Переходимо до обчислень суми арифметичної прогресії, а для цього Вам потрібно знати наступні формули

тут a1, an та n члени арифметичної прогресії; d - різниця (крок) прогресії.
В 9, 10 класах школи Ви обчислювали прості завдання, тут Вам пропонуємо відповіді ЗНО тестів, а вірніше приклади, які гіпотетично можуть Вас чекати при зовнішньому незалежному оцінюванні. Всі решта із 45 прикладів розв'язані або на попередніх уроках, а бо чекають Вас дальше при вивченні геометричної прогресії та всього, що з нею пов'язано.

Приклад 21.5 В арифметичній прогресії тридцять членів.
Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює -12, а останній – 75.

А

Б

В

Г

Д

1305

945

2610

835

1890

Обчислення: Маємо а/п, у якої n=30, a1=-12, a30=75.
Тоді її суму знаходиться за формулою:
сума прогресії Маємо всі дані для обчислень, тож з легкістю розраховуємо

Відповідь: 945 – Б.

 

Приклад 21.6 Знайти суму перших тринадцяти членів арифметичної прогресії -8; -5; -2; …

А

Б

В

Г

Д

140

120

130

240

260

Обчислення: Запишемо, що нам відомо з арифметичної прогресії а/м
n=13, a1=-8, a2=-5, a3=-2, звідси знаходимо крок прогресії
d=a2-a1=-5-(-8)=3.
Суму арифметичної прогресії знаходимо за формулою:
сума прогресії, формула  Обчислюємо

Відповідь: 130 – В.

 

Приклад 21.7 Третій і сьомий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 11 і 23.
Знайти суму 10-ти перших членів цієї прогресії.

А

Б

В

Г

Д

85

35

185

175

370

Обчислення: Маємо а/п, у якої n=10, a3=11, a7=23.
Використаємо формулу an=a1+d(n-1) для складання системи рівнянь, з якої знайдемо перший член та різницю прогресії:

Такі системи рівнянь Ви повинні навчитися швидко складати та розв'язувати. Це одні з найпростіших завдань на прогресії, важчі розв'язуються через квадратні рівняння та виведення складних формул.
4d=12, d=3 - різниця а/п.
a1=11-2d=11-2•3=5 - перший член а/п.
Обчислюємо суму 10-ти перших членів а/п
сума, обчислення
Відповідь: 185 – В.

 

Приклад 21.14 В арифметичній прогресії (an) a8=6. Знайти S15.
 тести, сума прогресії
Обчислення: Відомий лише один член арифметичної прогресії a8=6.
Використаємо формулу an=a1+d(n-1) та розпишемо
a8=a1+d(8-1)=a1+7d=6.
Для обчислення S15 застосуємо відому формулу:

в якій в чисельнику виразимо вираз, лінійний до a8
ЗНО тести, сума прогресії
Відповідь: 90 – Г.

 

Приклад 21.16 (an) - арифметична прогресія.
Знайти суму перших її десяти членів, якщо a4=10 , a7=19.

А

Б

В

Г

Д

145

290

155

0

310

Обчислення: В а/п відомі два члени a4=10 і a7=19.
З допомогою формули an=a1+d(n-1) складаємо систему двох лінійних рівнянь для знаходження першого члена та різниці прогресії

Просумувавши рівняння, отримаємо 3d=9, звідси d=3 - різниця а/п.
З першого рівняння обчислюємо a1+3•3=10, a1=1 - перший член а/п.
Для обчислення суми S10 скористаємося формулою:

Підстановкою отримаємо S10=145.
сума
Відповідь: 145 – А.

 

Приклад 21.17 Знайти суму натуральних чисел від 40 до 200 включно.

Обчислення: Оскільки маємо натуральні числа то між ними різниця рівна 1, а сама прогресія є арифметичною.
Визначаємо a1=40, an=200 і n=200-40+1=161 - кількість членів а/п.
Для обчислення суми а/п використаємо формулу


Відповідь: 19320 – В.

