На сайті опубліковано чимало задач на знаходження периметра та площі рівнобедреного трикутника, висоти, радіусів описаного та вписаного кіл, різних кутів. Сьогодні розглянемо кілька прикладів із ЗНО підготовки на обчислення бічних сторін та основи рівнобедреного трикутника, а також певних лінійних розмірів. Пояснення до завдань відіграють важливу роль, як для Вас так і при оцінюванні та виставлянні балів за тести, тому уважно перегляньте як формувати відповіді та доводити ті чи інші властивості в трикутниках.

Приклад 31.28 У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона відповідно дорівнюють 5 і 20. Знайти менший з відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC, у якого AB=5 - основа, AC=BC=20 – бічні сторони (за умовою).

Бісектриса AL поділяє бічну сторону BC на відрізки BL і CL (пропорційно до сторін AB і AC відповідно, за властивістю).
Позначимо BL=5x і CL=20x, тоді за властивістю вимірювання відрізка BC, отримаємо
BC=BL+AL=5x+20x=25x=20,
тобто 25x=20, звідси x=0,8.
Отже, BL=5•0,8=4 і CL=20•0,8=16.
BL=4 - менший з відрізків.
Відповідь: 4.

 

 

Приклад 31.27 У рівнобедреному трикутнику ABC основа AC дорівнює 18. Через точку O – середину висоти BD проведено промені AO і CO, які перетинають бічні сторони в точках M і K. Знайти довжину відрізка MK.
Розв'язування: Позначимо точку N як точку перетину відрізків BD і MK.
рівнобедрений трикутникОскільки, за умовою задачі, ΔABC – рівнобедрений за основою AC, то, за властивістю, кути при основі рівні ∠BAC=∠ACB; висота BD, що проведена до основи AC є медіаною і рівновіддалена від точок A і C, M і K. Звідси слідує, що AM=CK, AO=CO, OM=OK, BM=BK. Отже, ΔAOC, ΔMOK, ΔBKM – рівнобедрені за основами AC і MK відповідно, AC||MK.
Розглянемо ΔAOC і ΔMOK з висотами OD і ON відповідно. В них ∠AOC=∠MOK як вертикальні, ∠OAC=∠OMK і ∠OCA=∠OKM як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих AC і MK січними AM і CK відповідно. Звідси слідує, що ΔAOC і ΔMOK подібні за ІІІ ознакою подібності (за трьома кутами).
ON/OD=MK/AC (1).
Розглянемо ΔABC і ΔKBM з висотами BD і BN відповідно. В них ∠ABC=∠KBM спільний при вершині A, ∠BAC=∠BKM і ∠BCA=∠BMK як відповідні односторонні кути при перетині паралельних прямих AC і MK січними AB і BC відповідно. Звідси слідує, що ΔABC і ΔKBM подібні за ІІІ ознакою подібності (за трьома кутами).
BN/BD=MK/AC (2).
Оскільки у виразах (1) і (2) праві частини однакові, то прирівняємо їх ліві частини: ON/OD=BN/BD.
Далі врахуємо, що ON+BN=OB=OD=BD/2, звідси BD=2OD.
Тоді , тому ON+2ON=OD, 3ON=OD.
Отримали ON/OD=1/3, звідси із (1) маємо MK/AC=1/3, тобто MK=AC/3=18/3=6.
Отримали MK=6.
Відповідь: 6.

 

Приклад 31.32 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, радіус вписаного кола - r. Визначити бічну сторону трикутника й обчислити її значення, якщо a=6, r=2.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC, у якого AC=BC=x – бічні сторони, AB=a – основа і CM – висота, що проведена до основи AB, CM⊥AB і OM=OK=r - радіус вписаного кола (за умовою).
рівнобедрений трикутник, коло
Тоді за властивістю, CM – медіана і бісектриса, тобто AM=BM=AB/2=a/2.
У прямокутному ΔAMC (∠M=90) за теоремою Піфагора запишемо катет CM – висоту рівнобедреного ΔABC:
AC^2=AM^2+CM^2, звідси

Знайдемо півпериметр ΔABC:
периметр трикутника

Запишемо формули для обчислення площі ΔABC:
обчислення площі трикутника
з іншої сторони

Прирівняємо обидва вирази та знайдемо x - бічну сторону ΔABC:

піднесемо до квадрата обидві частини рівності

помножимо на 8 обидві частини рівності та зробимо інші алгебраїчні перетворення
сторона трикутника
Отже, AC=BC=7,8 - бічні сторони рівнобедреного ΔABC.
Відповідь: 7,8.

