Логарифмічними рівняннями називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або його основі (або в обох місцях одночасно). Їх легко звести до квадратних чи степеневих рівнянь відносно змінної, якщо знати властивості логарифма. Для прикладу, логарифмічними будуть наступні рівняння
Необхідно відзначити, що під час розв'язку логарифмічних рівнянь необхідно враховувати область допустимих значень (ОДЗ): під знаком логарифма можуть знаходитись тільки додатні величини, в основі логарифмів – додатні, відмінні від одиниці. Проте знаходження ОДЗ деколи може бути дуже громіздким і на практиці маємо можливість вибрати: шукати ОДЗ або зробити перевірку коренів у рівняння.
Найпростішим логарифмічним рівнянням називають рівняння виду
Його розв'язок обчислюється потенціюванням (знаходження числа або виразу за його логарифмом)
В деяких випадках, розв'язуючи логарифмічні рівняння, доцільно робити заміну змінної. Наприклад, у рівнянні
зручно зробити заміну 
і ми приходимо до квадратного рівняння. Причому обидва корені цього квадратного рівняння можна підставити в заміну, щоб знайти відповідне х.
Варто запам'ятати, що десятковий логарифм від одиниці з наступними нулями дорівнює кількості нулів у запису цього числа.
Для десяткового логарифма від виразів вигляду 0,00001 в правило подібне. Він рівний кількості всіх нулів у запису цього числа, враховуючи і нуль цілих, взятих із знаком мінус. Для прикладу
Перейдемо до розгляду практичних завдань. Уважно розгляньте їх розв'язання, це дозволить засвоїти деякі правила логарифмів та збільшить практичну базу, що стане в нагоді при проходженні ЗНО, контрольних і т.д.
Приклад 1. Розв'язати рівняння.
Розв'язання. Використовуючи властивість логарифмів переписуємо рівняння у вигляді
Робимо заміну змінних
та переписуємо рівняння у вигляді
Домножуємо на змінну y та записуємо у вигляді квадратного рівняння
Обчислюємо дискримінант
Корені рівняння шукаємо за формулою
Повертаємося до заміни змінних та знаходимо
Рівняння має два розв'язки
Обидва є котректними.
Приклад 2. Розв'язати рівняння.
Розв'язання.Розкриваємо дужки та записуємо у вигляді суми логарифмів
Враховуючи властивості логарифма 
рівняння перетворимо до вигляду
Переносимо доданок за знаком рівності в праву сторону
та зводимо до добуту
Обидва множники прирівнюємо до нуля та знаходимо невідомі
Схема даного завдання досить поширена при обчисленні логарифмічних рівнянь, тому постарайтеся її завчити.
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Розв'язання. Перепишемо праву сторону у вигляді квадрату та прологарифмуємо за основою 10 обидві частини рівняння
Виконаємо заміну змінних
та зведемо рівняння до квадратного
Дискримінант такого рівняння приймає нульове значення, таке рівняння має два однакові розв'язки
Повертаємося до заміни, яку виконували вище
отримали один корінь, який рівний 100.
Приклад 4. Розв'язати рівняння.
Розв'язання. Виконаємо деякі перетворення з доданками рівняння
Перетворення не складні і без знання властивостей логарифма їх не отримати, тож робіть висновки!
Логарифмічне рівняння при цьому спроститься до наступного
Далі бачимо, що логарифми мають однакові основи. Це означає, що значення під знаком логарифма теж рівні.
На основі цього записуємо
Розписуємо рівняння та розв'язуємо за допомогою дискримінанту
Знаходимо корені
Другий корінь не може бути розв'язком, оскільки ніяке додатне число при піднесені до степеня не дасть в результаті -1.
Отже x=2 – єдиний розв'язок рівняння.
Приклад 5. Знайти розв'язок рівняння.
Розв'язання. Виконуємо спрощення рівняння
За властивістю переходимо до другої основи у другому логарифмі
За правилом логарифмування отримаємо
Зводимо рівняння до квадратного та розв'язуємо його
Дискримінант рівний нулю, отже маємо один корінь кратності два
Приклад 6. Знайти розв'язок рівняння.
Розв'язок. Задане рівняння та подібні до нього розв'язуються шляхом зведення до спільної основи. Для цього перетворимо праву сторону рівняння до вигляду
та підставимо у вихідне рівняння
Оскільки основи логарифмів рівні переходимо до показникового рівняння
Виконуємо заміну змінних 
та зводимо до квадратного рівняння
Після його обчислення повертаємося до попередньої заміни та обчислюємо
Отримали два прості розв'язки логарифмічного рівняння 2, 3.
Приклад 7. Знайти розв'язок рівняння.
Розв'язок. Не лякайтеся подібних завдань, якщо робити все за правилами то рішення отримується без труднощів. Забігаючи вперед скажу, що корені в дужках до прикладу відношення не мають. Вони для того, щоб налякати простих математиків.
Спростимо спочатку другий логарифм
Дальше виконуємо підстановку та зведення доданків під один логарифм
Прирівнюємо до правої частини рівняння і спрощуємо
Як бачите – розв'язування виявилося простіше ніж виглядало до обчислень, а результат x=100 лише підтверджує це.
При розв'язувані логарифмічних рівнянь важливо добре знати їх властивості. Без знання властивостей логарифма нічого не вийде. Це те саме, що без знання алфавіту пробувати ліпити речення.
Подальші обчислення зводяться, як правило, до розв'язання квадратних рівнянь чи степеневих залежностей відносно невідомих. Тож практикуйте самостійно і не майте труднощів з логарифмічними рівняннями.
