Задачи на треугольники требуют знание многих формул, без которых часто трудно получить правильный ответ.
Ниже приведены готовые ответы распространенных на практике примеров, которые подобраны из сборников тестов и школьных учебников. Не рассмотренными в статье остались примеры с множеством вычислений, как, например, применение формулы Герона, или нахождение определенных геометрических размеров. В скором времени и они будут подробно расписаны и объяснены.

Задача 1 Основа равнобедренного треугольника равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если проведенная к основанию высота равна 16 см.
Решение: Из курса геометрии известно, что радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Осталось найти значения двух последних величин.

Площадь треугольника по классической формуле равна половине произведения основания на высоту, проведенной к ней. Выполняем вычисления
S=24*16/2=192 (кв. см.)
Для определения периметра нам нужно найти длину боковой стороны.
В равнобедренному треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
По теореме Пифагора находим боковую сторону треугольника
b=sqrt(16^2+(24/2)^2)=20 (см)
Периметр - сумма всех сторон
P=2*20+24=64 (см)
Находим радиус вписанной в треугольник окружности по формуле
r=S/(2*P)=192/(64/2)=192/32=6 (см).
Ответ: 6 (см).

 

Задача 2 Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, боковая сторона 13 см. Вычислите площадь треугольника?
Решение: Площадь равна половине произведения основания на высоту.

Основание нам известно, высоту находим по теореме Пифагора
h=√(b2-a2/4)= √(169-144)=5 (см).
Далее вычисляем площадь
S=a*h/2=24*5/2=60 (см. кв.)
Ответ: 60 (см. кв.)

 

Задача 3 Из четырех равных правильных треугольников составили треугольник. Вычислите площадь треугольника DЕF, если периметр треугольника АВС равен 24 см.

Решение: Под правильным всегда подразумевают равносторонний треугольник.
Разделим заданный периметр на тройку.
a=24/3=8 (см).
Так мы будем иметь сторону большого треугольника. Дальше возможны два пути, или искать сторону малого треугольника и его площадь. Или найти площадь большого треугольника и, по условию, разделить на 4. Рассмотрим второй вариант.
Высота треугольника по Пифагору равна
h=√(8^2-4^2)=4√3 (см).
Найдем площадь треугольника
S=8*4√3/2=16√3 (см. кв.).
Разделив полученное значение на 4 получим искомую площадь треугольника
S1=4√3 (см. кв.)
Такой ответ соответствует первому номеру (А) тестовых вариантов.

 

Задача 4 Диагональ, боковая сторона и большая основа равнобедренной трапеции равны соответственно 40см, 13 см и 51 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции.
Решение: Имеем формулу радиуса описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали:
R=adc/4√p(p-a)(p-d)(p-c),
где a - боковая сторона, d- диагональ, с - большее основание.
p=(a+d+c)/2=52.
Вычисляем радиус окружности описанной вокруг трапеции
R=26520/(4*√52*39*12*1)=6630/√24336=6630/156= 42,5
см.
Ответ: 42,5 см.

 

Задача 5 Периметр равнобедренного треугольника 64 см, а боковая сторона на 11 см больше его основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
а) 13,66 см; б) 13,4 см; в) 13,44 см; г) 15,44 см.
Решение: Составим уравнения по условию.

Обозначим основание через Х, тогда боковая сторона – Х+11.
Запишем формулу периметра треугольника
P=2(X+11)+X=3*X+11.
С другой стороны периметр равен 64 см. Получим уравнение
3*Х+22=64 (см);
Х=(64-22)/3=14 (см.)

Боковая сторона равна
X+11=25 см.
Найдем высоту треугольника
h=√ (25^2-(14/2)^2)=24 (см.)
Тогда площадь равнобедренного треугольника равна
S=14*24/2=168 (см. кв.)
Такую же площадь получим, если известна боковая сторона и высота, проведенная к ней
S=h1*25/2=168
Отсюда находим высоту
h1=168*2/25=13,44 (см).
Правильный вариант (в).

 

Задача 6 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 15 см, а высота, проведенная к боковой стороне – 24 см. Найдите площадь этого треугольника.
а) 270 см2; б) 300 см2; в) 310 см2; г) 285 см2.
Решение:Выполняем схематично построение к задаче.