 

Приклад 31.33 У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює a, висота, що проведена до основи - h. Визначити відстань від середини основи до бічної сторони й a=3, h=2.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC, у якого AC=BC – бічні сторони, AB=a - основа і CM=h – висота, що проведена до основи AB, CM⊥AB (за умовою). Тоді за властивістю, CM - медіана і бісектриса, тобто AM=BM=AB/2=a/2. MK- відстань від середини основи AB до бічної сторони BC, тобто MK⊥BC (MK є висотою прямокутного трикутника BMC).
рівнобедрений трикутник
У прямокутному ΔBMC (∠M=90) за теоремою Піфагора запишемо гіпотенузу BC – бічну сторону рівнобедреного ΔABC:
BC^2=BM^2+CM^2, звідси
сторона трикутника
Запишемо формули для обчислення площі прямокутного ΔBMC:

з іншої сторони
площа рівнобедреного трикутника
Прирівнюємо обидві формули та виражаємо MK:

Відповідь: 1,2.

 

 

Приклад 31.36 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, медіана, яка проведена до бічної сторони, дорівнює m. Визначити квадрат основи трикутника й обчислити її значення, якщо m=2,5, b=3.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC, у якого AC=BC=b – бічні сторони, AB – основа і AM=m – медіана, що проведена до бічної сторони BC (за умовою).
рисунок рівнобедреного трикутника
Тоді BM=CM=BC/2=b/2.
У ΔAMC за теоремою косинусів знайдемо косинус ∠C:
косинус кута
У трикутнику ABC за теоремою косинусів знайдемо квадрат сторони (основи) AB:

Відповідь: 8.

 

Приклад 31.37 У правильному трикутнику зі стороною 6 на одній зі сторін узято точку на відстані 1 від вершини. Знайти квадрат відстані від цієї точки до центра трикутника.
Розв'язування: Нехай маємо правильний (рівносторонній) трикутник ABC, у якого AB=AC=BC=6 - довжина сторони, AK=1 (за умовою). Тоді CK=AC-AK=6-1=5.
рисунок рівнобедреного трикутника
Центр правильного трикутника знаходиться на перетині його медіан (висот, бісектрис, центрів вписаного і описаних кіл - у правильного трикутника вони співпадають).
Позначимо точку O центром ΔABC. Відрізки CM і AM – медіани, висоти та бісектриси, тому
AM=BM=AB:2=6:2=3,
∠M=90,
тобто CM⊥AB,
∠ACM=∠BCM=∠C:2=60:2=30.

(У правильному трикутнику всі кути рівні й дорівнюють 60 градусів, тобто ∠A=∠B=∠C=60).
У прямокутному ΔAMC (∠M=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет CM: AM^2+CM^2=AC^2, звідси

У трикутнику медіани в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини (за властивістю), тобто CO:MO=2:1. Позначимо MO=x, тоді CO=2x, звідси CM= CO+MO=2x+x=3x=3√3, отримали x=√3 і CO=2√3.
У ΔCOK (CO=2√3, CK=5 і ∠KCO=∠ACM=30) за теоремою косинусів знайдемо квадрат відстані від точки K до точки O (центра ΔABC):
теорема косинусів
Відповідь: 7.

Сподіваємось, опубліковані відповіді до ЗНО тестів допоможуть Вам в навчанні. Формули та схеми обчислень не складні і для більшості задач ґрунтуються на властивостях прямокутних трикутників та теоремі Піфагора.
Як тільки навчитеся ними добре оперувати, зможете розв'язати будь-яку задачу з геометрії!