ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк
підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.
КР № 2. Тема: Застосування похідної
1 Варіант
Приклад 1. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
1)f(x)=x3-x2-5x-3
Розв'язання: Областю визначення функції є множина дійсних чисел D(f)=R.
Обчислюємо похідну функції
та з умови рівності нулю похідної визначаємо критичні точки
Дискримінант прийме значення
Обчислюємо корені квадратного рівняння
Перевіряємо знак похідної підстановкою
Похідна менша нуля між коренями, отже на цьому проміжку
функція спадає, а за його межами зростає
.
Відповідно в першому корені функція досягає локального максимуму, а в другому – мінімуму.
Ординату точок екстремуму обчислюємо підстановкою абсциси у функцію
Знайшли точку максимуму 
та точку мінімуму 
.
Графік функції наведено нижче
2)f(x)=8x2-x4
Розв'язання: Областю визначення є вся дійсна множина - D(f)=R.
Обчислюємо похідну функції
та прирівнюємо її до нуля
Отримали кубічне рівняння, яке вдається розділити на множники
Його коренями є наступні значення
х=0; х=2; х=-2.
За знаком похідної
встановлюємо проміжки зростання функції
та проміжки спадання
Обчислюємо ординати точок максимуму
та мінімуму
Записуємо точки максимуму (-2;16) і (2;16) та мінімуму (0;0).
Графік функції має вигляд
Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
на проміжку [-4; 1].
Розв'язання: Область визначення функції обмежена знаменником
Похідна від частки прийме значення
Нулі похідної знаходимо з квадратного рівняння
Через дискримінант
обчислюємо корені рівняння
Перший корінь не належить розглядуваному проміжку
Другий підходить для обчислень
Обчислюємо значення функції в точці х=-3 і на кінцях проміжку
На основі знайдених значень виписуємо максимум та мінімум на проміжку
Графік функції на вказаному проміжку має вигляд
Приклад 3. Доведіть, що функція
спадає на множині дійсних чисел.
Розв'язання: Функція визначена на всій множині - D(f)=R.
Похідна від поліному наступна
Прирівнюємо її до нуля
і обчислюємо дискримінант
D=1-8=-7<0.
Він менший нуля, а отже похідна або всюди додатна або від'ємна. Перевіримо знак похідної підстановкою
Оскільки похідна від'ємна то функція спадаюча на всій області визначення, що і треба було довести.
Графік функції має вигляд
Приклад 4. Дослідіть функцію f(x)=x3-3x2 та побудуйте її графік.
Розв'язання: Функція визначена на множині дійсних чисел D(f)=R.
Перевірка на парність
показує, що функція ні парна ні непарна.
і 
Це можна визначити і по вигляду функції, якщо вона містить тільки непарні степені то функція непарна, парні степені – парна.
Знаходимо нулі функції з кубічного рівняння
x=0; x=3- нулі функції.
Поведінку досліджуваної функції визначаємо через похідну
Перевіряємо знак похідної підстановкою, наприклад одиниці
Функція зростає поза коренями 
і спадає між ними [0;2].
Обчислюємо значення функції в критичних точках
На основі виконаного аналізу проводимо побудову графіку функції.
Для деталізації графіку можете обчислити значення функції в потрібних точках.
Приклад 5. Число 24 подайте у вигляді суми трьох додатних чисел так, що перше число відноситься до другого як 1:2, а сума кубів першого і другого та квадрата третього набуває найменшого значення.
Розв'язання: Позначимо перший доданок х, тоді другий - 2х,
і третій знаходимо через різницю відомих - 24-(х+2х)=24-3х.
Складемо функцію, задачу на мінімум якої потрібно розв'язати
Розпишемо функцію, піднісши дужки до відповідних степенів
Отримали кубічну функцію, критичні точки якої визначаємо через похідну
Прирівнюємо похідну до нуля
і розв'язуємо квадратне рівняння
Знаходимо дискримінант
та корені
Другий корінь суперечить змісту задачі. На основі першого розраховуємо інші два числа
2x=4; 24-3x=24-6=18.
Отже, 2, 4, 18 – шукані числа.
Відповідь: 2, 4, 18.
На цьому обчислення типових прикладів даної теми завершені. Добре перегляньте схеми досліджень та цікаві Вам приклади та використовуйте здобуті знання в навчанні.
Переглянути контрольну роботу
