Сьогодні розпочнемо аналіх готових відповідей до понад 50 тестових задач на циліндр. В шкільному курсі геометрії за 9-11 класи подібних по складності задач не надто багато. Тут Ви навчитеся виводити нові формули, знаходити площу поверхні та об'єм циліндра, коли дані вхідні величини, які напряму неможливо підставити в популярні формули. Загалом Ви в повному обсязі пригадаєте шкільний матеріал та добре підготуєтеся до ЗНО тестів. Саме відповіді до одгого з(Посібників для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики) ми тут будемо аналізувати.
38.1 Об'єм циліндра
Задача 38.2 Прямокутник зі сторонами a і b (a>b) обертається навколо більшої сторони. Визначити об'єм тіла обертання.
Розв'язання: Тіло, яке утвориться при обертанні прямокутника AA1O1O навколо своєї більшої сторони OO1=a називається циліндром.
Вісь циліндра – одна з більших сторін OO1 прямокутника AA1O1O є висотою циліндра:
H=AA1=OO1=a – довжина осі OO1 або твірної AA1 (прямого) циліндра,
основа – круг з радіусом R=OA=O1A1=b, який рівний меншій стороні прямокутника.
Об'єм циліндра обчислюється за формулою:
де 
– площа основи циліндра (площа круга).
Відповідь: Pi•a•b2 – В.
Задача 38.8 Відро циліндричної форми вміщує 10 л води.
Іграшкове відро має розміри в 10 разів менші.
Скільки літрів води вміщує іграшкове відро?
Розв'язання: Літр – одиниця вимірювання об'єму (1л = 1дм3).
Маємо велике відро з об'ємом V1=10 л , висотою H1 та іграшкове відро об'ємом V2, висотою H2.
Оскільки за умовою задачі розміри іграшкового відра в 10 разів менші, то H1=10H2 (тобто розміри великого відра в 10 разів більші за іграшкове).
Всі (прямі) циліндри подібні, а у подібних тіл, за властивістю, відношення об'ємів дорівнює відношенню їх відповідних лінійних розмірів, взятих у кубі, тобто
Отже, V2=0,01 л – об'єм іграшкового відра, тобто кількість води, яку вміщує іграшкове відро.
Відповідь: 0,01 л – В.
Задача 38.16 У циліндр вписано куб, об'єм якого дорівнює 8 см3.
Знайти об'єм циліндра.
Розв'язання: Повторно наведемо формулу об'єму циліндра:
V=Soc•H=πR2H,
тут Soc=πR2 – площа основи циліндра (площа круга);
H – висота циліндра.
Циліндр описаний навколо призми (циліндр описаний навколо куба за умовою), якщо основи циліндра описані навколо основ призми (коло описане навколо квадрата), а висота циліндра дорівнює висоті призми.
Маємо куб з ребром a, наприклад, (у куба всі ребра рівні) та об'ємом Vкуба=a3=8 см3
Звідси слідує, що ребро (висота, довжина і ширина) куба, а значить і висота циліндра дорівнює
Коло описане навколо квадрата, якщо всі вершини квадрата лежать на колі, а центр кола лежить на перетині діагоналей квадрата.
Тому діаметр кола дорівнює діагоналі AC вписаного квадрата ABCD, а радіус R дорівнює половині діаметра (тобто половині діагоналі AC квадрата ABCD), 
– радіус, де 
– довжина діагоналі квадрата.
Її довжину обчислили за теоремою Піфагора у прямокутному ΔACD, ∠ADC=90 і AD=CD=a=2 см – катети.
Об'єм циліндра знаходимо за формулою:
Відповідь: 4π см3 – Б.
Задача 38.30 Знайти об'єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат, сторона якого дорівнює кубічному кореню з числа Pi (
).
Розв'язання: Об'єм циліндра визначаємо за формулою:
V=SocH=πR2H, де R – радіус основи і H – висота циліндра.
Маємо розгортку циліндра – квадрат AA1A1'A' зі стороною 
(
), причому 
.
Оскільки квадрат AA1A1'A' – розгортка циліндра, то довжина його сторони дорівнює довжині основи циліндра (кола) з радіусом OA=R і висоті циліндра (
).
Отже, a=2πR – довжина кола, звідси
– радіус кола, основи циліндра.
Підставляємо в формулу об'єму циліндра:
Отже, V=0,25 (кубічних одиниць) – об'єм циліндра.
Відповідь: 0,25.
Задача 38.35 Криниця має форму циліндра, діаметр основи якого дорівнює 1,2 м, а глибина – 3 м. Він наповнений водою на 2/3 глибини. Обчислити з точністю до 0,01 м3 об'єм води у криниці.
Розв'язання: В умові задачі задано що маємо криницю, яка має форму циліндра.
Зробимо математичну модель задачі:
криницю замінимо на циліндр з діаметром основи D=1,2 м, а її глибина – це висота циліндра, H=3 м.
Об'єм води у криниці – це об'єм частини циліндра, який заповнений водою.
Об'єм циліндра V1, який заповнений водою становить 2/3 об'єму заданого циліндра (оскільки об'єм циліндра залежить від висоти лінійно), тобто V1=2/3•V.
Об'єм циліндра обчислюється за формулою:
V=Soc•H=πR2H, де R=D/2=0,6 м – радіус основи і H=3 м – висота циліндра;
π~3,14 – відношення довжини кола до його діаметра.
Переходимо до розрахунків
Тобто V1=2,26 м3 – об'єм води у криниці.
Відповідь: 2,26 м3.
Далі розберемо задачі на площу поверхні, осьового перерізу циліндра, Знаходження радуса основи, висоти і інших характеристик.
