Готові відповіді з інтегрування функцій взяті з контрольної роботи для студентів 1, 2 курсів математичних факультетів. Щоб формули в завданнях і відповідях не повторювалися самі завдання виписувати не будемо. Вам і так відомо, що в завданнях потрібно або "Знайти інтеграл" , або "Обчислити інтеграл". Отож, якщо Вам потрібні відповіді з інтегрування то починайте вивчати наступні приклади.
Інтегрування ірраціональних функцій
Приклад 18. Виконуємо заміну змінних під інтегралом. Для спрощення обчислень за нову змінну вибираємо не лише корінь, а весь знаменник. Після такої заміни інтеграл перетвориться до суми двох табличних інтегралів, які і спрощувати не треба
Після інтегрування замість змінної підставляємо заміну.
Приклад 19. На інтегрування дробової ірраціональної функції витрачено чимало часу та місця і навіть не знаємо, чи можна буде щось розібрати з планшету чи телефону. Щоб позбутися ірраціональності, а тут маємо справу з коренем кубічним за нову зміну вибираємо підкореневу функцію в кубі. Далі знаходимо диференціал та заміняємо попередню функцію під інтегралом
Найбільше часу займає розписування нової функції на степеневі залежності та дроби
Після перетворень частину інтегралів знаходимо одразу, а останній розписуємо на два інтеграли, які перетворюємо під табличні формули
Після всіх обчислень не забуваємо повернутися до виконаної на початку заміни
Інтегрування тригонометричних функцій
Приклад 20. Потрібно знайти інтеграл від синуса в 7 степені. Згідно правил один синус потрібно загнати в диференціал (отримаємо диференціал косинуса), а синус в 6 степені розписати через косинус. Таким чином прийдемо до інтегрування від функції нової змінної t=cos(x). При цьому доведеться підносити різницю до кубу, а тоді же інтегрувати
В результаті отримаємо поліном 7 порядку від косинуса.
Приклад 21. В цьому інтегралі необхідно косинус 4 степеня через тригонометричні формули розписати до залежності від косинусу в першому степені. Далі застосовуємо табличну формулу інтегрування косинуса.
Приклад 22. Під інтегралом маємо добуток синуса на косинус. За тригонометричними формулами добуток розписуємо через різницю синусів. Як отримали цю дужку, можна зрозуміти з аналізу коефіцієнтів при «ікс». Далі інтегруємо синуси
Приклад 23. Тут маємо в знаменнику одночасно і синус, і косинус функцію. Причому тригонометричні формули спростити залежність не допоможуть. Для знаходження інтегралу застосуємо універсальну тригонометричну заміну t=tan(x/2)
Із запису бачимо, що знаменники скоротяться та отримаємо в знаменнику дробу квадратний тричлен. В ньому виділяємо повний квадрат та вільну частину. Після інтегрування прийдемо до логарифма від частки простих множників знаменника. Тут для спрощення запису і чисельник і знаменник під логарифмом помножили на двійку.
Наприкінці обчислень замість змінної підставляємо тангенс половини аргументу.
Приклад 24. Для інтегрування функції винесемо квадрат косинуса за дужки, а в дужках віднімемо та додамо одиницю, щоб отримати котангенс.
Далі за нову змінну вибираємо котангенс u=ctg(x), її диференціал нам дасть потрібний для спрощення множник. Після підстановки прийдемо до функції, яка при інтегруванні дає арктангенс.
Ну і не забуваємо поміняти u на котангенс.
Приклад 25. В останньому приладі контрольної роботи потрібно про інтегрувати котангенс подвійного кута в 4 степені.
На цьому контрольна робота на інтегрування розв'язана, причому жоден викладач до відповідей і обґрунтування перетворень не причепиться.
Якщо навчитеся так інтегрувати, то тести чи зрізи по темі Інтеграли для Вас не страшні. Всі решту мають можливість навчитися або замовити розв'язування інтегралів у нас (чи наших конкурентів :))).
Готові розв'язки контрольної з інтегрування
