Розглянемо кілька поширених задач на кулю вписану чи описану в геометричні фігури: циліндр, конус, піраміду, призму. Потрібно знайти радіус, геометричні розміри, площу або об'єм кулі.
Завдання підібрані зі збірника для ЗНО підготовки, тому наведені відповіді будуть в першу чергу корисні учням 10-11 класів, яких попереду чекають вступні тести.
Охопити всі можливі задачі, що мають відношення до заголовка статті неможливо, тому проведемо аналіз лише тих, що були в одному із тестових збірників.
Задача 40.18 У циліндр вписано кулю. Визначити об'єм кулі, якщо об'єм циліндра дорівнює V.
Розв'язання: Об'єм кулі обчислюють за формулою:
, де Rк – радіус кулі.
Об'єм циліндра обчислюють за формулою:
де Sос=πR2 – площа основи циліндра (площа круга);
H – висота циліндра.
Куля вписана у циліндр, якщо куля дотикається до основ і бічної поверхні циліндра (за означенням).
Куля вписана у циліндр, якщо її великий круг є вписаним в осьовий переріз циліндра (за властивістю).
Очевидно, що осьовим перерізом циліндра може бути квадрат, оскільки круг не може бути вписаний в прямокутник (який не є квадратом).
Оскільки осьовим перерізом циліндра є квадрат ABCD, то висота циліндра H дорівнює її діаметру D, або подвійному радіусу 2Rц, тобто H=2Rц.
Отже, об'єм циліндра:
Оскільки великий круг кулі вписаний в осьовий переріз циліндра (квадрат ABCD), то за властивістю круга вписаного в квадрат:
діаметр круга KL дорівнює стороні квадрата AB, а значить подвійному радіусу циліндра:
Dк=2Rк=2Rц, звідси отримаємо Rк=Rц.
Об'єм кулі вписаної в циліндр:
отже Vк=2/3•V.
Відповідь: 2/3•V – А.
Задача 40.20 Знайти відношення площі поверхні кулі описаної навколо рівностороннього конуса, до площі поверхні кулі, вписаної в цей конус.
Розв'язання: Площі поверхонь кулі описаної навколо конуса S1 і вписаної в цей же конус S2 відносяться як квадрати їх відповідних радіусів R і r, тобто 
Рівносторонній конус – це конус, у якого осьовий переріз є рівностороннім трикутником.
Куля вписана у конус:
- якщо вона дотикається до основи і бічної поверхні конуса (за означенням);
- якщо великий круг кулі вписаний в осьовий переріз конуса (за властивістю).
Куля описана навколо конуса:
- якщо основа конуса співпадає з перерізом кулі, а вершина конуса належить кулі (за означенням);
- якщо великий круг кулі описаний навколо осьового перерізу конуса (за властивістю).
Оскільки осьовий переріз конуса – рівносторонній ΔSAB, то достатньо знайти його радіуси описаного R і вписаного круга r.
Нехай сторона рівностороннього ΔSAB дорівнює l (дорівнює твірній конуса), тоді
– радіус описаного кола навколо рівностороннього трикутника ΔSAB;
– радіус вписаного кола у рівносторонній ΔSAB (дивись розділ 31).
Отже, 
– відношення площі поверхні кулі описаної навколо рівностороннього конуса, до площі поверхні кулі, вписаної в цей конус.
Відповідь: 4 – В.
Задача 40.26 Кулю радіуса r вписали в конус висотою H і радіусом основи R.
Установити відповідність між висотою H і радіусом основи R конуса (1–4) та радіусом r кулі (А – Д).
Розв'язання: Куля вписана у конус:
1) якщо вона дотикається до основи та бічної поверхні конуса (за означенням);
2) якщо великий круг кулі вписаний в осьовий переріз конуса (за властивістю).
Оскільки осьовий переріз конуса з центром основи O1 – рівнобедрений ΔSAB (дивись абзац І задачі 39.1), то висота конуса H є висотою ΔSAB, проведеного до основи AB=2R, а радіус кулі r є радіусом вписаного круга в рівнобедрений ΔSAB.
Бічні сторони SA=SB рівнобедреного ΔSAB знайдемо за допомогою теореми Піфагора у прямокутному SAO1 (∠SO1A=90), де AO1=R і SO1=H – катети, SA – гіпотенуза.
