Формула n-го члена арифметичної прогресії (an) має вигляд
формула an При розв'язуванні прикладів з алгебри на прогресію за 9,10 її, а також різницю та суму дуже добре вивчають.
З неї маємо ряд висновків:
d=(an-a1)/(n-1); an+1=an+d.
Можемо ще привести дві формули на суму арифметичної прогресії

сума арифм прогресії
Як тільки навчитеся добре розв'язувати приклади з допомогою наведених формул, Вам легше буде вчити геометричну прогресію та все, що з нею пов'язано. Також ЗНО тести, контрольні роботи та будь-які оцінювання з теми прогресій для Вас будуть неважкими.

Далі починаємо цикл з семи статей на арифметичну та геометричну прогресії, які знайомлять Вас з можливими практичними завданнями та алгоритмами знаходження розв'язків. Всього розв'язано 47 завдань, тому, повірте, є з чого повчитися!

Приклад 21.1 Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8; …

А

Б

В

Г

Д

85, 5

83

80,5

78

73,5

Обчислення: Маємо a1=3, a2=5 і a3=8 - члени арифметичної прогресії (надалі для спрощення а/п);
d=a2-a1=5,5-3=2,5 - різниця а/п;
n=31 - номер a31 (31-го члену).
Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд
член прогресії Обчислюємо 31 член прогресії
a31=3+2,5(31-1)=3+2,5*30=3+75=78.
Відповідь: 78 – Г.

 

Приклад 21.3 Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший від попереднього.
Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них дорівнює 29 см.

А

Б

В

Г

Д

0,5

0,2

0,4

-0,4

0,3

Обчислення: Перепозначимо послідовність, нехай перший член прогресії тепер рівний 29 см.
Кожен наступний на 2 менший, оскільки тепер рухаємося до початку.
Потрібно знайти n=14 -номер в новій прогресії;
d=-2 - різниця а/п; a1=29.
Підставляємо в формулу та обчислюємо

Довжина найменшого з відрізків 3 см.
Якщо не міняти порядку відрізків, а аналізувати так як написано в умові то отримали б рівняння
с141+2(14-1)=29, з якого просто виразити с1
с1=29-2•13=3.
Обидва варіанти є правильними, тож вибирайте який Вам до вподоби.
Відповідь: 3 см – В.

 

Приклад 21.4 В арифметичній прогресії a1=3, a75=299. Знайти a50.

А

Б

В

Г

Д

90

99

190

199

203

Обчислення: Використаємо формулу n-го члена:
an=a1+d(n-1),
299=3+d(75-1),
d•74=296
, звідси d=4 - різниця а/п.
Обчислюємо п'ятдесятий член арифметичної прогресії
a50=a1+d(50-1)=3+4•49=199.
Відповідь: 199 – Г.

 

Приклад 21.13 (an) - арифметична прогресія, в якої a1=9, a10=27. Знайти a15.

Обчислення: Відомо a1=9, a10=27.
Для знаходження різниці прогресії d застосуємо формулу an=a1+d(n-1).
27=9+d(10-1), 9d=18, звідси d=2 - різниця а/п.
Далі за цією ж формулою обчислюємо 15-й член арифметичної прогресії
a15=9+2(15-1)=37

Відповідь: 37 – Д.

 

Приклад 21.15 Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48.
Знайти чотирнадцятий член прогресії.

А

Б

В

Г

Д

96

24

26

22

не можна визначити

Обчислення:Записуємо умову a8+a20=48.
Потрібно з неї якось виразити a14=a1+d(14-1)=a1+13d=24
Застосуємо формулу n-го члена прогресії an=a1+d(n-1) та виразимо суму через a14
8 член прогресії
Звідси бачимо, що a1+13d=48:2=24 , отже a14=24.
Відповідь: 24 – Б.

 

Приклад 21.25 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) (1–4), заданими двома членами, та формулами n-го члена (А–Д).

Обчислення: З кожної а/п (an) необхідно знайти її перший член a1 та різницю d за допомогою формули:
an=a1+d(n-1).
Переходимо до обчислень:
1) a1=2, a3=12

звідси d=5.

Отже, an=-3+5n. 1 - Д.

2) a2=-11, a5=-20

-3d=9, звідси d=-3 і a1=-11+3=-8.

2 - В.

3) a3=18, a7=38

-2a1=-16, звідси a1=8 і d=(18-8):2=5.

3 - Б.

4) a4=-23, a6=-33

2d=-10, звідси d=-5 і a1=-23-3•(-5)=-8.

4 - Г.
Формули часто розкажуть більше, ніж текстові пояснення до них.
Тому вчіться їх аналізувати, а також красиво оформляти розв'язки прикладів.

 

Приклад 21.26 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (an) (1–4), заданими двома членами, та їх десятим членом (А–Д).
 ЗНО тести, прогресія  Обчислення: З кожної а/п (an) необхідно знайти її різницю d за допомогою формули:
an=a1+d(n-1).
Повторно виводимо формулу d=(an-a1)/(n-1) та застосовуємо до заданих варіантів тесту:
1) a1=-9, a3=-23

1 - Д.

2) a1=-2, a7=16

2 - А.

3) a1=-5, a13=-29

3 - Г.

4) a1=-1, a14=51

4 - Б.

Дальше розглянемо ще одне завдання із ЗНО тестів, які потребує добрих знань математики.

Приклад 21.34 Знайти найбільший від'ємний член арифметичної прогресії (an), у якої a1=101, d=-7.
Обчислення: Для обчислення найбільшого від'ємного члена арифметичної прогресії (an) використаємо формулу an=a1+d(n-1).
Знайдемо такий номер n заданої а/п, за якого всі наступні члени а/п будуть від'ємні an<0.
З цієї умови складемо та розв'яжемо нерівність:

Отже, при n=16 отримаємо перший (а отже найбільший) від'ємний член заданої а/п:

Відповідь: -4.

Якщо все зрозуміло і не маєте запитань, то переходьте до наступних уроків на арифметичну та геометричну прогресії.