Проаналізуємо готові відповіді до задач з геометрії на трикутні піраміди в основі яких задано неправильні трикутники – прямокутні, рівнобедрені, різносторонні.
Завдання відповідають шкільній програмі навчання за 10-11 клас, їх взято із наступного довідника.
Наведені відповіді можуть бути використані при самостійній підготовці до ЗНО (без репетитора).
Ви можете безкоштовно завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж
Тема 37.3 Трикутна піраміда
Задача 37.4 Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 6 см.
Знайти об’єм піраміди з основою BDD1 і вершиною C.
Розв'язання: Об’єм піраміди обчислюють за формулою:
V=Soc•H/3, де Soc – площа основи; H – висота піраміди.
Маємо куб ABCDA1B1C1D1, всі ребра якого рівні: BC=CD=DD1=…=6 см.
В умові задачі сказано, що основа піраміди CBDD1 є площина BDD1.
Але розміри піраміди не залежать від положення її в просторі, тому за основу позначимо площину BCD, а за вершину – точку D1.
Тоді DD1=H=6 см – висота піраміди, а основою є рівнобедрений прямокутний трикутник BCD (BC=CD=6 см, ∠BCD=90), оскільки ABCD – квадрат, у якого сусідні сторони рівні і перпендикулярні.
Площа основи (трикутника BCD):
Об’єм піраміди:
(А взагалі об’єм піраміди становить третину об’єму призми з цією ж основою і висотою, а так як в умові даної задачі основа піраміди становить лише половину основи куба, то об’єм даної піраміди можна обчислити, як об’єм куба поділено на 6, тобто V=a3/6=63/6=36 см3).
Відповідь: 36 см3 – А.
Задача 37.7 Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 12 см і 13 см.
Знайти висоту піраміди, якщо бічні грані нахилені до площини основи під кутом 450.
Розв'язання: Маємо трикутну піраміду SABC, всі бічні грані якої нахилені під однаковим кутом 450.
Тоді (за властивістю) висота піраміди проектується в центр вписаного кола (точка O) в основу піраміди (трикутника ABC).
Проведемо радіус вписаного кола MO до сторони AB основи. За властивістю радіуса вписаного кола і дотичної MO⊥AB.
Оскільки висота перпендикулярна до площини основи (трикутника ABC), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині, тому SO⊥MO.
Проведемо відрізок SM. Маємо перпендикуляр SO, похилу SM і проекцію похилої MO на площину. Оскільки MO⊥AB, то за теоремою «про три перпендикуляри» SM⊥AB, а ∠SMO=45 – лінійний кут двогранного кута, кут між бічною гранню ASB і площиною основи (трикутника) ABC.
Із трикутника ABC, в якому AB=13 см, AC=12 см і BC=5 см знайдемо радіус вписаного кола MO. Для цього необхідно знайти площу трикутника ABC (за формулою Герона) і поділити на його півпериметр.
Але помічаємо, що трикутник ABC – прямокутний (∠ACB=90), оскільки 132=122+52, тому площа прямокутного трикутника ABC:
півпериметр трикутника ABC:
радіус вписаного кола в ΔABC:
MO=S/p=30/15=2 см.
Розглянемо прямокутний трикутник SOM (∠SOM=90), у якого MO=2 см – катет і (∠SMO=45)
Тоді за теоремою про суму кутів трикутника:
∠MSO=180-90-45=45, звідси слідує, що трикутник SOM – рівнобедрений з основою SM і бічними сторонами SO=MO=2 см. Т
обто висота піраміди SO=2 см.
Відповідь: 2 см – В.
Задача 37.8 Основою піраміди є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Знайти висоту піраміди, якщо всі її бічні ребра рівні та дорівнюють 13 см.
Розв'язання: Маємо трикутну піраміду SABC, всі бічні ребра якої рівні:
SA=SB=SC=13 см.
Тоді (за властивістю) висота піраміди проектується в центр описаного кола (точка O) навколо основи піраміди (трикутника ABC).
Проведемо радіус вписаного кола CO. Оскільки висота перпендикулярна до площини основи (трикутника ABC), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині, тому SO⊥CO.
Із трикутника ABC, в якому AB=10 см, AC=6 см і BC=8 см знайдемо радіус описаного кола CO. Для цього необхідно знайти площу трикутника ABC (за формулою Герона).
Але помічаємо, що трикутник ABC – прямокутний (∠ACB=90), оскільки 102=62+82, тому площа прямокутного трикутника ABC:
радіус описаного кола навколо ΔABC:
Розглянемо прямокутний трикутник SOC(∠SOC=90), у якого CO=5 см – катет і SC=13 см – гіпотенуза.