Составим уравнение площади треугольника через известные высоты.
S=a*24/2=b*15/2.
Отсюда имеем отношения для выражения одной стороны через другую
b=24/15*a.
Далее, по теореме Пифагора выразим высоту через боковую сторону и половину основания треугольника
h1=sqrt(a^2-(b/2)^2)=sqrt(a^2-(24*a/15/2)^2)=15 (см.).
Сведя под корнем к общему знаменателю и, выразив неизвестную, получим
a=15*30/18=25 (см.)
Далее находим площадь треугольника
S=24*25/2=300 (см. кв.)
Правильным является вариант (б).

 

Задача 7 Вычислить площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 20 см, а высота, проведенная к основанию – 12 см.
а) 192 см2; б) 240 см2; в) 120 см2; г) 96 см2.
Решение:

По теореме Пифагора находим основание равнобедренного треугольника
h=sqrt(20^2-12^2)=16 (см).
Находим площадь
S=16*12/2=96 (см. кв.)
Вариант г) является правильным ответом.

 

Задача 8 Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 12:25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см2.

Решение:

По условию AD/DB=12/25, S=1680.
Обозначим AD=12x, DB=25x.
Из геометрии следует, что AM=12x, а основание треугольника равно 24х.
Из прямоугольного треугольника выразим высоту
h^2=x^2((12+25)^2-12^2).
Далее составим уравнение площади, но для удобства вычислений все умножим на 2 и возведем к квадрату.
(24x)^2*x^2*((12+25)^2-12^2)=(2*1680)^2.
После вычислений получим, что x=2 см.
В соответствии с обозначениями, боковая сторона равна 37*2=74 см , а основание 24*2=48 см.
Радиус вписанной окружности найдем, разделив площадь треугольника на половину периметра.
P=74*2+48=196 см.
P / 2 = 196/2 = 98
см.
r=1680/98=120/7=17
и 1/7.
С тестовых ответов правильный вариант (в).

 

Задача 9 На медиане ВD равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М так, что ВМ:МD=3:1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АМD равна 3см2.
а) 27 см2; б) 24 см2; в) 30 см2; г) 25 см2.
Решение: Многие из Вас подумает, что решить задачу невозможно и нужно применять сложные формулы. Но по большому счету имеем пример на логику. Построим схематически треугольник и изобразим известную область.

По простой формуле площадь равна половине произведения основания на высоту.
Если рассмотреть треугольники ABD и AMD, то основание в них равно, а высоты относятся как (3+1):1.
Таким образом площадь треугольника ABD в 4 раза больше, чем AMD, а целого равнобедренного треугольника в два раза больше найденного прямоугольного ABD.
Таким образом, площадь SABC=2*4*SAMD=8*3=24 см. кв., что соответствует варианту (б) тестов. Вот такие простые рассуждения позволяют решить непростую на первый взгляд головоломку.

 

Задача 10 Периметр равнобедренного треугольника равен 100 см, а высота, опущенная к основанию – 30 см. Найдите площадь треугольника.
а) 480 см2; б) 420 см2; в) 560 см2; г) 460 см2.
Решение: Задан пример на составление уравнений.
Обозначим основание треугольника через а, а боковую сторону – b.
Уравнение периметра дает зависимость
P=2*b+a=100.
Запишем формулу квадрата высоты треугольника
b^2-(a/2)^2=30^2.
Из периметра выразим половину основы и подставим во второе уравнение
b^2-(50-b)^2=30^2.
После упрощений получим 100*b=50^2+30^2, отсюда
b=34 см.
а=50 - b=16
см.
Имеем основание и высоту, можем определить площадь треугольника по формуле
S=16*30/2=240 (см. кв.)
На удивление такой ответ отсутствует среди возможных вариантов.

 

Задача 11 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10см, а высота, проведенная к основанию – 6 см. Найти площадь треугольника.
а) 96 см2; б) 60 см2; в) 48 см2; г) 36 см2.
Решение: Выполняем вспомогательный рисунок к примеру.

Задания на применение теоремы Пифагора.
Вычисляем половину основания треугольника
a/2=sqrt(10^2-6^2)=8 см. а=2*8=16 см.
После – площадь треугольника
S=16*6/2=48 (см. кв.)
Верным ответом на тестах является вариант (в).

 

Задача 12 В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 8 см и 2 см, начиная от вершины угла между боковыми сторонами. Найдите площадь треугольника.
Решение:

Из рисунка можем подсмотреть сам ход вычислений. Сначала найдем высоту, а дальше площадь.
Гипотенуза треугольника DBC равна
2+8=10 см.
Вычисляем высоту
10^2-2^2=h^2;
h^2=96;
h=4*sqrt(6).

