Вычисление потока векторного поля

На предыдущем уроке проанализированы более простые примеры на вычисления потока векторного поля. Здесь задания усложняются поверхностью интегрирования, которая ограничена как одним, так и двумя сечениями.
Как следствие, больше расчетов пределов интегрирования, более сложные двойные интегралы и сами вычисления.
Все важные переходы и приемы хорошо расписаны, а примеры отвечают учебным программам большинства ВУЗов Украины.

ЗАДАНИЕ 8.2 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=z², z=1, z=5 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=z² - описывает часть конуса с вершиной в начале координат, которое вытянуто вдоль оси Oz и ограничена плоскостями z=1, z=5.
В этом и следующих примерах для представления приведенны рисунки поверхности интегрирования и их проекции в декартовую плоскость
В сечении получили два круга с радиусами, соответственно R=1, R=5.
В силу симметрии нет необходимости интегрировать по кругу, достаточно найти пределы четверти круга :

Напоследок результирующий интеграл множим на четверку.
В примерах на интегрирование по поверхностям нужно быстро выполнять построение классических тел вращения.
Также необходимо правильно находить пересечения плоскостями, иначе правильного ответа не получите.
Вы должны уметь удачно учитывать симметричность функций, их четность или нечетность.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где функции являются соответствующими множителями при орте векторного поля
P=P(x;y;z)=e^2z+2x, Q=Q(x;y;z)=e^x-y, R=R(x;y;z)=2z-e^2y.
За формулой Остроградського-Гаусса находим поток векторного поля
Из тройного интеграла видим, что кроме того, что нужно хорошо уметь верно расставлять пределы интегрирования, умение пользоватся методом замены переменных тоже важно.
Без этого Вы остановитесь на середине интеграла и не будете знать, как возвести интеграл к конечному ответу.

ЗАДАНИЕ 8.4 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=6z, z=1 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=6z - коловий параболоид с вершиной в начале координат, который вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостью z=1.
В перерезе получили круг с радиусом равным корню из шести
Как знать, что получим в перерезе плоскостью?
Кто хорошо читал теорию, тот делает это автоматически, а в целом в уравнение поверхности x²+y²=6z подставляем плоскость z=1.
В результате получим уравнение круга x²+y²=6.
Справа имеем квадрат радиуса, вот и весь анализ.
И такая схема справедлива для целого класса рассмотренных задач.
Как видим из рисунку четверть области V ограничена пределами:

Как и в предыдущем задании, здесь учитываем четность всех функций.
Это позволяет упростить само интегрирование и не разбивать доминирующий интеграл на несколько с одинаковым конечным значением.
Учитывая это, результат умножим на 4.
Но к нему еще следует дойти, потому сначала вычисляем дивергенцию векторного поля :

где функции P, Q, R принимают значение
P=P(x;y;z)=e^z+4x, Q=Q(x;y;z)=2xz-y, R=R(x;y;z)=-2z-x²y.
Вычисляем поток векторного поля  по известной формулой:

Для большинства приведенных примеров переход к полярной системе координат под интегралом позволяет упростить дальнейшее их нахождение. Детально останавливаться на этом не будем, в формуле выписаны все этапы интегрирования и замены, поэтому анализируйте самостоятельно.

ЗАДАНИЕ 8.7 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S:
2(x²+y²)=z², z=2, z=6 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2(x²+y²) =z² описывает конус с вершиной в начале координат (0;0;0) что вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостями z=2, z=6 по условию.
В сечении получили круги с радиусами, соответственно корень из двух и восемнадцати

В силу симметрии рассматриваем четверть области V, которая ограничена поверхностями:

Результат интегрирования умножим на 4.
Определяем дивергенцию векторного поля :

где функции задаются зависимостями

За формулой Остроградського-Гаусса находим поток поля F:
Формулы не из легких, однако достаточно распространены на практике, потому не спеша хорошо проанализируйте расстановку пределов интегрирования и замену переменных.
Применение перехода к полярной СК позволяет свести корневые функции к показательным.

