Готові інтеграли функцій з контрольної роботи для студентів 1, 2 курсів математичних факультетів допоможуть вивчити не тільки схеми інтегрування, а й познайомлять з різноманітними прийомами, що полегшують знаходження інтегралів. Деякі завдання складні, і їх можуть зустріти в навчанні здебільшого математики, економісти, статисти, прикладники і фізики.
Приклад 15. Наступні приклади на інтегрування дробів методом розкладу. Спершу знаменник розписуємо на прості множники, далі в залежності від їх вигляду дробову функцію записуємо через прості дроби з невідомими сталими.
Праву сторону зводимо до спільного знаменника
та розкривши дужки групуємо доданки при однакових степенях «ікс».
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної, приходимо до системи лінійних рівнянь (СЛАР), з якої знаходимо сталі. Систему можете обчислювати методом Крамера, Гауса, можете хоч користуватися "екселем" чи МатКадом. Головне знайти сталі
Далі значення підставляємо в розклад функції та інтегруємо
Приклад 16. Задано інтеграл дробово раціональної функції. Спершу розкладемо знаменник на прості множники
Далі записуємо під інтегралу функцію через суму простих дробів з невідомими множниками
Зводимо праву сторону під один знаменник
та з умови рівності чисельників
складаємо систему лінійних рівнянь для визначення 4 невідомих сталих
. 
Після обчислення СЛАР повертаємося до розкладу та виконуємо інтегрування дробів
Приклад 17. Ще одне завдання на інтегрування дробової функції. За наведеною вище схемою обчислень розписуємо знаменник
та записуємо дроби для відшукання 3 сталих.
Після зведення під спільний знаменник з коефіцієнтів при однакових степенях змінної
складаємо систему рівнянь. Цього разу вона досить проста і коефіцієнти розкладу знаходимо з формул
Далі підставляємо множники в дроби та виконуємо інтегрування
В результаті обчислень отримаємо два логарифми від модулів функцій. В другому доданку модуль можна не ставити, оскільки підмодульна функція всюди додатна.
Решта готових відповідей з контрольної роботи на інтеграли Ви знайдете з наступних відповідей. Завдання та схеми їх обчислень допоможуть розібратися з більшістю інтегралів.
Готові розв'язки контрольної з інтегрування
