Як і обіцяли, підготували останні завдання із ЗНО тестів на арифметичну прогресію (а/п). Читайте і вчіться, як розв'язувати правильно та набирати на тестах максимум балів. 

Приклад 21.35 Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450 м.
Кожного наступного тренування він пропливав на 50 м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату - 1000 м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000 м.
Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня.
Обчислення: 1) Обчислимо загальну кількість тренувань за перші 10 тижнів: n=3•10=30 тренувань.

2) Обчислимо кількість тренувань, у яких кожен раз збільшувалася дистанція на 50 м.
Маємо арифметичну прогресію, у якої a1=450 м - перший член, d=50 м - різниця, ak=1000 м - k-й член а/п.
Складаємо рівняння

Отже, на 12-му тренуванні він досягнув дистанції у 1000 м, а потім всі наступні 18 тренувань пропливав ту ж саму дистанцію у 1000 м.

3) Обчислимо загальну кількість кілометрів, яку проплив плавець за 30 тренувань.

- відстань, яку проплив плавець за перші 12 тренувань разом (сума а/п).

- відстань, яку проплив плавець за наступні 18 тренувань разом (щоразу по 1000 м).
Отже, загальна відстань, яку проплив плавець за перші 10 тижнів (30 тренувань):

Відповідь: 26,7.

 Якщо завдання заважкі для Вас, то поверніться та перегляньте попередні 7 статей з відповідями на прогресії.

 

Приклад 21.36 Із двох точок, відстань між якими дорівнює 155 м, одночасно починають рухатися на зустріч одне одному два тіла.
Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 8 м/с, а друге тіло за першу секунду пройшло 3 м, а кожної наступної секунди проходить на 1 м більше, ніж за попередню. Через скільки секунд тіла зустрінуться?
Обчислення: Нехай t, с - час, за який тіла зустрінуться.
Тоді s1=8t, м - відстань, яку пройде перше тіло до зустрічі.
Шлях проходження другого тіла опишемо арифметичною прогресією (an), де a1=3 м, d=1 м.
Сума цієї а/п і буде шляхом, яке пройшло друге тіло до зустрічі, причому n=t - затрачений час (кількість членів а/п). Отже,
знаходження суми прогресії
Пройдений шлях до зустрічі обох тіл дорівнює довжині всього заданого шляху, тобто 155 м (s1+s2=155 м), отже

t1=10 і t2=-31<0 (не задовольняє умові задачі).
Отже, через 10 с тіла зустрінуться.
Відповідь: 10.

 

 

Приклад 21.38 Знайти найбільше значення x, за яких числа x-1, 2x-1, x2-5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію.
Обчислення: Оскільки числа x-1, 2x-1, x2-5 утворюють арифметичну прогресію, то (2x-1)-(x-1)=d і (x^2-5)-(2x-1)=d - різниця а/п.
Прирівнявши обидва вирази, знайдемо x:

x1=-1; x2=4.
Робимо висновок, що x=4 - найбільше значення, за яких числа x-1, 2x-1, x^2-5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію.
Відповідь: 4.

 

Приклад 21.39 Визначити, за яких значень x три числа lg2, lg(3^x-3) і lg(3^x+9), узяті в заданій послідовності, утворюють арифметичну прогресію.
Обчислення: Оскільки числа lg2, lg(3^x-3), lg(3^x+9), утворюють арифметичну прогресію, то lg(3^x-3)-lg2=d і lg(3^x+9)- lg(3^x-3)=d - різниця а/п.
Прирівнявши обидва вирази, знайдемо x:
lg(3^x-3)-lg2= lg(3^x+9)- lg(3^x-3),
ОДЗ: {3^x-3>0, 3^x+9>0}, 3^x>3, звідси x>1.
логарифмічні рівняння
заміна 3^x=t>0 тоді отримаємо
t^2-8t-9=0,
t1=-1 3^x=9=32,
x=2.

Отже, x=2 - значення, за яких три числа lg2, lg(3^x-3), lg(3^x+9), узяті в заданій послідовності, утворюють арифметичну прогресію.
Відповідь: 2.

 

Приклад 21.40 Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших її 100 членів на 50 більша від суми ста наступних.
Обчислення: Запишемо суму перших 100 членів а/п:
обчислення суми
Запишемо суму перших 200 членів а/п:
сума прогресії
Запишемо суму ста наступних членів а/п після сотого члена:

Із умови завдання маємо:
S100=S+50.
Складаємо та розв'язуємо лінійне рівняння
крок прогресії
200d=-1,
d=-1/200=-0,005.

Відповідь: -0,005.