Далее находим площадь
S=1/2*10*4√6=20√6 см2.

 

Задача 13 Периметр равнобедренного треугольника равен 128 см, а боковая сторона относится к основанию, как 5:6. Вычислить диаметр вписанного круга.
Решение: Обозначим основание через 6*a, боковую соответственно – 5*a.

Составляем уравнение периметра
P=2*5*a+6*a=16*a.
Отсюда a=128/16=8 см.
Согласно обозначенным параметрам, основа равна 6*a=48 см,
стороны треугольника 5*8=40 см.
Найдем высоту по известной формуле Пифагора
h=sqrt(40^2-24^2)=32 см.
Вычисляем площадь S=48*32/2-на карте=768 см. кв.
Радиус вписанного в треугольник круга равен отношению площади к половине периметра
R=768/(128/2)=12 см.
Ответ: R=12 см.

 

Задача 14 Периметр равнобедренного треугольника равен 160 см, а высота, опущенная к основанию равна 40см. Найти все стороны треугольника.
Решение:

Составляем два уравнения: высоты через теорему Пифагора и периметра.
a+2*b=160;
b^2-(a/2)^2=40^2.

Из первого выражаем a/2 и подставляем во второе
b^2-(80-b)^2=40^2.
Отсюда
160*b=40^2+80^2;
b=50 см.
a=160-2*50=60 см.

Стороны треугольника равны 50, 50, 60 см.

 

Задача 15 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 55 см, а его основание равно 66см. Вычислить длину отрезков, на которые делит боковую сторону биссектриса угла при основании.
Решение: Обозначим через x, y – отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону.

По теореме о пропорциональных отрезках имеем
55/x=66/y, x=55/66*y.
Второе соотношение дает условие, что сумма отрезков равна боковой стороне
x+y=55.
При подстановке первого уравнения во второе получим
(55/66+1)*y=55.
Отсюда y=30 см, x=55-30=25 см.
На этом все вычисления к заданию, рассматрите повнимательней етот ответ.

 

Задача 16 Боковая сторона и основание равнобедренного треугольника относятся, как 5:6, а периметр его равен 48 см. Найти расстояние от точки пересечения медиан до основания.
Решение: Обозначим стороны треугольника через 5x, 6x соответственно.

Тогда уравнение периметра запишем в виде
2*5*x+6*x=48;
16*x=48;
х=48/16=3
см.
Отсюда вычисляем основание равнобедренного треугольника
6*x=18 см
и боковые стороны – 5*x=15 см.

 

Задача 17 Биссектриса, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит ее на отрезки 25 см и 30 см , начиная от вершины, которая противоположна основе. Вычислить периметр треугольника.
Решение: Обозначим основание и боковую стороны через a, b соответственно.

По свойству треугольника составляем зависимость a/30=b/25.
С другой стороны, боковую сторону можем определить
b=25+30=55 см.
Выразим основу с первой зависимости
a=30*b/25=30*55/25=66 см.
находим периметр равнобедренного треугольника
P=66+2*55=176 см.

 

Задача 18 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25 см, а высота, опущенная к ней - 24 см. Найти периметр треугольника.
Решение Еще один не простой на первый взгляд пример. Выполняем решения с построение рисунка.

Площадь равна половине произведения основания на высоту. С одной стороны это
S=1/2*25*24=300 см. кв.
С другой стороны обозначим основу через 2x, по теореме Пифагора найдем высоту, а потом и площадь
h=sqrt (25^2x^2);
S=1/2*2*x*sqrt(25^2-x^2).

Приравняв площади, получим уравнение для отыскания основания
x*sqrt (25^2-x^2)=300.
возведем зависимость к квадрату и сгруппируем, в результате получим биквадратное уравнения
x^4-225*x^2+90000=0.
Выполнив замену y=x^2 , сведем его к виду
y^2-225*y+90000=0.
Корни квадратного уравнения равны
y1=400, y2=225.
Отсюда x1=20, x2=15.
Основание треугольника равно 2*x, поэтому в первом случае оно равна 40 см, во втором 30 см . Многим из Вас непонятно, как такое может быть. Дело в том, что при основании 40 высота будет проектироваться не в боковую сторону, а на ее продолжение. Поэтому такой вариант хоть и правильный геометрически, но мы его исключаем. Окончательно периметр равен
P=2*25+30=80 см.

