Знайти площу трикутника. Розв'язки задач

Можна знайти безліч задач на обчислення площі трикутника, різного типу складності, з простим та складним ходом обчислень. Одні з них можна обчислити на основі знання неважких властивостей трикутника, інші потребують знання формул, а їх деколи ще й потрібно вивести. Усі геометричні задачі слід починати з аналізу що задано, та що потрібно знайти, далі необхідно побудувати рисунок до задачі та виконати решту обчислень.
Ви точно не навчитеся розв'язувати усі задачі з однієї статті, але точно будете знати, що Вас може чекати та як оформляти відповіді до задач.

Задача 39.26 Знайти площу S гострокутного трикутника у квадратних сантиметрах, якщо дві його сторони дорівнюють 2 см і 1 см, а квадрат косинуса кута між ними дорівнює 1/4.
У відповідь записати √3S.
Розв'язання: Перш за все виконуємо побудову рисунку до задачі
площа трикутника
Маємо трикутник ABC, у якого AC=2 см, AB=1 см і cos²(∠A)=1/4 (за умовою).
Оскільки трикутник гострокутний, то косинус приймає додатне значення cos(∠A)=1/2, звідси ∠A=60 і sin(∠A)= √3/2.
Знайдемо площу S трикутника ABC через півдобуток сторін на синус кута між ними:

На цьому перша задача розв'язана.
Відповідь: 1,5

Задача 39.31 Одна зі сторін трикутника дорівнює 2, а прилеглі до неї кути дорівнюють 30⁰ і 45⁰.
Знайти площу трикутника з точністю до 0,01.
Розв'язання: Маємо трикутник ABC, у якого AC=2, ∠A=30 і ∠C=45 (за умовою).

Для обчислення площы необхыдно знайти ще одну сторону трикутника.
За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо ∠B:
∠B=180-∠A-∠C=180-30-45=105.
За теоремою синусів знайдемо сторону AB:
, звідси

де синус 105 градусыв рывний

Знайдемо площу ΔABC з точністю до 0,01:

Теж не важкы розрахунки при знаходженны площы трикутника.
Відповідь: 0,73

Задача 39.32 Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 28 і 30, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює √673.

Розв'язання: Площу заданого трикутника знайдемо за формулою Герона:

Для її використанн необхідно знайти невідому сторону c.
Цю сторону знайдемо за допомогою формули довжини медіани:

де m= √673 – медіана, проведена до сторони c.
* Останню формулу (обчислення довжини медіани) виводять за допомогою формули Герона для обчислення площі двох рівновеликих трикутників, на які розділила медіана заданий трикутник.*
З умови відомо a=30, b=28 і m= √673.
Складаємо рівняння

Знайдемо сторону c:

за фізичним змістом вибираємо додатне значення c>0 як довжину сторони трикутника.
Обчислимо півпериметр трикутника:

За формулою Герона знайдемо площу трикутника:

Відповідь: 336.

Задача 39.36 Одна зі сторін трикутника дорівнює 10, а медіани, що проведені до двох інших сторін, дорівнюють 9 і 12.
Знайти площу трикутника.
Розв'язання: Задано трикутник ABC, у якого AC=10.
AM=9 і CK=12 - медіани, що проведені до сторін BC і AB відповідно.

За властивістю медіан (медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини) знайдемо відрізки AO, CO, KO і MO.
Позначимо: AO=2x, MO=x (AO:MO=2:1), звідси
AM=AO+MO=2x+x=9, 3x=9, x=3.
Отже, AO=6 і MO=3.
Позначимо: CO=2y, KO=y (CO:KO=2:1), звідси
CK=CO+KO=2y+y=12, 3y=12, y=4.
Отже, CO=8 і KO=4.
Розглянемо трикутник AOC, у якого AO=6, CO=8 і AC=10.
З теореми Піфагора випливає (102=62+82), що ΔAOC - прямокутний і кути при вершині O - прямі (дорівнюють 90⁰).
Звідси слідує, що трикутники AOK і COM - прямокутні.
Знайдемо гіпотенузу AK трикутника AOK (AO=6, KO=4 - катети і ∠AOK=90⁰)

За формулою Герона знайдемо площу трикутника ACK, у якого a=AC=10, b=CK=12 і c=AK=2SQRT(13)
- півпериметр ΔACK.
- площа ΔACK.
За властивістю медіани (медіана розбиває трикутник на два рівновеликі трикутники, тобто трикутники, які мають рівні площі:
, бо CK - медіана ΔABC) знайдемо площу трикутника ABC:
.
Відповідь: 72

Задача 39.40 Відповідні сторони подібних трикутників дорівнюють 14 см і 21 см.

1) периметр меншого трикутника;

2) площу меншого трикутника.

Периметр і площа більшого трикутника відповідно дорівнюють 63 см і 180 см².
Розв'язання: Нехай маємо перший (менший) трикутник зі стороною A₁=14 см, периметром P₁, площею S₁ та другий (більший) трикутник зі стороною A₂=21 см, периметром P₂=63 см, площею S₂=180 см.
У подібних трикутників периметри відносяться як відповідні довжини сторін, а площі подібних трикутників відносяться як квадрати їх відповідних сторін.
Знайдемо периметр P₁ першого (меншого) трикутника:

звідси

Знайдемо площу S₁ першого (меншого) трикутника:

звідси

Відповідь: 1) 42 см, 2) 80 см²