Отже, маємо
Радіус вписаного круга, в рівнобедрений трикутник ΔSAB знайдемо за формулою:
де 
– площа рівнобедреного ΔSAB;
– півпериметр рівнобедреного трикутника ΔSAB.
Отже, радіус кулі r обчислимо за формулою:
Обчислимо радіус вписаної кулі в конус для кожного випадку:
Задача 40.29 Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 6, 8 і 10. Висота призми дорівнює 24.
Знайти радіус кулі, описаної навколо призми.
Розв'язання: Маємо кулю з центром O2 і вписану в неї трикутну призму ABCA1B1C1 зі сторонами AB=A1B1=8, BC=B1C1=6, AC=A1C1=10 і висотою AA1=BB1=CC1=24.
Оскільки AC2=AB2+BC2 (102=82+62), то основи призми рівні прямокутні трикутники ABC (∠ABC=90) і A1B1C1 (∠A1B1C1=90).
Трикутна призма вписана у кулю, якщо всі вершини цієї призми лежать на поверхні кулі (за означенням).
Це означає, що перерізи кулі з центрами O та O1 є описаними кругами навколо основ призми – прямокутних трикутників ABC та A1B1C1 відповідно.
За властивістю прямокутного трикутника вписаного в круг:
центр круга лежить на гіпотенузі AC=A1C1=10 і ділить її навпіл.
Оскільки основи трикутної прямої призми ΔABC і ΔA1B1C1 рівні і паралельні (за означенням), то вони лежать по різні сторони і на однаковій відстані від центра кулі O2 (за властивістю).
Звідси випливає, що прямокутник ACC1A1 є вписаним у великий круг кулі (тобто у круг з центром O2 і радіусом R, що дорівнює радіусу кулі).
А радіус круга, описаного навколо прямокутника ACC1A1 дорівнює половині його діагоналі AC1 (за властивістю).
Маємо прямокутник ACC1A1 зі сторонами AC=A1C1=10 і AA1=CC1=24.
З прямокутного ΔACC1 (∠ACC1=90) за теоремою Піфагора знайдемо діагональ AC1:
Радіус кулі, описаної навколо трикутної призми:
R=AC1/2=13.
Відповідь: 13.
Задача 40.30 Сторона основи та висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 4.
Знайти радіус описаної навколо піраміди кулі.
Розв'язання: Маємо кулю з центром O і вписану в неї правильну чотирикутну піраміду SABCD зі стороною AB=BC=CD=AD=a=4 і висотою SO1=H=4.
Піраміда вписана у кулю, якщо всі вершини цієї піраміди лежать на поверхні кулі (за означенням).
Це означає, що переріз кулі з центром O1 є описаним кругом навколо основи правильної чотирикутної піраміди – квадрата ABCD.
За властивістю квадрата вписаного в круг: центр круга лежить на перетині діагоналей:
AO1=CO1, BO1=DO1.
Піраміда вписана у кулю, якщо великий круг кулі описаний навколо осьового перерізу піраміди (за властивістю), тобто навколо ΔSAC.
(Детальніше про правильну чотирикутну піраміду дивись у задачі 37.2).
Діагональ AC обчислимо із прямокутного ΔABC (∠ABC=90):
звідси AO1=AC/2=2√2.
Бічне ребро SA (у правильної піраміди всі бічні ребра рівні) знайдемо з трикутника ΔSAO1 (∠SO1A=90) :
Площа осьового перерізу правильної чотирикутної піраміди, ΔSAC:
Радіус великого круга (тобто радіус кулі) описаного навколо ΔSAC:
Отже, R=3 радіус описаної кулі навколо правильної чотирикутної піраміди.
Відповідь: 3.
З наведених відповідей Ви могли зауважити, що деякі задачі вимагають великої кількості обчислень. В цьому не найбільша складність завдань.
Самі по собі розрахунки не складні, набагато важче Вам буде самостійно навчитися правильно тлумачити умову завдання.
Без розуміння поставленого завдання отримана відповідь не завжди виявиться правильною, тому практикуйте і побільше самостійно розв'язуйте геометричні задачі.
