Варто нагадати усім, що логарифмічними називають рівняння в яких змінна або функція від "ікс" міститься під логарифмом.
При рівносильних перетвореннях справедлива формула переходу від логарифмічного до простого рівняння
logaf(x)=c⇔f(x)=ac.
ОДЗ: основа логарифма повинна бути більшою нуля та не дорівнювати одиниці,
функція – додатньою
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важливо знати часткові випадки найпростіших логарифмічних рівнянь:
права сторна рівна нулю (с=0) або одиниці (с=1):
логарифм основи рівний одиниці
c=1⇔logaa=1⇔f(x)=a.
логарифм одиниці рівний нулю
c=1⇔loga1=0⇔f(x)=1.
Ці формули Ви повинні знати на пам'ять, оскільки їх найчастіше застосовують при зведенні логарифмів до найпростішого типу.
З метою навчити Вас розкривати логарифмічні рівняння, а також підготувати до ЗНО тестувань нами обчислені 40 прикладів, які в повній мірі охоплюють всі відоми методи розв'язування логарифмічних рівнянь, які Вас вчать в 10-11 класі шкільної програми, та далі на перших курсах у ВУЗах.

Схема обчислення логарифмічних рівнянь

  1. якщо можливо, виписати область допустимих значень логарифмів та функцій, що в нього входять.
  2. звести рівняння до найпростішого типу шляхом елементарних перетворень, які полягають в винесенні степенів з основи та логарифма (або навпаки), логарифмуванню та потенціюванні (піднесення до степеня за основою (експонента, основи =10, 2, π)
  3. у випадках складних рівнянь вводять заміну змінних та зводять до квадратних чи інших відомих рівнянь.

Обчислення рівнянь з логарифмом

Приклад 16.1 Розв'язати рівняння logax=c.

А

Б

В

Г

Д

a·c

ca

ac

c/a

Розв'язування: Маємо найпростіше логарифмічне рівняння, яке розв’язується методом зведення до однієї основи логарифмів:
logax=c,
(тут a>0, a≠1),
logax=c•1,
logax=c•logaa,
logax= logaac

Тут використали властивості логарифма, одиницю розписали як логарифм основи, після чого множник c внесли під логарифм.
Далі опустимо основи і прирівняємо підлогарифмічні вирази:
x=ac.
ОДЗ: x>0.
Відповідь: ac – Г.

 

Приклад 16.2 Розв'язати рівняння log1/2(x)=-4.

А

Б

В

Г

Д

-16

1/16

1/16; 16

16

Розв'язування: ОДЗ для функції під логарифмом: x>0.
Зводимо рівняння до однієї основи
просте логарифмічне рівняння
При рівних основах прирівняємо вирази під логарифмами:
x=(1/2)-4,
x=24,
x=16.

Відповідь: 16 – Д.

 

Приклад 16.3 Розв'язати рівняння log2(-x)=5.

А

Б

В

Г

Д

32

-32

1/32

-1/32

Розв'язування: Виконуємо розкриття логарифмів за поданою на початку інструкцією:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Спростимо рівняння
log2(-x)=5
log2(-x)=5•1
log2(-x)=5• log22
log2(-x)= log225

опустимо основи і прирівняємо підлогарифмічні вирази:
-x=25,
-x=32,
x=-32.

Відповідь: -32 – В.

 

Приклад 16.4 Розв'язати рівняння lg(x2-x)=1-lg(5).

А

Б

В

Г

Д

-3; 2

-2; 1

-2; 3

-1; 2

Розв'язування: ОДЗ: x2-x>0,
x(x-1)>0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів
x(x-1)=0,
x1=0,
x2=1.
метод інтервалів
x∈(-∞;1)∪(1;+∞).

На цій множині значень і шукаємо розв'язки рівняння, спершу звівши до до однієї основи логарифми
рівняння з логарифмом
за теоремою Вієта:
x1+x2=1,
x1•x2=-2.
x1=-1,
x2=2.

Обидва корені належать ОДЗ.
Відповідь: -1; 2 – Д.

Нерівності ОДЗ можуть бути складнішими за самі рівняння, тоді достатньо самі корені рівняння підставити у нерівність (або систему нерівностей) і визначити, чи належать корені області допустимих значень логарифмчного рівняння.

Приклад 16.5 Скільки коренів має рівняння lg(x4-10x2)=lg3x3?

А

Б

В

Г

Д

Жодного

один

два

три

чотири

Розв'язування: В логарифмі маємо біквадратний вираз, який при умовах на ОДЗ потребує обчислень.
Тому підемо іншим шляхом, спершу розв'яжемо рівняння з логарифмом, а вкінці перевіримо чи задовіляють знайдені "ікси" ОДЗ:
розкриття логарифмів
за теоремою Вієта:
x2+x3=3
x2•x3=-10.
x2=-2
x3=5.
Перевіримо чи знайдені значення 0; -2; 5 є розв'язками.
Виписуємо ОДЗ та підставляємо "ікси":

1) 0=0, тому x1=0 не належить ОДЗ;

2) (-2)4-10•(-2)=16-40=-24<0,
тому x2=-2 не належить ОДЗ.

3) 5^4-10•5^2=625-250=375>0,
x3=5 задовільняє ОДЗ.
Логарифмічне рівняння lg(x^4-10x^2)=lg3x3 має один корінь.
Відповідь: один – Б.

 

Приклад 16.6 Розв'язати рівняння log6(x-2)+log6(x-1)=1 і вказати проміжок, якому належить його корінь.

Розв'язування: Випишемо систему нервностей для ОДЗ:

За правилом, що сума логарифмів чисел рівна логарифму їх добутку ln(a)+ln(b)=ln(a•b) та властивістю log66=1, зведемо логарифми до спільної основи:

При перетвореннях отримали квадратне рівняння, корені якого знаходимо за теоремою Вієта:
x1+x2=3
x1•x2=-4.
x1=-1<2
(не належить ОДЗ)
x2=4.
x=4 – єдиний корінь заданого рівняння, він належить проміжку (3,9;4,1).
Відповідь: (3,9;4,1) – Б.

 

Приклад 16.9 Розв'язати рівняння (log2x)2-2log2x-3=0 і вказати суму його коренів.

Розв'язування: ОДЗ: x>0.
логарифмічне рівняння
(log2x)2-2log2x-3=0
зведемо до квадратного заміною log2x=t.
t2-2•t-3=0
За формулами Вієта маємо:
t1+t2=2 – сума коренів р-ня;
t1•t2=3 – їх добуток, тоді
t1=-1 і t2=3 – корені квадратного рівняння.
Повертаємося до заміни, та обчислюємо прості логарифмічні рівняння
прості логарифмічн рвняння
Обидва корені належать ОДЗ, за умовою знайдемо їх суму:
x1+x2=0,5+8=8,5.
Відповідь: 8,5 – Д.

З простих прикладів на розкриття логарифмічних рівнянь Ви побачили, що достатньо знати кілька формул та базові властивості логарифма і вже можна самостійно розв'язати рівняння. Для простих рівнянь це працює, але нагадуємо, що курс ЗНО підготовки містить 40 прикладів, причому ряд завдань поєднують в собі не тільки логарифми, а й корені, модулі, показникові вирази. Ви навчитеся зводити рівняння до квадратних, логарифмувати та ще багато чого нового.