Теорія ймовірностей - Контрольна робота

Готові відповіді до контрольної роботи з теорії ймовірностей допоможуть Вам краще підготуватися до можливих завдань та сесії. Пояснення повністю розкривають хід обчислень та легкі для розуміння матеріалу. Все решта залежить від Вашого бажання вчитися!

ВАРІАНТ – 12

Завдання 1 В ящику 25 деталей, серед яких 10 кольорових. Навмання витягують 5 деталей.
Знайти ймовірність того, що серед взятих деталей:

• а) всі кольорові;
• б) всі некольорові;
• в) 2 кольорові та 3 некольорові.

Розв'язання: Кількість всіх можливих подій – всі можливі способи, за якими можна вибрати 5 деталей з 25. Їх знаходимо через формулу розміщень з комбінаторики:

а) Число сприятливих подій – всі способи, за якими можна вибрати 5 кольорових із 10 можливих.

Ймовірність події A, при якій витягують 5 кольорових деталей рівна відношенню сприятливих подій до всіх можливих p=m/n:

Поки що нічого важкого немає і пояснення Вам мають бути зрозумілими. Якщо ж ні то почитайте основи комбінаторики, оскільки далі приклади будуть складнішими.

б) Через розміщення знаходимо кількість способів, за якими можна вибрати 5 некольорових деталей з 15 можливих:

Уважно перегляньте, як потрібно розписувати факторіали, щоб швидко спростити спільні множники в чисельнику та знаменнику дробу.
Ймовірність події B, при якій витягують 5 некольорових деталей рівна частці чисел:

в) Число способів, за якими можна вибрати 2 кольорові деталі з 10 і 3 некольорові деталі з 15 знаходимо через добуток:

Ймовірність події C, при якій витягують 2 кольорові і 3 некольорові деталі рівна:

Завдання 2 Ймовірність непопадання в ціль для 1-го стрільця дорівнює 0,2; для 2-го – 0,1; для 3-го – 0,3. Обчислити ймовірність попадання в ціль:

• а) хоча б одного;
• б) двох;
• в) всіх.

Розв'язання: Позначимо ймовірність попадання в ціль кожного стрільця відповідно:
p₁=0,2; p₂=0,1; p₃=0,3 .
Тоді ймовірність непопадання в ціль дорівнює відповідно:
q₁=1-p₁=0,8; q₂=1-p₂=0,9; q₃=1-p₃=0,7.
а) Ймовірність попадання в ціль хоча б одного є протилежною подією до такої, що ніхто з них не попав в ціль:
p=1-q1*q2*q3=1-0,8*0,9*0,7=1-0,504=0,496.
В іншому випадку Вам доведеться шукати багато добутків з "або". Це довший шлях, тому такі моменти запам'ятовуйте і тримайте як еталон.
б) Ймовірність попадання в ціль двох стрільців означає, що два попали в ціль, а третій з них – ні, ймовірність дорівнює сумі таких комбінацій:
p=p1*p2*q3+p1*q2*p3+q1*p2*p3=0,2*0,1*0,7+0,2*0,9*0,3+0,8*0,1*0,3=0,014+0,054+0,024=0,092.
Чому саме так проаналізуйте самостійно.

в) Ймовірність попадання в ціль всіх стрілків є добутком сприятливих ймовірностей:
p=p1*p2*p3=0,2*0,1*0,3=0,006.
На цьому завдання виконано, переходимо до наступної теми.

Завдання 3 Для 10 студентів 1-ї групи ймовірність скласти іспит дорівнює 0,9; для 12 (2-га група) – 0,6; для 15 (3-тя група) – 0,8. Навмання викликаний студент склав іспит.
Знайти ймовірність того, що студент, що склав іспит, належить до 2-ї групи.
Розв'язання: Задачі наведеного формулювання розраховують за формулами повної ймовірності та Байєса. Позначимо через H_i - гіпотези, що студент, який склав іспит належить до і-ї групи, де i=1,2,3. Тоді ймовірність кожної з гіпотез пропорційна частці студентів у кожній групі:

Самостійно переконайтеся, що їх сума рівна повній ймовірності.
Нехай подія A полягає в тому, що навмання викликаний студент склав іспит.
Тоді на основі умови можемо виписати ймовірності того, що цей студент належить до кожної групи:

Далі за формулою повної ймовірності обчислюємо ймовірність, що студент склав іспит:

Формула не складна і тут важко помилитися в обчисленнях.
Ймовірність того, що студент, що склав іспит належить до 2-ї групи знаходимо за формулою Байєса

Це фактично вклад другого доданка в попередньо знайденій ймовірності.