Тоді за теоремою Піфагора знайдемо інший катет SO – висоту піраміди SABC:
Тобто висота піраміди SO=12 см.
Відповідь: 12 см – А.
Задача 37.21 Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють a, b і c. Визначити об'єм піраміди.
Розв'язання: Маємо трикутну піраміду SABC з вершиною S та бічними ребрами SA=a, SB=b і SC=c.
За умовою задачі:
SA⊥SB, SA⊥SC і SB⊥SC.
Оскільки розміри піраміди не залежать від положення її в просторі, то позначимо за вершину піраміди точку B.
Тоді основа піраміди BSAC – прямокутний трикутник SAC (∠ASC=90) з катетами SA=a і SC=c. Його площа:
Оскільки SB⊥SA і SB⊥SC, тобто SB⊥(SAC) (ребро SB перпендикулярне до площини трикутника SAC), то ребро SB=H=b – висота піраміди BSAC.
Об'єм піраміди:
.
Відповідь: abc/6 – Г.
Задача 37.25 Установити відповідність між пірамідами (1–4) та ортогональними проекціями їх вершин на площину основи (А – Д).
1. Усі бічні грані піраміди рівнонахилені до площини основи
2. Усі бічні ребра піраміди рівнонахилені до площини основи
3. Дві сусідні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи
4. Піраміда, в основі якої рівносторонній трикутник. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші рівнонахилені до неї
А. Вершина многокутника основи
Б. Середина сторони основи
В. Точка перетину діагоналей основи
Г. Центр кола, вписаного в многокутник основи
Д. Центр кола, описаного навколо многокутника основи
Розв'язання: Ці властивості використовувались в ході розв'язання інших задач (доведення цих властивостей робити не будемо).
1 – Г;
2 – Д;
3 – А;
4 – Б.
Задача 37.28 Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з висотою 9 см й основою 6 см. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює 13 см. Знайти у сантиметрах висоту піраміди.
Розв'язання: Маємо трикутну піраміду SABC, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник ABC з основою BC=6 см і висотою AM=9 см. Оскільки всі бічні ребра рівні, то висота SO трикутної піраміди проектується у центр описаного навколо трикутника ABC кола. Звідси слідує, що R=AO – радіус описаного навколо ΔABC кола. Оскільки висота SO перпендикулярна до площини основи (трикутника ABC), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині, тому SO⊥AO. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою BC=6 см і бічними сторонами AB=AC. Висота AM=9 см ΔABC, що проведена до основи є медіаною і бісектрисою (за властивістю), тому BM=MC=3 см. Із прямокутного трикутника AMB (∠AMB=90), у якого BM=3 см і AM=9 см – катети за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AB – бічну сторону ΔABC:
, звідси. Отже, 
см. Знайдемо площу ΔABC:
. Знайдемо радіус описаного кола навколо ΔABC:
см. Розглянемо прямокутний трикутник AOS (∠AOS=90), у якого SA=13 см – гіпотенуза (довжина бічного ребра піраміди) і AO=5 см – катет. За теоремою Піфагора знайдемо катет SO – висоту піраміди: 
Відповідь: 12.
Задача 37.34 Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 2, одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші утворюють із площиною основи кут 450. Визначити об'єм піраміди.
Розв'язання: Об'єм піраміди обчислюється за формулою:
де Soc=SABC – площа основи (правильного трикутника ABC) піраміди, 
де a=2 – сторона основи ΔABC;
H=SO – висота піраміди.
За умовою задачі бічна грань (трикутник) ASC перпендикулярна до площини основи піраміди (ΔABC).
Тому висота піраміди SO є висотою ΔASC. Проведемо відрізки BO⊥AC і MO⊥BC.
Оскільки ΔABC – рівносторонній, то за властивістю BO – медіана.
Медіана ділить трикутник на 2 рівновеликих, тому SBOC=SABC/2=√3/2.
Оскільки MO⊥BC, то MO – висота ΔBOC, довжина якої
оскільки BC=a=2 – сторона ΔABC.
Проведемо відрізок SM. Оскільки MO⊥BC, то за теоремою «про три перпендикуляри» SM⊥BC.
Звідси слідує, що ∠SMO=45 – лінійний кут двогранного кута (двогранний кут) при основі – кут нахилу бічної грані (апофеми) до площини основи.
Розглянемо прямокутний трикутник SOM (∠SOM=90), у якого MO=√3/2 – прилеглий катет до ∠SMO=45. За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет SO – висоту піраміди:
, звідси.
Знаючи висоту знаходимо об'єм піраміди:
Відповідь: 0,5.
