можемо визначити
b=25+30=55 см.
Виразимо основу з першої залежності
a=30*b/25=30*55/25=66 см.
Знаходимо периметр
P=66+2*55=176 см.

 

Задача 18 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а висота, опущена на неї - 24 см. Знайти периметр трикутника.
Розв'язання: Теж не простий на перший погляд приклад. Виконуємо побудову до рисунку.

Площа рівна півдобутку основи на висоту. З однієї сторони це
S=1/2*25*24=300 см. кв.
З іншої сторони позначимо основу через 2x, за теоремою Піфагора знайдемо висоту, а далі й площу
h=sqrt(25^2-x^2); S=1/2*2*x* sqrt(25^2-x^2).
Прирівнявши площі, отримаємо рівняння для відшукання основи
x*sqrt(25^2-x^2)=300.
Піднесемо до квадрату та згрупуємо, в результаті отримаємо біквадратне рівняння
x^4-225*x^2+90000=0.
Виконавши заміну y=x^2, зведемо його до вигляду
y^2-225*y+90000=0.
Корені квадратного рівняння рівні
y1=400, y2=225.
Звідси x1=20, x2=15.
Основа рівна 2*x, тому в першому випадку вона рівна 40 см, в другому 30 см. Багатьом з Вас незрозуміло, як таке може бути. Справа в тому, що при основі 40 висота буде проектуватися не на бічну сторону, а на її продовження. Тому такий варіант хоч і правильний геометрично, проте ми його виключаємо. Остаточно периметр рівний
P=2*25+30=80 см.

 

Задача 19 У рівнобедреному трикутнику висота , опущена на основу, дорівнює 32 см. Бісектриса кута при основі перетинає дану висоту в точці , яка віддалена від основи на 12 см. Знайти основу трикутника.
Розв'язання: Дещо підправимо попередній рисунок до нового завдання. В «Paint» це робити доволі легко.

Оскільки MD=12, а висота h=32 то BM=32-12=20 см.
За властивістю бісектриси вона ділить висоту на пропорційні сторонам відрізки, тобто
b/20=x/12.
Друге рівняння отримаємо з теореми Піфагора
b^2-x^2=h^2=32^2.
Виражаємо з першої залежності одну з невідомих та підставляємо у друге
x=12/20*b;
b^2-(12/20*b)^2= 32^2.

Розв'язок рівняння b=40 см.
Знаходимо другу невідому - x=12/20*40=24 см.
Так, як осова трикутника в два рази більша за x, то вона рівна 48 см.
Постарайтеся завчити або згрупувати в пам'яті подібні схемки обчислень, на контрольній та тестах це допомогає у виборі правильного (швидкого) методу розрахунків.

 

Задача 20 У рівнобедреному трикутнику кут, утворений висотою, проведеної до основи, і бісектрисою кута при основі, дорівнює 55 град. Знайти всі кути трикутника.
Розв'язання: Виконаємо допоміжний рисунок.

Кут DMC рівний 55 градусів. Кут DCM рівний 180-90-55=35 градусів.
Оскільки маємо бісектрису, то кут MCB=DCM=35.
Кут при основі має 2*35=70 градусів.
При вершині рівнобедреного трикутника кут рівний
180-2*70=40 градусів.
На цьому всі кутові міри знайдено.

 

Задача 21 У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 10 см, а висота – 20 см. Знайти висоту опущену на бічну сторону.
Розв'язання:

Знайдемо невідому висоту через рівняння площі
S=1/2*20*10=100 см. кв.
Обчислимо бічну сторону
b=sqrt(20^2-(10/2)^2)=5√15
і площу
S=1/2*b*h=100;
h2=2*100/b=8/3*√15 см.

 

Задача 22 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см, а висота опущена на бічну сторону – 24 см. Обчислити периметр трикутника.
Розв'язання: Позначимо відрізки на які ділить бічну сторону висота через a,b, починаючи з основи.

За теоремою Піфагора складаємо 2 рівняння:
a^2=30^2-24^2;
(a+x)^2-x^2=24^2.

При обчисленні системи рівнянь отримаємо значення
x=7,a=18.
Звідси бічна сторона рівнобедреного трикутника рівна 18+7=25 см, а його периметр
P=30+2*25=80 см.

 

Задача 23 На медіані рівнобедреного трикутника, проведеної до основи, взято точку , що однаково віддалена від кінців бічної сторони. Обчислити периметр трикутника якщо відстань від цієї точки до основи дорівнює 14 см, а до кінця основи – 50 см.
Розв'язання: Без додаткової побудови тут не розібратися.

З малюнку бачимо, що половину основи можемо знайти з прямокутного трикутника
a^2=50^2-14^2
звідси a=48 см, а основа рівна 2*48=96 см.
Також за умовою, частина висоти після точки рівна 50 см, а вся висота 50+14=64 см.
З прямокутного трикутника виражаємо бічну сторону
c^2=64^2-48
звідси c=80 см.
Знаходимо периметр
P=80*2+96=256 см.
Всюди де Вам незрозуміла умова, чи що від Вас вимагають -використовуйте допоміжні малюнки. В більшості задач це дозволяє побачити хід подальших обчислень.

 

Задача 24 Медіана рівнобедренного трикутника , проведена до основи, ділить висоту, опущену на бічну сторону, на відрізки 75 і 21см. починаючи від кінця основи. Знайдіть сторони трикутника.
Розв'язання: Спершу виконуємо допоміжну побудову.

За вастивістю рівнобедреного трикутника медіана проведена до основи одночасно є і висотою і бісектрисою. Тому з однієї сторони можемо скласти залежність
x/21=b/75.
З іншого боку, трикутник CDB прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо
x^2+(21+75)^2=b^2.
Виразимо з першого рівняння x та підставимо у друге
x=21/75*b;
96^2=b^2-(21/75*b)^2.

В результаті обчислень отримаємо b=100.
Тоді одна з частинок , що відтинає висота від бічної сторони рівна
X=21*100/75=28 см.
Решта AD рівна
AD=100-28=72 см.

Основу рівнобедреного трикутника знаходимо як гіпотенузу
ADC 72^2+96^2=a^2.
Звідси a=120 см.
Сторони рівні 120 см та дві по 72 см.

 Більше готових відповідей з математичних дисциплін Ви можете знайти в сусідніх публікаціях.
До зустрічі та гарного Вам навчання

    Вас може зацікавити:
  1. Рівнобедрений трикутник. Приклади на висоту, сторони, радіус вписаного кола
  2. Рівнобедрені трикутники. 25 задач на площу, периметр, радіус
  3. Рівнобедрений трикутник. Знаходження основи, сторін, відрізків
  4. Обчислення площі рівнобедреного трикутника. Периметр і площа