 

Приклад 21.43 Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію "Довше розмовляєш - менше платиш" з такими умовами: плата за з'єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 30 копійок, а за кожну наступну хвилину розмови - на 3 копійки менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни.
Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 8 хвилин (у грн)?
Обчислення: Маємо арифметичну прогресію (an), у якої a1=30 коп. - перший член (плата за першу хвилину розмови), d=-3 коп. - різниця (за кожну наступну хвилину розмови - на 3 копійки менше, ніж за попередню), n=8 хв - кількість членів а/п (тривалість розмови).
Кількість грошей, які заплатить абонент за 8 хвилин розмови є сумою арифметичної прогресії, обчислення суми якої неведено дальше

156 копійок дорівнює 1,56 грн.
Відповідь: 1,56.

 

Приклад 21.45 Знайти перші п'ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; ... і 3; 10; 17; ..., які однакові в обох прогресіях та обчислити їх суму S. S:100.
Обчислення: Маємо дві арифметичні прогресії (an), (ck), у яких:
a1=2 - перший член, d=a2-a1=5 - різниця, тоді an=2+5(n-1)=5n-3;
c1=3 - перший член, d=c2-c1=7 - різниця, тоді ck=3+7(k-1)=7k-4.
Оскільки, за умовою задачі, треба виписати спільні члени обох прогресій, то
5n-3=7k-4,
7k-5n=4-3,
7k=1+5n,
k=(1+5n)/7
(має бути натуральним числом).
При n=4 отримаємо k=3, а при n=11 отримаємо k=8.
Різниця утвореної а/п (hn) має бути НСК чисел 5 і 7, тобто d=35.
Отже, h1=a4=c3=5•4-3=17 - перший член утвореної а/п;
hn+d(n-1)=17+35(n-1)=35n-18 - загальний член, по якому можна записати всі інші члени;
n=50 - кількість членів а/п (за умовою).
Обчислимо суму перших 50-ти членів арифметичної прогресії:
сума прогресії.
Звідси S:100=437,25.
Відповідь: 437,25.

 

Приклад 21.46 Числа m, n і p, відмінні від нуля та записані в заданій послідовності, утворюють геометричну прогресію, а числа m+n, n=p і p+m, записані в заданій послідовності, - арифметичну прогресію.
Знайти знаменник геометричної прогресії, відмінний від 1.
Обчислення: Оскільки числа m, n і p утворюють геометричну прогресію (за умовою), то q=n/m=p/n - знаменник г/п, тобто n/m=p/n, звідси mp=n^2.
Оскільки числа m+n, n+p і p+m утворюють арифметичну прогресію, то d=(n+p)-(m+n)=(p+m)-(n+p) - різниця а/п, звідси n+p-m-n=p+m-n-p, p-m=m-n, p+n=2m, m=(p+n)/2.
Оскільки mp=n^2 та m=(p+n)/2, то отримаємо

але p/n=q≠1 (за умовою), тоді квадратне рівняння
q^2+q=2,
q^2+q-2=0,

розв'язуємо за теоремою Вієта маємо
q=1 ( не задовольняє умові),
q=-2 - шуканий знаменник геометричної прогресії.
Відповідь: -2.

 

Приклад 21.47 Перший, п'ятий та одинадцятий члени арифметичної прогресії (an), різниця якої не дорівнює нулю, утворюють геометричну прогресію (bn). Знайти ці прогресії, якщо a1=24.
У відповідь записати другий член арифметичної та геометричної прогресій.
Обчислення: Маємо арифметичну прогресію (an), у якої a1=24 - перший член і d≠0 - різниця.
За формулою n-го члена an=a1+d(n-1) запишемо:
a5=24+4d - п'ятий член і a11=24+10d - одинадцятий член а/п.
За умовою завдання маємо геометричну прогресію (bn), у якої b1=a1=24,
b2=a5=24+4d і b3=a11=24+10d - перші три члени г/п. Тоді
q=b2/b1=b3/b2 - знаменник г/п, звідси
різниця прогресії
d=0 ( не задовольняє умові),
d=3 - різниця арифметичної прогресії.
Отже, an=24+3(n-1)=3n+21 - рівняння а/п,
звідси a2=3•2+21=27 - другий член а/п.
b2=24+4•3=36 - другий член г/п,
тоді q=b2/b1=36/24=1,5 - знаменник г/п,
звідси bk=b1q^(k-1)=24•(1,5)^k - шукана геометрична прогресія.
Відповідь: 27; 36.

Якщо приклади допомогли Вам в навчанні та підготовці до ЗНО тестів, то не забувайте про сусідів, які ще не знають де швидко та безкоштовно можна підготуватися до ЗНО з математики.
Діліться публікаціями в соцмережах та поширюйте ресурс серед ровесників!