 

Задача 19 В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 32 см. Биссектриса угла при основании пересекает данную высоту в точке, которая удалена от основания на 12 см. Найти основание треугольника.
Решение: Кое-что подправим предварительный рисунок к новому заданию. В «Paint» это делать довольно легко.

Имеем MD=12, высота h=32 тогда BM=32-12=20 см.
По свойству биссектрисы - она делит высоту на пропорциональные сторонам отрезки, то есть
b/20=x/12.
Второе уравнение получим из теоремы Пифагора
b^2-x^2=h^2=32^2.
Выражаем из первой зависимости одну из неизвестных и подставляем во второе
x=12/20*b;
b^2-(12/20*b)^2= 32^2.

Решение уравнения b=40 см.
Находим вторую неизвестную - x=12/20*40=24 см.
Так, как основание треугольника в два раза больше x, то оно равно 48 см.
Постарайтесь заучить или сгруппировать в памяти подобные схемки вычислений, на контрольной и тестах это помогает в выборе правильного (быстрого) метода расчетов.

 

Задача 20 В равнобедренному треугольнике угол, образованный высотой, проведенной к основанию, и биссектрисой угла при основании равен 55 градусов. Найти все углы треугольника.
Решение: Выполним вспомогательный рисунок.

Угол DMC равный 55 градусов. Угол DCM равный 180-90-55=35 градусов.
Поскольку имеем биссектрису, то угол MCB=DCM=35.
Угол при основании равен 2*35=70 градусов.
При вершине равнобедренного треугольника угол равный
180-2*70=40 градусов.
На этом все угловые меры найдено.

 

Задача 21 В равнобедренному треугольнике основание равно 10 см, а высота – 20 см. Найти высоту опущенную на боковую сторону.
Решение:

Найдем неизвестную высоту через уравнение площади
S=1/2*20*10=100 см. кв.
Вычислим боковую сторону
b=sqrt(20^2-(10/2)^2)=5√15
и площадь
S=1/2*b*h=100;
Отсюда находим вторую высоту
h2=2*100/b=8/3*√15 см.

 

Задача 22 Основание равнобедренного треугольника равно 30 см, а высота опущенная на боковую сторону – 24 см. Вычислить периметр треугольника.
Решение: Обозначим отрезки на которые делит боковую сторону высота через a,x, начиная с основы.

По теореме Пифагора составляем 2 уравнения:
a^2=30^2-24^2;
(a+x)^2-x^2=24^2.

При вычислении системы уравнений получим значение
x=7, a=18.
Отсюда боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18+7=25 см, а его периметр
P=30+2*25=80 см.

 

Задача 23 На медиане равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, взята точка, одинаково удаленная от концов боковой стороны. Вычислить периметр треугольника если расстояние от этой точки до основания равно 14 см, а к концу основания – 50 см.
Решение: Без дополнительного построения здесь не разобраться.

Из рисунка видим, что половину основы можем найти из прямоугольного треугольника
a^2=50^2-14^2
отсюда a=48 см, а основание равно 2*48=96 см.
Также по условию, часть высоты после точки равна 50 см, а вся высота 50+14=64 см.
Из прямоугольного треугольника выражаем боковую сторону
c^2=64^2-48
отсюда c=80 см.
Находим периметр
P=80*2+96=256 см.
Везде где Вам непонятно условие, или что от Вас требуют - используйте вспомогательные рисунки. В большинстве задач это позволяет увидеть ход дальнейших вычислений.

 

Задача 24 Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит высоту, опущенную на боковую сторону на отрезки 75 и 21см, начиная от конца основания. Найдите стороны треугольника.
Решение: Сначала выполняем вспомогательный рисунок

По свойству равнобедренного треугольника медиана проведенная к основанию одновременно является и высотой и биссектрисой. Поэтому с одной стороны можем составить зависимость
x/21=b/75.
С другой стороны, треугольник CDB прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора имеем
x^2+(21+75)^2=b^2.
Выразим из первого уравнения x и подставим во второе
x=21/75*b;
96^2=b^2*(21/75* b)^2.

В результате вычислений получим b=100.
Тогда одна из частиц, которую отсекает высота от боковой стороны равна
X=21*100/75=28 см.
Остальная AD равна
AD=100-28=72
см.
Основу равнобедренного треугольника находим как гипотенузу
ADC: 72^2+96^2=a^2.
Отсюда a=120 см.
Стороны равны 120 см и две по 72 см.

Больше готовых ответов по геометрии Вы можете найти в соседних публикациях.
До встречи и хорошего Вам обучения!