Розглянемо простір елементарних подій, в якому кожній елементарній події у відповідність ставиться число x або вектор , тобто на множині є певна функція , яка для кожної елементарної події знаходить елемент одновимірного простору R1 або n - вимірного простору Rn.
Цю функцію називають випадковою величиною. У випадку, коли відображає множину на одновимірний простір R1, випадкову величину називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на Rn, то випадкову величину називають n -вимірною (системою n випадкових величин або n -вимірним випадковим вектором).
Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення досліду під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю.
Якщо множина можливих значень випадкової величини є зліченною, то її називають дискретною. У протиежному випадку її називають неперервною.
Випадкові величини для зручності позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z,..., а їх можливі значення – малими x, y, z,....
Для встановлення випадкової величини необхідно знати не лише множину можливих її значень, а й вказати, з якими імовірностями вона набуває того чи іншого можливого значення.
З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей – залежність, що встановляє зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями.
Закон розподілу дискретної випадкової величини найчастіше задають в табличній формі, функцією, або графічно за допомогою ймовірнісного многокутника.
У разі табличної форми запису закону вказується множина можливих значень випадкової величини X розміщена у порядку їх зростання в першому рядку, та відповідних їм імовірностей в наступному:
Випадкові події мають бути попарно несумісними та утворювати повну групу, тобто задовільняти умову:
Наведену залежність називають умовою нормування для дискретної випадкової величини X, а таблицю розподілу – рядом розподілу.
Функція розподілу ймовірностей та її властивості
Закон розподілу ймовірностей можна подати у вигляді функції розподілу ймовірностей випадкової величини F(x), яка вже придатна як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин
Функцію аргументу x, що встановлює ймовірність випадкової події X<x називають функцією розподілу ймовірностей:Її слід розуміти як функцію, яка встановлює ймовірність випадкової величини, яка може приймати значення, менші за x .
Функція розподілу володіє наступними властивостями:
1. Вона завжди додатня із значеннями в межах від нуля до одиниці
2. Функція є монотонно зростаючою, а саме значення функції зростають , якщо аргументи зротають x2>x1.
Із цієї властивості отримують наведені висновки:
a) Імовірність набуття випадковою величиною X можливих значень з проміжку рівна приросту її інтегральної функції F(x) на цьому проміжку:
б) Імовірність, що неперервна випадкова величина X набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулюДля неперервної випадкової величини справджуються такі рівності:3. На крайніх точках неперервна випадкова величина приймає значення.
Із цих границь випливає, що для дискретної випадкової величини X з можливими значеннями з обмеженого проміжку [a;b] маємо
для
для
Наведемо розв'язки задач на відшукання функції розподілу.
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
Побудувати функцію розподілу F(x) та її графік.
Розв'язання. Згідно з властивостями функції F(x) отримаємо наведені дальше значення.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Компактно F(x) матиме запис
Графік функції F(x) зображено на рисунку нижче
Наведений аналіз є повною відповіддю до завдання.
Приклад 2. Маємо три коробки з кульками. У першому міститься 6 жовтихих і 4 сині кульки, у другому – 7 жовтиих і 3 сині, а в третьому — 2 жовті і 8 синіх. Із кожної коробки навмання беруть по одній кульці. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини X – появи числа синіх кульок серед трьох навмання взятих; визначити закон розподілу F(x) та побудувати графік цієї функції.
Розв'язання. Серед трьох навмання взятих кульок число синіх може бути 0; 1; 2; 3.
У табличній формі закон розподілу дискретної випадкової величини має вигляд:
Обчислимо ймовірності p1, p2, p3, p4. Із цією метою позначимо A1 випадкову подію, що полягає відповідно в появі жовтої кульки і B1 – появі синьої з першої коробки. Подібним чином для решти коробок A2, B2, A3, B3. Імовірності цих подій такі:
Оскільки випадкові події A1, B1, A2, B2, A3, B3 є незалежними, то ймовірності знаходимо за формулами:
Обчислення достатньо прості і зроблені позначення повністю все пояснюють. Перевіримо виконання умови нормування
Завжди виконуйте перевірку даної умови: це достатньо просто зробити та дозволяє швидко перевірити правильність обчислень ймовірності. У випадках, коли умова нормування не виконується потрібно відшукати помилку та виправити її.
У нас же всі обчислення правильні, тому записуємо закон розподілу ймовірностей в табличній формі:
Обчислюємо значення інтегральної функції
1)
2)
3)
4)
5)
У випадку помилок при знаходженні ймовірностей останнє співвідношення дає відмінни від одиниці результат, тому можете перевіряти і за цим значенням. Спрощено функція розподілу матиме вигляд
а її графік наступний
Приклад 3. Закон розподілу неперервної випадкової величини X задано функцією розподілу ймовірностей
Побудувати графік функції розподілу F(X) і обчислити ймовірність, що випадкова величина належить проміжку P(1<X<4).
Розв'язання. Функція розподілу матиме вигляд.
Використовуючи означення, обчислимо
Таким чином ймовірність, що випадкова величина належить проміжку [1,4] рівна 0,36.
Уважно розберіться з наведеними прикладами знаходження функції розподілу, це Вам стане в нагоді на практичних заняттях. Старайтеся перевіряти умову нормування, щоб уникнути подальших помилок і правильно визначайте ймовірності.
- Вас може зацікавити:
- Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин. Імовірність попадання в прямокутник
- Як знайти щільність розподілу випадкової величини?
- Числові характеристики статистичного розподілу
- Як знайти закон розподілу та функцію розподілу випадкової величини?
- Математичне сподівання. Приклади
- Мода та медіана. Приклади обчислення