Задач на зрізані піраміди не так багато і всі вони основані на теоремах про пропорційні відрізки та подібності фігур. Далі наведено готові розв'язки до задач, які можуть чекати Вас на тестуванні при вступі у ВУЗи, їх взято з наведеного рядом посібника. Школярам 10-11 класів вони також будуть корисними, оскільки розширять практичний багаж знань з геометрії.

Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

 

Тема 37.5 Зрізана піраміда

Задача 37.11 Знайти висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ дорівнюють a і b (a>b), а кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює .


Розв'язання: Маємо завдання на виведення формули висоти.
Нам задано правильну чотирикутну зрізану піраміду ABCDA1B1C1D1, основами якої є квадрати ABCD і A1B1C1D1 зі сторонами a та b відповідно.
Діагональним перерізом правильної чотирикутної зрізаної піраміди є рівнобічна трапеція AA1C1C з основами AC і A1C1 (які є діагоналями основ піраміди – квадратів ABCD і A1B1C1D1 відповідно). 
Бічні сторони AA1=C1C є бічними ребрами правильної зрізаної піраміди (вони, за властивістю, є рівними).
Висота A1O правильної чотирикутної зрізаної піраміди проектується на діагональ основи (квадрата ABCD), а – кут нахилу бічного ребра до площини основи, оскільки AO – проекція похилої AA1 на площину основи.
Діагональ більшої основи (квадрата) ABCD:

Діагональ меншої основи (квадрата) A1B1C1D1:

Їх обчислили за допомогою теореми Піфагора у відповідних прямокутних трикутників ABC (∠ABC=90, AB=BC=a) і A1B1C1D1 (∠A1B1C1=90, A1B1=B1C1=b).
Розглянемо рівнобічну трапецію AA1C1C з основами , і кутом при основі

Проведемо висоти A1O і C1N, які є висотами зрізаної піраміди.
Прямокутні трикутники рівні ΔA1AO=ΔC1CN (за гіпотенузою і катетом), тому відрізки при основі знаходимо зі співвідношення
У прямокутному трикутнику A1AO (∠A1OA=90) відомо – катет, прилеглий до кута 
Виходячи з означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника виразимо катет A1O – висоту зрізаної піраміди:

Відповідь: Б.

 

Задача 37.12 У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основи a і b (a>b), двогранний кут при більшій основі – . Знайти висоту піраміди.


Розв'язання: Умова завдання в певній мірі перекликається з попереднім прикладом, проте хід обчислень відрізняється від того, який наведений вище. 
З’єднаємо точки перетину діагоналей обох основ, тоді OO1 – висота трапеції (властивість правильної чотирикутної піраміди).
Проведемо відрізки OM і O1M1, які є перпендикулярними до сторін своїх основ, тобто OM⊥AD, O1M1⊥A1D1.
За властивістю квадрата (і середньої лінії трикутника)
OM=AB/2=a/2 і O1M1=A1B1/2=b/2.
Проведемо відрізок MM1.
Оскільки OM⊥AD, O1M1⊥A1D1, то за теоремою «про три перпендикуляри» MM1⊥AD, MM1⊥A1D1.
Звідси слідує, що – лінійний кут двогранного кута при більшій основі.
Отже, MM1O1O – прямокутна трапеція з основами OM=a/2, O1M1=b/2 і гострим кутом  
Її рисунок має вигляд

В прямокутній трапеції MM1O1O додатково проведемо висоту M1N (M1N=OO1).
Тоді ON=O1M1=b/2, звідси отримаємо

У прямокутному трикутнику MM1N (∠M1NM=90) відомо MN=(a-b)/2 – катет, прилеглий до кута
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо катети M1N=OO1 – висоту зрізаної піраміди:

Отримали:
– висота зрізаної піраміди.
Відповідь: А.

 

 

Задача 37.31 Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне ребро – 2 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди.

Розв'язання: Маємо правильну зрізану трикутну піраміду ABCA1B1C1, основами якої є рівносторонні трикутники ABC зі стороною a і A1B1C1 зі стороною a1 відповідно.
Оскільки всі бічні ребра піраміди рівні, то основи O і O1 висоти OO1 є центрами описаних кіл навколо трикутників ABC і A1B1C1 відповідно. Знайдемо радіуси описаних кіл:

Оскільки висота OO1 перпендикулярна до площин основи (трикутників ABC і A1B1C1), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цих площинах, тому OO1⊥AO і OO1⊥A1O1.
Звідси слідує, що чотирикутник AA1O1O – прямокутна трапеція, висота OO1 якої є висотою зрізаної піраміди.

Проведемо відрізок A1K=O1O, тобто A1K⊥AO.
Тут маємо KO=A1O1=2√3/3, тоді

Розглянемо прямокутний трикутник AA1K (∠AKA1=90), у якого AA1=2 см – гіпотенуза (довжина бічного ребра піраміди) і AK=√3 см – катет.
За теоремою Піфагора знайдемо катет A1K=O1O – висоту піраміди:

Відповідь: 1.

Подібні завдання вимагають доброго вміння креслити та досконалого володіння теоретичним матеріалом.