ЗАДАНИЕ 8.8 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²+z²=4x-2y-4 (нормаль внешна).
Решение: Сведем поверхность x²+y²+z²=4x-2y-4 к каноническому виду
x²-4x+4+y²+2y+1+z²=4+1-4, (x-2)²+(y+1)²+z²=1 - сфера с центром (2;-1;0) и радиусом R=1.
Ее график и проекция на плоскость Oxy приведены ниже
Как можно видеть из рисунку, 1/8 поверхности сферы задается пределами:

Здесь учли четность функций, поэтому интеграл будем множить на 8 (верхняя и нижняя полусферы).
Дивергенцию векторного поля находим по формуле:

где P=P(x;y;z)=sin(2y)+x, Q=Q(x;y;z)=y-sin²(x), R=R(x;y;z)=z-cos(x*y).
Дальше интегрированием вычисляем поток векторного поля: где R=1 - радиус сферы.
Так как здесь подинтегральная функция равна постоянной, то тройной интеграл не что иначе, как объем сферы с радиусом 1, разделенный на 8 (согласно упрощений).
На основе выше рассмотренных задач, попробуйте самостоятельно найти тройной интеграл и убедиться в правильности рассуждений.

ЗАДАНИЕ 8.14 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: , (нормаль внешна).
Решение: Поверхность задает конус с вершиной в (0;0;4), что вытянут вдоль оси Oz вниз и ограничен плоскостью z=1.
Графически поверхность интегрирования можно представить из следующих рисунков
В сечении z=1 получим круг с радиусом R=3.
В силу симметрии четверть области V задается следующими пределами:

Не забываем, что при этом нужно интеграл кмножить на 4.
Находим дивергенцию поля :

функции P, Q, R 

Поток векторного поля находим по формуле Остроградського-Гаусса :
Тройной интеграл не тяжелый в плане вычислений, и схемы применения замены переменных и возведения к простому виду хорошо расписаны в предыдущих примерах.
Потек равен П=27pi.

ЗАДАНИЕ 8.15 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: 2y-x+z=2, x=0, y=0, z=0 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2y-x+z=2, -x/2+y/1+z/2=1- описывает плоскость, которая является одной из граней треугольной пирамиды.
Чтобы лучше это представить рассмотрите следующие рисунки к задаче.
Из построения видим, что область V ограничена поверхностью:

Такой анализ позволяет коректно расставить пределы интегрирования в тройном интеграле.
Вычисляем дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+4yz, Q=Q(x;y;z)=e^z+x+y, R=R(x;y;z)=-3z-x²y.
Вычисляем поток  векторного поля F:

Интеграл не из легких, поэтому внимательно разберите как расставленные пределы, проанализируйте эффективность замены переменных при упрощении повторного интеграла.

ЗАДАНИЕ 8.25 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: z=-1 (нормаль внешна).
Решение: Анализ уравнения - конус со смещенной относительно начала координат вершиной (0;0;- 3), который вытянут вдоль оси Oz вверх и ограничен сверху плоскостью z=-1.
В сечении имеем круг с радиусом R=2.
Четверть области V описываем следующими пределами:

Правильно найденные пределы интегрирования  играют определяющую роль при интегрировании, поэтому помните что это одна из ответственных частей приведенных расчетов.
Результат интегрирования не забывайте множить на 4.
Дивергенцию поля через частичные производные равны:

здесь учтено P=P(x;y;z)=x/2+ln(1-z), Q=Q(x;y;z)=y, R=R(x;y;z)=x²+z/3.
По формуле вычисляем поток векторного поля F:
Переход от повторного к двойному определенному интегралу лучше делать через приведенную замену переменных, остальное интегрирование сводится к простым табличным формулам  и определения значений на пределах.
Будьте внимательные при расчетах, в первую очередь проверяйте правильность расстановки пределов интегрирования.
Хорошо заучите замену переменных, которая здесь приведена и применяйте ее в примерах, что подобные за конструкцией к рассмотренным.
При вычислении интегралов проверяйте себя на каждом шагу, наименьшая ошибка при переходах в начале приведет к неправильному ответу напоследок расчетов.