 

Приклад 21.27 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) (1–4), заданими двома членами, та формулами сум n перших її членів (А – Д).

Обчислення: Із загальної формули
an=a1+d(n-1)
виражаємо крок прогресії d=(an-a1)/(n-1).
А далі обчислюємо суму арифметичної прогресії за формулою:

Ось такий простий алгоритм обчислень.
1) a1=5, a2=9
d=(9-5)/(2-1)=4, тоді
сума арифметичної прогресії
1 - Г.

2) a1=-5, a3=-13
ЗНО, сума прогресї
2 - В.

3) a1=7, a4=13
d=(13-7)/(4-1), тоді
тести, сума прогресії
3 - А.

4) a1=-11, a5=-19

4 - Б.
Уважно перегляньте схему розв'язування прикладів.

 

Приклад 21.28 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) (1–4), заданими двома членами, та сумами 10 перших її членів (А – Д).
  Обчислення: Як і для попередніх завдань, з формули
an=a1+d(n-1).
виражаємо крок прогресії d=(an-a1)/(n-1).
А далі знаходимо суму а/п за формулою:

для n=10 вона матиме вигляд

Її застосовуємо в наступних розрахунках.
1) a1=7, a2=9
d=a2-a1=9-2=7, тоді
S10=10•7+45•2=70+90=160.
1 - Д.

2) a1=-7, a2=-9
d=a2-a1=-9-(-7)=-2, тоді
S10=10(-7)+45(-2)=-160.
2 - А.

3) a1=-3, a3=1

3 - Г.

4) a1=3, a3=-1

4 - Б.

Це класичні приклади, які Ви повинні вміти швидко розв'язувати. Далі наведемо ще два приклади складніших завдань на прогресію, які можуть розв'язати школярі та студенти з добрим аналітичним мисленням та підготовкою.

Приклад 21.37 Знайти суму S усіх трицифрових натуральних чисел, які діляться на число 7 без остачі.
У відповідь записати S:100.
Обчислення: Трицифрові числа, які діляться на число 7 (тобто кратні числу 7) утворюють арифметичну прогресію з різницею d=7.
a1=105 - найменше трицифрове, яке ділиться на 7, an=994 - найбільше трицифрове, яке ділиться на 7.
Обчислимо кількість таких чисел за формулою:
an=a1+d(n-1)
105+7(n-1)=994
105+7n-7=994
7n=896
n=128.

Загальна кількість трицифрових чисел, які кратні 7 дорівнює 128.
Суму цих чисел обчислюють за формулою а/п:
сума прогресії
звідси S:100=703,36
Відповідь: 703,36.

 

Приклад 21.35a Знайти суму S членів арифметичної прогресії (an) з десятого до сорокового включно, якщо a1=-10, d=2.
У відповідь записати S:100.
Обчислення: Маємо а/п, у якої a1=-10, d=2.
Суму її перших n членів обчислюють за формулою:

Схема наступна: знаходимо суму 40 членів, потім 9 членів прогресії.
Їх різниця S40-S9 і буде сумою від 10 до 40, яку потрібно знайти в умові.

Спочатку знайдемо суму S9 дев'яти перших членів заданої а/п (n=9):

Тепер знайдемо суму S40 сорока перших членів заданої а/п (n=40):
сума 40 членів
Суму S членів арифметичної прогресії (an) з десятого до сорокового включно знайдемо як різницю суми перших сорока членів і перших дев'яти членів заданої а/п, отже

Відповідь: 11,78.

Думаю основні схеми обчислень та формули суми прогресії Ви запам'ятали. З базовими прикладами на суму прогресії ми Вас познайомили, хто бажає переглянути всі завдання із ЗНО тестів то переходіть в право на наступні уроки поки не побачити прикладів з номерами 44, 45,...
Далі переходимо до геометричних прогресій, обчислення знаменника, членів геометричної прогресії та сум.