Знайти член арифметичної прогресії a[n]

Формула n-го члена арифметичної прогресії (a_n) має вигляд
 При розв'язуванні прикладів з алгебри на прогресію за 9,10 її, а також різницю та суму дуже добре вивчають.
З неї маємо ряд висновків:
d=(a_n-a₁)/(n-1); a_n+1=a_n+d.
Можемо ще привести дві формули на суму арифметичної прогресії


Як тільки навчитеся добре розв'язувати приклади з допомогою наведених формул, Вам легше буде вчити геометричну прогресію та все, що з нею пов'язано. Також ЗНО тести, контрольні роботи та будь-які оцінювання з теми прогресій для Вас будуть неважкими.

Далі починаємо цикл з семи статей на арифметичну та геометричну прогресії, які знайомлять Вас з можливими практичними завданнями та алгоритмами знаходження розв'язків. Всього розв'язано 47 завдань, тому, повірте, є з чого повчитися!

Приклад 21.1 Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8; …

Обчислення: Маємо a₁=3, a₂=5 і a₃=8 - члени арифметичної прогресії (надалі для спрощення а/п);
d=a₂-a₁=5,5-3=2,5 - різниця а/п;
n=31 - номер a₃₁ (31-го члену).
Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд
 Обчислюємо 31 член прогресії
a₃₁=3+2,5(31-1)=3+2,5*30=3+75=78.
Відповідь: 78 – Г.

Приклад 21.3 Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший від попереднього.
Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них дорівнює 29 см.

Обчислення: Перепозначимо послідовність, нехай перший член прогресії тепер рівний 29 см.
Кожен наступний на 2 менший, оскільки тепер рухаємося до початку.
Потрібно знайти n=14 -номер в новій прогресії;
d=-2 - різниця а/п; a₁=29.
Підставляємо в формулу та обчислюємо

Довжина найменшого з відрізків 3 см.
Якщо не міняти порядку відрізків, а аналізувати так як написано в умові то отримали б рівняння
с₁₄=с₁+2(14-1)=29, з якого просто виразити с₁
с₁=29-2•13=3.
Обидва варіанти є правильними, тож вибирайте який Вам до вподоби.
Відповідь: 3 см – В.

Приклад 21.4 В арифметичній прогресії a₁=3, a₇₅=299. Знайти a₅₀.

Обчислення: Використаємо формулу n-го члена:
a_n=a₁+d(n-1),
299=3+d(75-1),
d•74=296, звідси d=4 - різниця а/п.
Обчислюємо п'ятдесятий член арифметичної прогресії
a₅₀=a₁+d(50-1)=3+4•49=199.
Відповідь: 199 – Г.

ЗНО 2019. Завдання 27. За якого від'ємного значення x значення виразів x^2-4,3-5x та 2-3x будуть послідовними членами арифметичної прогресії?
Розв'язування: Оскільки значення виразів x^2-4, 3-5x та 2-3x є послідовними членами арифметичної прогресії, то

і

де d - різниця арифметичної прогресії, отже прирівняємо праві частини обох рівностей та знайдемо x за умови, що x<0:

Рівняння що отримали, розкривали з допомогою дискримінанту.
Отримали x=-8 - від'ємне значення x, за якого значення виразів x²-4, 3-5x та 2-3x будуть послідовними членами арифметичної прогресії (60; 43; 26).
Відповідь: -8.

Приклад 21.13 (a_n) - арифметична прогресія, в якої a₁=9, a₁₀=27. Знайти a₁₅.

Обчислення: Відомо a₁=9, a₁₀=27.
Для знаходження різниці прогресії d застосуємо формулу a_n=a₁+d(n-1).
27=9+d(10-1), 9d=18, звідси d=2 - різниця а/п.
Далі за цією ж формулою обчислюємо 15-й член арифметичної прогресії
a₁₅=9+2(15-1)=37
Відповідь: 37 – Д.

Приклад 21.15 Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48.
Знайти чотирнадцятий член прогресії.

Обчислення:Записуємо умову a₈+a₂₀=48.
Потрібно з неї якось виразити a₁₄=a₁+d(14-1)=a₁+13d=24
Застосуємо формулу n-го члена прогресії a_n=a₁+d(n-1) та виразимо суму через a₁₄

Звідси бачимо, що a₁+13d=48:2=24 , отже a₁₄=24.
Відповідь: 24 – Б.

Приклад 21.25 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та формулами n-го члена (А–Д).

Обчислення: З кожної а/п (a_n) необхідно знайти її перший член a₁ та різницю d за допомогою формули:
a_n=a₁+d(n-1).
Переходимо до обчислень:
1) a₁=2, a₃=12

звідси d=5.

Отже, a_n=-3+5n. 1 - Д.

2) a₂=-11, a₅=-20

-3d=9, звідси d=-3 і a₁=-11+3=-8.

2 - В.

3) a₃=18, a₇=38

-2a₁=-16, звідси a₁=8 і d=(18-8):2=5.

3 - Б.

4) a₄=-23, a₆=-33

2d=-10, звідси d=-5 і a₁=-23-3•(-5)=-8.

4 - Г.
Формули часто розкажуть більше, ніж текстові пояснення до них.
Тому вчіться їх аналізувати, а також красиво оформляти розв'язки прикладів.

Приклад 21.26 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та їх десятим членом (А–Д).
 Обчислення: З кожної а/п (a_n) необхідно знайти її різницю d за допомогою формули:
a_n=a₁+d(n-1).
Повторно виводимо формулу d=(a_n-a₁)/(n-1) та застосовуємо до заданих варіантів тесту:
1) a₁=-9, a₃=-23

1 - Д.

2) a₁=-2, a₇=16

2 - А.

3) a₁=-5, a₁₃=-29

3 - Г.

4) a₁=-1, a₁₄=51

4 - Б.

Дальше розглянемо ще одне тестове завдання,обчислення якого потребує добрих знань математики.

Приклад 21.34 Знайти найбільший від'ємний член арифметичної прогресії (a_n), у якої a₁=101, d=-7.
Обчислення: Для обчислення найбільшого від'ємного члена арифметичної прогресії (a_n) використаємо формулу a_n=a₁+d(n-1).
Знайдемо такий номер n заданої а/п, за якого всі наступні члени а/п будуть від'ємні a_n<0.
З цієї умови складемо та розв'яжемо нерівність:

Отже, при n=16 отримаємо перший (а отже найбільший) від'ємний член заданої а/п:

Відповідь: -4.

Якщо все зрозуміло і не маєте запитань, то переходьте до наступних уроків на арифметичну та геометричну прогресії.

Вас може зацікавити:
1. Обчислити різницю (крок) арифметичної прогресії
2. Приклади на прогресію
3. Приклади на прогресії підвищеної складності
4. Арифметична прогресія і трикутник
5. Арифметична прогресія. Формули та приклади