Логарифмічні рівняння. 10-11 клас

Варто нагадати усім, що логарифмічними називають рівняння в яких змінна або функція від "ікс" міститься під логарифмом.
При рівносильних перетвореннях справедлива формула переходу від логарифмічного до простого рівняння
log_af(x)=c⇔f(x)=a^c.
ОДЗ: основа логарифма повинна бути більшою нуля та не дорівнювати одиниці,
функція – додатньою
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важливо знати часткові випадки найпростіших логарифмічних рівнянь:
права сторна рівна нулю (с=0) або одиниці (с=1):
логарифм основи рівний одиниці
c=1⇔log_aa=1⇔f(x)=a.
логарифм одиниці рівний нулю
c=1⇔log_a1=0⇔f(x)=1.
Ці формули Ви повинні знати на пам'ять, оскільки їх найчастіше застосовують при зведенні логарифмів до найпростішого типу.
З метою навчити Вас розкривати логарифмічні рівняння, а також підготувати до ЗНО тестувань нами обчислені 40 прикладів, які в повній мірі охоплюють всі відоми методи розв'язування логарифмічних рівнянь, які Вас вчать в 10-11 класі шкільної програми, та далі на перших курсах у ВУЗах.

Схема обчислення логарифмічних рівнянь

1. якщо можливо, виписати область допустимих значень логарифмів та функцій, що в нього входять.
2. звести рівняння до найпростішого типу шляхом елементарних перетворень, які полягають в винесенні степенів з основи та логарифма (або навпаки), логарифмуванню та потенціюванні (піднесення до степеня за основою (експонента, основи =10, 2, π)
3. у випадках складних рівнянь вводять заміну змінних та зводять до квадратних чи інших відомих рівнянь.

Обчислення рівнянь з логарифмом

Приклад 16.1 Розв'язати рівняння log_ax=c.

Розв'язування: Маємо найпростіше логарифмічне рівняння, яке розв’язується методом зведення до однієї основи логарифмів:
log_ax=c,
(тут a>0, a≠1),
log_ax=c•1,
log_ax=c•log_aa,
log_ax= log_aa^c
Тут використали властивості логарифма, одиницю розписали як логарифм основи, після чого множник c внесли під логарифм.
Далі опустимо основи і прирівняємо підлогарифмічні вирази:
x=a^c.
ОДЗ: x>0.
Відповідь: a^c – Г.

Приклад 16.2 Розв'язати рівняння log_1/2(x)=-4.

Розв'язування: ОДЗ для функції під логарифмом: x>0.
Зводимо рівняння до однієї основи

При рівних основах прирівняємо вирази під логарифмами:
x=(1/2)^-4,
x=2⁴,
x=16.
Відповідь: 16 – Д.

Приклад 16.3 Розв'язати рівняння log₂(-x)=5.

Розв'язування: Виконуємо розкриття логарифмів за поданою на початку інструкцією:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Спростимо рівняння
log₂(-x)=5
log₂(-x)=5•1
log₂(-x)=5• log₂2
log₂(-x)= log₂2⁵
опустимо основи і прирівняємо підлогарифмічні вирази:
-x=2⁵,
-x=32,
x=-32.
Відповідь: -32 – В.

Приклад 16.4 Розв'язати рівняння lg(x²-x)=1-lg(5).

Розв'язування: ОДЗ: x²-x>0,
x(x-1)>0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів
x(x-1)=0,
x₁=0,
x₂=1.

x∈(-∞;1)∪(1;+∞).
На цій множині значень і шукаємо розв'язки рівняння, спершу звівши до до однієї основи логарифми

за теоремою Вієта:
x₁+x₂=1,
x₁•x₂=-2.
x₁=-1,
x₂=2.
Обидва корені належать ОДЗ.
Відповідь: -1; 2 – Д.

Нерівності ОДЗ можуть бути складнішими за самі рівняння, тоді достатньо самі корені рівняння підставити у нерівність (або систему нерівностей) і визначити, чи належать корені області допустимих значень логарифмчного рівняння.

Приклад 16.5 Скільки коренів має рівняння lg(x⁴-10x²)=lg₃x³?

Розв'язування: В логарифмі маємо біквадратний вираз, який при умовах на ОДЗ потребує обчислень.
Тому підемо іншим шляхом, спершу розв'яжемо рівняння з логарифмом, а вкінці перевіримо чи задовіляють знайдені "ікси" ОДЗ:

за теоремою Вієта:
x₂+x₃=3
x₂•x₃=-10.
x₂=-2
x₃=5.
Перевіримо чи знайдені значення 0; -2; 5 є розв'язками.
Виписуємо ОДЗ та підставляємо "ікси":

1) 0=0, тому x₁=0 не належить ОДЗ;

2) (-2)⁴-10•(-2)=16-40=-24<0,
тому x₂=-2 не належить ОДЗ.

3) 5^4-10•5^2=625-250=375>0,
x₃=5 задовільняє ОДЗ.
Логарифмічне рівняння lg(x^4-10x^2)=lg₃x³ має один корінь.
Відповідь: один – Б.

Приклад 16.6 Розв'язати рівняння log₆(x-2)+log₆(x-1)=1 і вказати проміжок, якому належить його корінь.

Розв'язування: Випишемо систему нервностей для ОДЗ:

За правилом, що сума логарифмів чисел рівна логарифму їх добутку ln(a)+ln(b)=ln(a•b) та властивістю log₆6=1, зведемо логарифми до спільної основи:

При перетвореннях отримали квадратне рівняння, корені якого знаходимо за теоремою Вієта:
x₁+x₂=3
x₁•x₂=-4.
x₁=-1<2 (не належить ОДЗ)
x₂=4.
x=4 – єдиний корінь заданого рівняння, він належить проміжку (3,9;4,1).
Відповідь: (3,9;4,1) – Б.

Приклад 16.9 Розв'язати рівняння (log₂x)²-2log₂x-3=0 і вказати суму його коренів.

Розв'язування: ОДЗ: x>0.
логарифмічне рівняння
(log₂x)²-2log₂x-3=0
зведемо до квадратного заміною log₂x=t.
t²-2•t-3=0
За формулами Вієта маємо:
t₁+t₂=2 – сума коренів р-ня;
t₁•t₂=3 – їх добуток, тоді
t₁=-1 і t₂=3 – корені квадратного рівняння.
Повертаємося до заміни, та обчислюємо прості логарифмічні рівняння

Обидва корені належать ОДЗ, за умовою знайдемо їх суму:
x₁+x₂=0,5+8=8,5.
Відповідь: 8,5 – Д.

З простих прикладів на розкриття логарифмічних рівнянь Ви побачили, що достатньо знати кілька формул та базові властивості логарифма і вже можна самостійно розв'язати рівняння. Для простих рівнянь це працює, але нагадуємо, що курс ЗНО підготовки містить 40 прикладів, причому ряд завдань поєднують в собі не тільки логарифми, а й корені, модулі, показникові вирази. Ви навчитеся зводити рівняння до квадратних, логарифмувати та ще багато чого нового.