Завдання 4 Ймовірність появи події в кожному із 900 незалежних експериментів дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться:

• а) рівно 450 разів;
• б) не менше 50 та не більше 350.

Розв'язання: а) Маємо справу з незалежними випробуваннями, тому ймовірність в кожному новому експерименті не залежить від попередньої історії (попередніх дослідів). Точне значення знаходимо за формулою Бернуллі

Оскільки степінь 450 досить великий, то обчислювати можливо лише в математичному пакеті. Простий чи інженерний калькулятор накопичує високу похибку при обчисленнях.
Наближене значення ймовірності можемо оцінити за локальною теорема Лапласа. Оскільки необхідна умова її застосування виконується
n*p*q=900*0,5*0,5=225>10, то похибка формул мінімальна

Виконаємо обчислення змінної:

За таблицями табулювання локальної функції Лапласа виписуємо значення функції
а далі знаходимо ймовірність

Як можете переконатися, розбіжність із точним значенням отриманим за формулою Бернуллі невелика!

б) Ймовірність, що не менше 50 і не більше 350 разів з'явиться подія знайдемо за інтегральною формулою Лапласа:

де - інтегральна функція Лапласа;
- аргументи інтегральної функції розподілу.
Обчислюємо точки

Отож за таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходимо ймовірність в точках та обчислюємо

Наведений інтеграл неважко знайти в математичних пакетах Maple, Mathematica, MathCad, MatLab.

Завдання 5 Зроблено чотири постріли в ціль (n=4). Ймовірність попадання при одному пострілі 0,6. X - число попадань. Знайти закон розподілу випадкової величини X, знайти математичне сподівання випадкової величини M(X), дисперсію D(X), середньоквадратичне відхилення , функцію розподілу F(X) та побудувати її графік.
Розв'язання: Оскільки від досліду до досліду ймовірність залишається постійною (а саме p=0,6 і q=1-p=0,4), то ймовірність попадання в ціль змінюється за біноміальним законом розподілу:
Результати запишемо в таблицю:
Графік закону розподілу має вигляд
Знаходимо математичне сподівання випадкової величини
M(X)=n*p=4*0,6=2,4.
Обчислюємо дисперсію
D(X)=n*p*q= n*p*q=4*0,6*0,4=0,96.
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини X знаходимо через корінь з дисперсії:

Функцію розподілу випадкової величини X обчислюємо за формулою:

Результати записуємо в таблицю:
Графік функції розподілу має вигляд
На цьому розбір завдання завершено.

Завдання 6 Випадкова величина задана щільністю розподілу f(x):

Знайти функцію розподілу F(X), математичне сподівання випадкової величини M(X), дисперсію D(X) випадкової величини та ймовірність того, що в результаті випробувань X набуде значень, що належать інтервалу (a;b).
Побудувати графіки f(x) та F(X).
Розв'язання: Функцію розподілу обчислюємо інтегруванням:

Константу, що фігурує  довизначаємо з умови, що на кінці проміжку функція розподілу рівна 1.
Звідси маємо F(0)=1, C=1.
Графіки функцій f(x) та F(X) наведено нижче


Знаходимо математичне сподівання:
.
Далі дисперсію:

Ймовірність того, що в результаті випробувань x набуде значень, що належать інтервалу (a;b):

Завдання 7 Відомі математичне сподівання a=8 та середнє квадратичне відхилення випадкової величини x, яка розподілена нормально.
Обчислити ймовірність того, що

• а) ця випадкова величина прийме значення, які належать інтервалу =(0;20);
• б) абсолютна величина відхилення |x-a|<16 буде менше за 16
  

Розв'язання: а) Для знаходження імовірності того, що випадкова величина x прийме значення, які належать інтервалу скористаємось формулою:

де - інтегральна функція Лапласа (її значення знаходимо в таблиці).
- заміна змінних.
Знаходимо значення функцій та ймовірність

б) Для знаходження імовірності того, що абсолютна величина відхилення |x-a|<16 буде менше за 16 () скористаємось формулою:


Формули не складні, як користуватися таблицями табулюванyя локальної та інтегральної функції Лапласа Вас на практиці мали навчити. Все решта зводиться до елементарних операцій.

Вас може зацікавити:
• Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
• Формули повної імовірності та Байєса. Розв'язки задач
• Задачі на ймовірність виходу з ладу приладу. Формули Лапласа
• Мода, медіана, дисперсія